湖北省孝感高级中学2024-2025学年高二上学期1月测试数学试题

孝感高中2023级高二年级 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知等差数列的前和为，若，，则（ ） A． B． C． D． 2．四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若， 则等于（ ） A．1 B． C． D．2 3．从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，这11个数据的分位数是( ) A.16 B.30 C.32 D.51 4．已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636 6947　7610　4281　1417　4698　0371　6233 2616　8045　6011　3661　9597　7424 根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（  ） A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75 5．已知抛物线的焦点为，抛物线上的两点，均在第一象限， 且，，，则直线的斜率为（ ） A．1 B． C． D． 6. 有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后， 要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．设椭圆的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知数列满足，若前n项和为，则满足不等式的最小整数n的值是（ ） A．60 B．62 C．63 D．65 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法不正确的是（  ） A．“直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 D．设为实数，若直线与曲线恰有一个公共点，则 10．已知等差数列的前项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A． B． C．当或时，取得最大值 D．当时，的最大值为21 11. 如图，正方体透明容器的棱长为8，E，F，G，M分别为的中点，点N是棱上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 向量在向量上的投影向量为 C. 将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的 直线与桌面所成的角都相等， 再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为 D. 向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等比数列满足，与的等差中项为18，则_________ 13．已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是 . 14．已知，，，则下列结论中正确的是 . ①当时，； ②当时，有1个元素； ③若有2个元素，则； ④若有4个元素，则无整数解； 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. 本小题分 已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个（小球除颜色､标号外均相同）. (1)若一次取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率； (2)若有放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号不相同的概率 16.本小题) 已知圆C：，直线l：与圆C相交于A､B两点. （1）已知点在圆C上，求的取值范围： （2）若O为坐标原点，且，求实数m的值. 17.本小题分 已知在递减等比数列中，，其前项和是，且，，成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前n项和，求的最大值. 18.本小题 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点. （1）求与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离. 19．本小题分 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上． （1） 求椭圆M的方程； （2） 过x轴上的一定点作两条直线，，其中与椭圆M交于A、B两点， 与椭圆M交于C、D两点，（A，C在x轴上方，B，D在x轴下方），如图所示． （ⅰ）已知，直线QA斜率为，直线QC斜率为，且，求证：直线AC过定点； （ⅱ）若直线，相互垂直，试求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 孝感高中2023级高二年级 数学试题(9)-教师版 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知等差数列的前和为，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，得，．故选：C. 2．四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】因为， 所以，所以，所以 ， 解得，所以，故选：B. 3．从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，这11个数据的分位数是( ) A.16 B.30 C.32 D.51 【答案】C 【解析】：把11个数据按照从小到大排列得5、15、16、16、26、28、32、38、38、40、51， 因为，这11个数据按照从小到大排列第7个是32.故选：. 4．已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636 6947　7610　4281　1417　4698　0371　6233 2616　8045　6011　3661　9597　7424 根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（  ） A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75 【答案】D 【解析】在20组随机数中含中的数至少3个（含3个或4个），共有15组，即模拟结果中射击4次至少击中3次的频率为.据此估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为0.75.故选：D. 5．已知抛物线的焦点为，抛物线上的两点，均在第一象限，且，，，则直线的斜率为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】如图：作垂直准线于，垂直准线于，作于，因为，，，由抛物线的定义可知：，，， 所以，直线的斜率为：.故选：C. 6. 有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由于总资金100元，每次在对一张卡片刮码前下注已有资金的一半.刮第1张卡前，下注50元： 若未中奖，还剩50元；刮第2张卡前，下注25元，不管是否中奖，资金必减少； 若中奖，还剩150元，刮第2张卡前，下注75元，未中奖资金减少；中奖资金增加； 所以，要使资金增加，则必须2次刮出中奖，否则资金减少； 所以，5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于即可， 由5张卡片中任取2张的方法数有10种，n张“中奖”卡中取到2张的方法数有种， 所以且，故或5，即n至少为4.故选：C 7．设椭圆的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】记椭圆的左焦点为，连接， 即 所以椭圆的圆心率的取值范围是.故选：A. 8．已知数列满足，若前n项和为，则满足不等式的最小整数n的值是（ ） A．60 B．62 C．63 D．65 【答案】C 【解析】由原式变形得，又，所以为等比数列，首项为4，公比为，，，结合分组求和法得，当时，为递增数列，，，故的最小整数n的值是63.故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法不正确的是（  ） A．“直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 D．设为实数，若直线与曲线恰有一个公共点，则 【答案】AD 【解析】对于A：由两直线垂直得,，解得或，“或”是“” 的必要不充分条件，选项A错误. 对于B：由得，，直线斜率，∵，∴， 即，∵，∴倾斜角的取值范围是.选项B正确. 对于C：到点距离为的点在圆上，由题意得，， 圆与圆有两个公共点，两圆相交，∵圆心距， ∴，∴,即的取值范围是，选项C正确. 对于D：由 得，曲线表示圆心为原点，半径为的半圆，如图所示， 当直线过点时，， 当直线过点和点时，， 当直线与半圆相切于点时，由圆心到直线的距离为1得，解得或（舍）， 所以当直线与曲线恰有一个公共点时，或.选项D错误.故选：AD. 10．已知等差数列的前n项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A． B． C．当或时，取得最大值 D．当时，的最大值为21 【答案】BC 【解析】：由，即，，得：， 又，解得，所以B正确； ，所以A不正确；， ，当或11时，最大，所以C正确； 时，即，解得，所以时n的最大值为20，所以D不正确，故选：BC. 11. 如图，正方体透明容器的棱长为8，E，F，G，M分别为的中点，点N是棱上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 向量在向量上的投影向量为 C. 将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的 直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为 D. 向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个 【答案】AC 【解析】对于A：由正方体性质知：且 都在面内，所以面，面，则，故A对； 对于B：且，若是交点，连接， 所以，故为平行四边形，则且， 所以所成角，即为所成角，由题设，易知， 在中，，即夹角为，所以夹角为，故向量在向量上的投影向量为，故B错； 对于C：令放在桌面上的顶点为，若桌面时正方体的各棱所在的直线与桌面所成的角都相等，此时要使容器内水的面积最大，即垂直于的平面截正方体的截面积最大， 根据正方体的对称性，仅当截面过中点时截面积最大，此时，截面是边长为的正六边形， 故最大面积为，故C对； 对于D：由题意，第一层小球为个，第二层小球为，且奇数层均为个，偶数层均为49，而第一层与第二层中任意四个相邻球的球心构成一个棱长为1的正四棱锥，故高为， 假设共有层小球，则总高度为，且为正整数，令，则， 而，故小球总共有10层，由上，相邻的两层小球共有个，所以正方体一共可以放个小球，故D错.故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等比数列满足，与的等差中项为18，则_________ 【答案】 【详解】，得，所以，，得， 为，，故填：. 13．已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是 . 【答案】 【解析】∵，∴由空间向量的共面定理可知，点四点共面， 即点在平面上，∴的最小值转化为求点到平面的距离，由正方体棱长为1， 可得时边长为的等边三角形，则，， 根据等体积法得，，∴，∴的最小值是， 故答案为：. 14．已知，，，则下列结论中正确的是 . ①当时，； ②当时，有1个元素； ③若有2个元素，则； ④若有4个元素，则无整数解； 【答案】①②④ 【详解】①当时， ， 由令，解得， 由令，解得， 画出对应点集如图所示，所以，所以①正确. ②当时， ，画出对应点集如图所示， 圆的圆心为，半径为，直线，即， 到的距离为，所以圆 与直线相切，所以有个元素，所以②正确. 对于③，当时，，画出对应点集如图所示， 半圆的圆心为，半径为，到直线的距离为，此时有个元素，所以③错误. 对于④，若，则 ，此时直线与圆至多有个公共点， 不符合题意.若，则由③的分析可知有个元素，综上所述，若有4个元素，则无整数解, 所以④正确；故答案为：①②④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. 本小题分 已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个（小球除颜色､标号外均相同）. (1)若一次取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率； (2)若有放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号不相同的概率. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）分别记6个小球为，从中任取3个小球有： ，共20种. 3个小球上标号均不相同的有： 共8种，所以取出的3个小球上标号均不相同的概率为. （2）每次取球都有6种取法，所以总的取法有种取法.2个小球上标号相同的取法有：共12种取法，所以2个小球上标号相同的概率为，所以取出的2个小球上标号不相同的概率. 16.本小题) 已知圆C：，直线l：与圆C相交于A､B两点. （1）已知点在圆C上，求的取值范围： （2）若O为坐标原点，且，求实数m的值. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）将圆的方程变形为，圆心 ，，令， 即，如图，临界条件为直线与圆相切，当直线为位置时取，当直线为位置时取 圆心到直线的距离，即 ， 解得或，所以的取值范围为 （2）， ，圆心到直线的距离，点到直线的距离公式， 即 ，解得，所以实数m的值为 17.本小题分 已知在递减等比数列中，，其前项和是，且，，成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和，求的最大值. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）由题可设，由，，成等差数列，则，即， ∴，解得，（舍去），故数列的通项公式为. （2）∵，∴，又， 设，且数列的前n项和为， 则，所以.令，随着n的变化，比较与变化速度，令，可得，即，，，递增，而，，，，递减，所以最大， 最大值.故的最大值为. 18.本小题 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点. （1）求与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）解：如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，，设平面的一个法向量为， 所以，取，则平面法向量， 所以与平面所成角的正弦值； （2），，则，由点到平面距离的公式得， 所以点到平面的距离为. 19．本小题分 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上． （1） 求椭圆M的方程； （2） 过x轴上的一定点作两条直线，，其中与椭圆M交于A、B两点， 与椭圆M交于C、D两点，（A，C在x轴上方，B，D在x轴下方），如图所示． （ⅰ）已知，直线QA斜率为，直线QC斜率为，且，求证：直线AC过定点；（ⅱ）若直线，相互垂直，试求的取值范围． 【答案】（1）；（2）（ⅰ）见解析；（ⅱ） 【解析】（1），可得，故椭圆方程为； （2）（ⅰ）令，，且，且均不为2， 联立，则， 且，所以， 则，， 由， 所以，则， 所以，故或， 当时，，此时过定点； 当时，，此时过定点，而该点在椭圆内,与在同侧矛盾； 综上，直线过定点，得证. （ⅱ）由，，又直线，相互垂直，即， 所以， 若，则， 所以， 令，则，且，联立， 可得，显然，则，， 同理，， 所以，，，， 所以 ，令，则， 所以， 综上， 学科网（北京）股份有限公司 $$