湖北省孝感高级中学2024-2025学年高二上学期9月测试数学试题

孝感高中2023级高二年级 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，，且与互相垂直，则  ． A. B. C. D. 【答案】C 解：，，， ，又与互相垂直，，解得：．故选C． 2.直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线为（  ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】当直线绕原点逆时针旋转时，所得直线斜率为，此时，该直线方程为， 再将该直线向右平移1个单位可得：，即.故选：A. 3.直线的倾斜角的范围是(   ) A. B. C. D. 【答案】B 解：设直线的倾斜角为，则，又，所以， 又，所以．故选B． 4.天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用，，，，，表示下雨，用计算机产生了组随机数为，，，，，，，，，据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为(   ) A. B. C. D. 【答案】B 解：由题意得样本空间包含的样本点为个，这三天中恰有两天下雨包含的样本点为，，，，有个，这三天中恰有两天下雨的概率为．故选B． 5.已知直线的倾斜角满足方程，则直线的斜率为(     ) A. B. C. D. 【答案】A 解：因为，所以，所以，即直线的斜率为． 故选：． 6.若是空间的一个基底，且向量，则叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是(   ) A. B. C. D. 【答案】B 解：设在基底下的坐标为，则，在下的坐标为，，由得即在下的坐标为．故选：． 7.在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程即平面上任意一点的坐标满足的关系式为：”用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果为和，则平面和平面夹角的余弦值为(   ) A. B. C. D. 【答案】B 解：由题意，平面和平面的法向量分别是：，，设平面和平面的夹角为，则．故选：． 8.向量，满足，，且，不等式恒成立，函数的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C 解：对任意，有 ，两边平方整理可得  ， 则     ，即有   ，即为  ，则   ， 由向量 ， 夹角为， ，由   ，即有 ，则  ，画出  ，  ，建立平面直角坐标系，如图所示； 则，， ， ；，         ，表示与 ， ， ， 的距离之和的倍，当，，共线时，取得最小值，即有 ．故选：． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设，为两个随机事件，且，，则下列命题正确的是(   ) A. 若，则，相互独立 B. 若和相互独立，则和一定不互斥 C. 若和互斥，则和一定相互独立 D. 【答案】AB 解：根据题意，依次分析选项：对于，根据事件相互独立性的定义，可知选项A正确； 对于，若事件，相互独立，则，所以，可以同时发生，，不互斥，选项B正确；对于，若和互斥，则，而，所以，则，不独立，选项C错误；对于，若，则， ， 与大小关系不能确定，故D错误．故选AB． 10.已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则(   ) A. B. C. 与为相交直线或异面直线 D. 在向量上的投影向量为 【答案】BC 解：因为，所以或，所以A错误B.因为，所以，所以B正确C.因为，，所以不存在实数使得，所以与为相交直线或异面直线，所以C正确D.在向量上的投影向量为，所以D错误．故选：． 11.如图，在棱长为的正方体中，为边的中点，点为线段上的动点，设，则(     ) A. 当时，平面 B. 当时，取得最小值，其值为 C. 的最小值为 D. 当平面时， 【答案】BC 解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，设， 则，因为，所以，所以，可得，即．对于，当时，，所以，，设平面的法向量为，则取，可得，，则．因为，所以与平面不平行，故A错误； 对于，， 故当时，取得最小值，其值为，故B正确；对于， ，故当时，，故C正确；对于，若平面，则到平面的距离为，，，设平面的法向量为，则令，则，所以．，所以到平面的距离为，即，解得，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若直线的一个方向向量，则的倾斜角为    ． 【答案】 解：设直线的倾斜角为，，由直线的一方向向量为，得，则，故选C． 13.一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为，，，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“好数”如，等，若，，，且，，互不相同，则这个三位数为“好数”的概率是    ． 【答案】 解：由，，组成的三位自然数为，，，，，，共个；同理由，，组成的三位自然数共个；由，，组成的三位自然数也是个；由，，组成的三位自然数也是个．所以共有个．由，，组成的三位自然数，共个”好数”． 由，，组成的三位自然数，共个”好数”．所以三位数为”好数”的概率：．故答案为． 14.在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，，，则该四面体外接球的表面积是     ． 【答案】 解：如图所示，设长方体底面四边形为正方形，边长为，高为， 根据图形得到为直角三角形，，所以四面体外接球的球心在平面上的投影为斜边的中点，其中，设外接球球心为，则平面，过点作平面，垂足为，则轴，且，过点作，交于点，则，设外接球半径为，连接，，则，设，则，所以，由勾股定理得：，，所以，解得：，所以，所以该四面体外接球的表面积为，故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分已知点，，点在线段上 求直线的斜率；求的最大值． 解：由题意知，直线的斜率； 当点在、两点之间时，由点在线段上，易知，即，即当与、重合时也满足，因此，亦即，且，，所以，，当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为．  16.本小题分已知空间四点，，，． 求以，为邻边的平行四边形的面积；若点在平面上，求的值． 解：由已知可得，，，所以，，，在上的投影向量的模为，所以，点到直线的距离，所以，以，为邻边的平行四边形的面积为． 因为，点在平面上，所以共面．根据向量共面的充要条件可知，存在，使得，所以有，解得． 17.本小题分已知满足B. 试问：角是否可能为直角请说明理由若为锐角三角形，求的取值范围． 解：由，可得，由正弦定理可得，由余弦定理可得，故，即．，当且仅当时取等，而，故，即为锐角，不可能为直角． 由知．由为锐角三角形，可得由代入可得，又、、均为正数，解得，恒成立，解得， 综上可得，故  18.本小题分空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴轴、轴轴正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．   若，，求的斜坐标； 在平行六面体中，，，为线段的中点．如图，以为基底建立“空间斜坐标系”． 求的斜坐标；若，求与夹角的余弦值． 解：由，，知，， 所以，所以； 设，，分别为与，，同方向的单位向量，则，，，       因为，所以，则，， ，所以， 所以与的夹角的余弦值为． 19.本小题分随着科技的发展，互联网也随之成熟，网络安全也涉及到一个国家经济，金融，政治等安全为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会已知甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响设甲成功解密一份文件，甲成功解密两份文件，乙成功解密一份文件，乙成功解密两份文件 Ⅰ已知概率，， (ⅰ)求，的值；(ⅱ)求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率． Ⅱ若，求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值． 解：Ⅰ由题知：根据独立事件的概率乘法公式知， ，解得：，； 由知：，，设“甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次”， 则，与互斥，与，与分别相互独立， 所以， 因此，甲，乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率为． Ⅱ由题知：，，，，，， 设“甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次”，则，与互斥，与，与分别相互独立，所以 ， ，，当且仅当时等号成立，， 即甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值为．  学科网（北京）股份有限公司 $$ 孝感高中2023级高二年级 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，，且与互相垂直，则  A. B. C. D. 2.直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线为（  ） A． B． C． D． 3.直线的倾斜角的范围是(  ) A. B. C. D. 4.天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用，，，，，表示下雨，用计算机产生了组随机数为，，，，，，，，，据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为(   ) A. B. C. D. 5.已知直线的倾斜角满足方程，则直线的斜率为(   ) A. B. C. D. 6.若是空间的一个基底，且向量，则叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是(  ) A. B. C. D. 7.在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程即平面上任意一点的坐标满足的关系式为：”用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果为和，则平面和平面夹角的余弦值为(   ) A. B. C. D. 8.向量，满足，，且，不等式恒成立，函数的最小值为(   ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设，为两个随机事件，且，，则下列命题正确的是(   ) A. 若，则，相互独立 B. 若和相互独立，则和一定不互斥 C. 若和互斥，则和一定相互独立 D. 10.已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则(   ) A. B. C. 与为相交直线或异面直线 D. 在向量上的投影向量为 11.如图，在棱长为的正方体中，为边的中点，点为线段上的动点，设，则(   ) A. 当时，平面 B. 当时，取得最小值，其值为 C. 的最小值为 D. 当平面时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若直线的一个方向向量，则的倾斜角为    ． 13.一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为，，，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“好数”如，等，若，，，且，，互不相同，则这个三位数为“好数”的概率是    ． 14.在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，，，则该四面体外接球的表面积是    ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分已知点，，点在线段上 求直线的斜率；求的最大值． 16.本小题分已知空间四点，，，． 求以，为邻边的平行四边形的面积；若点在平面上，求的值． 17.本小题分已知满足B. 试问：角是否可能为直角请说明理由若为锐角三角形，求的取值范围． 18.本小题分空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴轴、轴轴正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．  若，，求的斜坐标； 在平行六面体中，，，为线段的中点．如图，以为基底建立“空间斜坐标系”． 求的斜坐标；若，求与夹角的余弦值． 19.本小题分随着科技的发展，互联网也随之成熟，网络安全也涉及到一个国家经济，金融，政治等安全为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会已知甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响设甲成功解密一份文件，甲成功解密两份文件，乙成功解密一份文件，乙成功解密两份文件 Ⅰ已知概率，，(ⅰ)求，的值；(ⅱ)求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率． Ⅱ若，求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$