湖北省孝感高级中学2024-2025学年高二上学期12月测试数学试题（12.11）

孝感高中2023级高二年级 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.抛物线的焦点坐标是    ． A. B. C. D. 【答案】 解：因为抛物线方程为，即， 可得，即，且焦点在轴正半轴上， 所以抛物线的焦点坐标是． 故选：． 2.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是(    ) A. B. C. D. 【答案】  解：设动圆圆心为，半径为， 设已知圆的圆心分别为、， 将圆的方程配方得：，圆心，半径为， 圆同理化为，圆心，半径为， 当动圆与圆相外切时，有 当动圆与圆相内切时，有 将两式相加，得， 动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆， 故，，， ． 故选A． 3.已知数列的前项和为若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】  解：因为， 所以，， ，， 所以． 故选：． 4.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，年英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲．年，英国数学家马西森指出此法符合年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被整除余如，，，且被整除余的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则(    ) A. B. C. D. 【答案】  解：能被除余且被除余， 既是的倍数，又是的倍数，即是的倍数，且， ，即， ． 故选：． 5.数列满足：，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】  解：已知， 累加可得， 则， 故选 ． 6.已知数列满足，若函数是定义在上的奇函数，且，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】  解：，，， 函数是定义在上的奇函数，， ，， 且， ，即是以为周期的周期函数， 则， 故选：． 7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 【答案】  解：如图所示，作，垂足为． ， ，点为的中点． ，． ，， ， ． ， 化简可得：， ，， 解得． 故选A． 8.已知某椭圆的方程为，上顶点为，左顶点为，设是椭圆上的任意一点，且面积的最大值为，若已知，，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  解：依题意，， 设切线为， 化为， ，，解得， ， ，，  ， ， ， ，， ， 根据基本不等式可知，原式，当且仅当时取等号． 故选B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列四个命题中正确的是(    ) A. 过点，且在轴和轴上的截距的绝对值相等的直线方程为 B. 若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为) C. 若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 D. 若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 【答案】BD  解：对于，当直线经过原点时，且经过， 此时直线方程为，也符合题意，故 A错误， 对于，直线恒过定点， 直线，的斜率分别为 ，， 又直线的斜率为，所以实数的取值范围为) 故 B正确；  对于， 当直线，平行时， 解得， 当直线，平行时， 解得， 显然直线，交于点， 当点在直线时，， 所以三条直线，，不能构成三角形，实数的取值集合为，故 C错误； 对于，若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为，故 D正确． 故选：． 10.已知双曲线的一条渐近线过点，为的右焦点，则下列结论正确的是(    ) A. 曲线的离心率为 B. 曲线的渐近线方程为 C. 若到曲线的渐近线的距离为，则曲线的方程为 D. 设为坐标原点，若，则 【答案】  解：由题意设双曲线的渐近线方程为，代入点， 解得，则双曲线的离心率，故A正确； 双曲线的渐近线方程为，即，故B错误； 若到渐近线的距离为，则，， 则双曲线的方程为，故C正确； 设，则由，可得， 解得，三角形的面积，故D错误． 故选AC． 11..古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积如下图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，左、右顶点分别为，，，，设的离心率为，则(    ) A. 若，则 B. 四边形的面积与的面积之比为 C. 四边形的内切圆方程为 D. 设椭圆外阴影部分的面积为，椭圆内阴影部分的面积为，则 【答案】ABD  解：设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 对于项，若，则，即，所以，故A正确 对于项，，又， 所以四边形的面积与椭圆的面积之比为，故B正确 对于项，因为原点到四边形的四条边的距离都相等，都等于， 即为四边形内切圆的半径， 所以四边形内切圆的方程为，即，故C错误 对于项，由题意， 所以， 所以， 而，所以，所以，故D正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.椭圆的焦距是，则的值是          ． 解：当时，椭圆的焦点在轴上， 可得，， 因为，所以， 解得； 当时，椭圆的焦点在轴上， 可得，， 因为，所以， 解得． 综上，或． 13.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，斜率为的直线与椭圆交于，两点．若的重心为，则椭圆的离心率为          ． 【答案】  解：设，， 则，， 两式相减得， 因为的重心为， 所以，故 代入式得， 所以，即， 所以椭圆的离心率． 故答案为． 14.抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于、两点，抛物线在、处的切线交于点，则的最小值为          ． 【答案】  解：设直线的方程为， 联立得， 设，，则 设抛物线在处的切线方程为， 联立得， 由得， 所以抛物线在处的切线方程为 同理抛物线在处的切线方程为， 联立切线方程解得， 所以， ， 所以，所以， 因为，函数在上单调递增， 所以当时取得最小值． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知圆经过点，与直线相切，且圆心在直线上 求圆的方程； 已知直线经过点，并且被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】解：因为圆心在直线上，可设圆心为． 则点到直线的距离． 据题意，，则， 解得． 所以圆心为，半径， 则所求圆的方程是． 直线被圆截得的弦长为，则， 即圆心到直线的距离为， 直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意； 直线斜率存在时，设直线方程为，圆心到直线的距离，， 直线方程为． 综上所述，直线方程为或．  16.本小题分 已知数列的前项和，且，． 求数列的通项公式； 求数列的最小项的值． 解：， ，则， 即且， ， 经检验适合， ； 易知，，， ， 当时，， 当时，，当时，， 又，， 当时，有最小值．  17.本小题分 已知的角，，所对的边分别是，，，且满足． 证明：，，成等差数列； 如图，若，点是外一点，设，，求平面四边形面积的最大值． 证明：由， 可得：， 即， ， ， ， 由正弦定理：，即， 故得，，成等差数列； 解：由可知，，则． 是等边三角形． 由题意，， 则， 余弦定理可得：， 则． 故四边形面积． ， ， 当时，取得最大值为， 故平面四边形面积的最大值为．  18.本小题分 如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱上一点． 当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值 当二面角的余弦值为时，求． 证明：因为，，，所以，所以， 因为，，所以，则． 可知，，两两垂直，以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系则，，，， 当点为棱的中点时，，，， 设平面的一个法向量， 则即令，解得，，故， 设直线与平面所成角为，则，， 故直线与平面所成角的正弦值为． 解：由可知，，设，则， 设平面的一个法向量，则即令解得，，故， 设平面的一个法向量为，由得令，解得，，故， 所以， 即，整理，得，解得或舍去． 故．  19．本小题分 已知椭圆的焦点为，，左、右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的动点，的周长为． 求椭圆的标准方程 设直线交直线于点，连接交椭圆于点，直线，的斜率分别为，． (ⅰ)求证：为定值 (ⅱ)设直线，证明：直线过定点． 解：由题意可知，且的周长为， 所以，则， 所以椭圆的标准方程为； 证明：设，，， 由题可知，，如下图所示， 则，， 而，于是， 所以， 又，则， 因此为定值； 设直线的方程为，，， 由，得， ， 所以， 由可知，， 即 ， 解得，满足， 所以直线的方程为， 因此直线经过定点．  学科网（北京）股份有限公司 $$ 孝感高中2023级高二年级 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.抛物线的焦点坐标是    ． A. B. C. D. 2.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是(    ) A. B. C. D. 3.已知数列的前项和为若，则(    ) A. B. C. D. 4.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，年英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲．年，英国数学家马西森指出此法符合年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被整除余如，，，且被整除余的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则(    ) A. B. C. D. 5.数列满足：，，则(    ) A. B. C. D. 6.已知数列满足，若函数是定义在上的奇函数，且，，则(    ) A. B. C. D. 7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 8.已知某椭圆的方程为，上顶点为，左顶点为，设是椭圆上的任意一点，且面积的最大值为，若已知，，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列四个命题中正确的是(    ) A. 过点，且在轴和轴上的截距的绝对值相等的直线方程为 B. 若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为) C. 若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 D. 若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 10.已知双曲线的一条渐近线过点，为的右焦点，则下列结论正确的是(    ) A. 曲线的离心率为 B. 曲线的渐近线方程为 C. 若到曲线的渐近线的距离为，则曲线的方程为 D. 设为坐标原点，若，则 11.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积如下图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，左、右顶点分别为，，，，设的离心率为，则(    ) A. 若，则 B. 四边形的面积与的面积之比为 C. 四边形的内切圆方程为 D. 设椭圆外阴影部分的面积为，椭圆内阴影部分的面积为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.椭圆的焦距是，则的值是          ． 13.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，斜率为的直线与椭圆交于，两点．若的重心为，则椭圆的离心率为          ． 14.抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于、两点，抛物线在、处的切线交于点，则的最小值为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知圆经过点，与直线相切，且圆心在直线上 求圆的方程； 已知直线 经过点，并且被圆截得的弦长为，求直线 的方程． 16.本小题分 已知数列的前项和，且，． 求数列的通项公式； 求数列的最小项的值． 17.本小题分 已知的角，，所对的边分别是，，，且满足． 证明：，， 成等差数列； 如图，若，点是外一点，设，，求平面四边形面积的最大值． 18.本小题分如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱上一点． 当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值 当二面角的余弦值为时，求． 19．本小题分 已知椭圆的焦点为，，左、右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的动点，的周长为． 求椭圆的标准方程 设直线交直线于点，连接交椭圆于点，直线，的斜率分别为，． (ⅰ)求证：为定值 (ⅱ)设直线，证明：直线过定点． 学科网（北京）股份有限公司 $$