安徽省蚌埠市2025-2026学年高三上学期开学调研性监测数学试卷

蚌埠市2026届高三调研性监测 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 题号 3 4 5 8 答案 B C D B D 8.解析：易知x)的定义域为R,f'(x)=e 4+骨F>0,所以：)在R上单调遥指. )+-=1+F++-+派+源=1， 所以八-x)）=1-f(x),从而有f3-5x)≥1-八2x2)=(-2x2),由(x)的单调性可得， 3-5x≥-2x2,即2x2-5x+3≥0，解得x≤1或x≥2， 3 故不等式的解集为(-0，U[弓，+∞，选A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选 错的得0分。 题号 9 10 11 系 案 BD ACD ABD 11.解析：由条件，b=c+2bcos(B+C)=c+2bcos(π-A)=c-2 bcosA,利用正弦定理， sinB sinC-2sinBcosA sin(T -C)-2sinBcosA sin(A +B)-2sinBcosA sinAcosB sinBcosA-2sinBcosA sinAcosB-sinBcosA sin(A-B), 又A,B∈(0，T),因此B=A-B或B+A-B=T(舍)，所以A=2B 选项A,B=开，则A=2B=7,角A为直角，正确。 选项B,sinM=sin2B=2 ineosB,而a=B6,由正弦定理，cosB=,in1=号=5 2sinB=26=2, 又Be(0,m),所以B=石，则A=2B=于，C=m-A-B=牙，角C为直角，正确。 选项C,取BC的中点M,由b=3,c=l,则3=1+6cos(B+C)=1-6os1,得cos4=-子 由余弦定理，a2=+2-2 eA=9+1-2×3x1×-）=12,即BC=a=25, 所以BM=CM=5.由∠AMB+∠AMC=T,可得cos∠AMB+cos∠AMC=0,从而在 △AMB和△AMC中分别用余弦定理，Ar+BrAB,4M+Cr-AC=0,代人数据， 2AM·BM 2AM·CM 4+3-1+AM+3-9=0,解得AMP=2,BC边上的中线长为D,错误. 2√3AM 2/3AM 蚌埠市高三年级数学参考答案第1页（共6页） 0<2B< 2 选项D,A=2B,C=T-A-B=m-3B,△ABC为锐角三角形，则0<B<受 0<T-3B< 2 解得君<B<牙，而由正弦定理，台=C=血（m3B-n3B-inc2B+csin2B 6 a sinA sin2B sin2B 2sinBcosB =sinB(2cos'B-1)+2sinBcos'B=4cos B-1=2cosB- 2sinBcosB 2cosB 2c0sB,令1=2c0sBe(2,5). 1 函数0=1-在（万，5）上单调递增)=)=2 从而。的取值范围是5,2，返 23 ,正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.1 13.2 14.9 14.解析：记“选到第k个箱子”为事件A(k=1,2,3,…,n),“从箱子中依次选出3个小球且 第3个小球是黑球"为事件B,则P(A)=,每个箱子均有(n+30)个小球，第k个箱子 中有(k+10)个白球和(n-k+20)个黑球，则P(B14)=”-k牛20 n+30 由全概率公式， (n+19+20)n P(B)=∑P(A)P(BIA)=) n+20- ∑(n-k+20) 2 8 n+30 n(n+30)】 n(n+30) 13 解得n=9. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：(1)由条件，元=4+7+9+10+15=9,7-20+40+60+80+10 5 =60,…4分 5 =320，=471，=200. ∑xy-5元y 则r= 3200-5×9×60 -5 ∑-52 √/471-5×92×√22000-5×60 N 500 500 25 66×4000 401652x12.845≈0.97， 所以两个变量具有很强的相关程度· 7分 (2)h条件.方豆5) 5 3200-5×9x60_500_250≈7.58，…9分 公-5 471-5×92-6633 a=j-6元=60-20x9=-0 33 7≈-8.18， 所求经验回归方程为y=7.58x-8.18, 11分 蚌埠市高三年级数学参考答案第2页（共6页） 令x=153,得y=1151.56 预测153天时的累计票房为1151.56亿元， 远超过实际票房，故该预测方法不合理。…13分 16.(15分) 解：(1)由条件，当n≥2时，a。-an-1=2"-1+1,an-1-an-2=2"-2+1,…,a2-a1=2+1, …2分 所以累加得a.-4=(2+2+…+2)+(1+1t…+)2-2+(m-） 1-2 =2十几-3，…5分 又a1=3,所以an=2"+n(n≥2)， 取n=1,a1=2+1=3也成立，所以an=2”+n(n∈N).…7分 (2)由bn=(2n-1)an-2n2+n=(2n-1)(2"+n)-2n2+n=(2n-1)2",…9分 Sn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)2", 2S。=1×22+3×23+…+(2n-3)2"+(2n-1)2m*1 相减，得Sn-25n=2+2×(2+23+…+2")-(2n-1)2n, …12分 -S.=2+8x1-22-(2n-1)21=(3-2m)21-6. 1-2 所以Sn=(2n-3)2+1+6.… 15分 17.(15分) 解：(1)由条件得，DA=DC,BA=BC,则BD是线段AC的中垂线， 所以BD⊥AC.… 2分 又BD⊥PA,PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC, 所以BD⊥平面PAC,而BDC平面ABCD, 故平面PAC⊥平面ABCD.… 5分 (2)解法一： (i)如图所示，记BD与AC交于H点，连接PH 由题意，O为四边形ABCD的外接圆圆心，即A,B,C,D 四点共圆。 由条件，可得∠ABC=60°，∠ADC=120°，BD是线段AC 的中垂线， 所以∠ABH=30°，∠ADH=60°，故∠DAB=90 则BD是四边形ABCD的外接圆直径，点O为BD的中点 因为AB=23,所以AC=23,BD=4. 四边形ABCD的面积为S=)4C·BD=?×25×4=4,5, …8分 取BD的中点O,连接0P,则OP=OB=2BD=2. 因为PA=PC,H为AC的中点，所以PH LAC. 由(1)知，平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC PHC平面PAC,所以PH⊥平面ABCD,即四棱锥P-ABCD的高为PH. 又BHC平面ABCD,则PH⊥BH,而BH=3,OH=BH-OB=1, 所以PH=√OP2-Om=√5， 蚌埠市高三年级数学参考答案第3页（共6页） 四棱锥P-ABCD的体积为V=了S·PH=了×4,5×厅=4 …11分 (ii)作AM⊥PB,垂足为点M,连接CM 由BA=BC,PA=PC,PB为公共边，则△APB≌△CPB, 所以CM=AM且CM⊥PB, 即∠AMC为二面角A-PB-C的平面角. 13分 由PB=√PH+BⅢ=25，PA=√PH+AH=√6，AB=25, 在△P中，由余弦定理.a∠B4:份BP=子则nLPB1= 2AB·PB 4 所以CM=AM=ABsin∠PBA=2 又AC=25,在△AMC中，由余弦定理，os∠AMC=Ar+C-AC=- 2AM·CM 7 所以平面PAB与平面PCB的夹角的余弦值为7 …*… 15分 解法二： (i)记BD与AC交于H点，连接PH,由PA=PC,H为AC的中点，所以PH⊥AC. 由(1I)知，平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC, PHC平面PAC,所以PH⊥平面ABCD,即四棱锥P-ABCD的高为PH. …7分 以HA,HB,HP所在直线分别为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标 系， 由AB=23,△ABC是正三角形，可知A(3,0,0), B(0,3,0),C(-5,0,0), 由点0在平面ABCD内，设O(m,n,0),D(0,a,0), P(0.0,h),其中a<0,h>0 设OA=OB=OC=OD=OP=r>0,可得方程组 (m-5)2+n2=r2, m2+(n-3)2=2, (m+5)2+2=r2, m2+(n-a)2=2, m2+n2+h2=r2, 解得，m=0,n=1,r=2,a=-1,h=5. 9分 所以4C=25,BD=4,四边形ABCD的面积为S=乃ACBD=×25x4=45. 又PH=A=5,四棱锥P-ABCD的体积为V=s·PH=号x45x厅=4 …11分 (ii)由(i)知，A(5,0,0),B(0,3,0),C(-5,0,0),P(0,0,5). 因为P=(5,0,-5),P=(0,3,-5). 设平面PAB的法向量为n:=（x1,1,a), 蚌埠市高三年级数学参考答案第4页（共6页） rp·n1=5x1-5a1=0, 取=万，则x1=5,y1=1, Pi·n1=3y1-5a=0, 所以平面PAB的法向量为n1=(5,1,5). 13分 因为P元=(-5,0，-5)，P=(0,3,-5). 设平面PBC的法向量为n2=(x2y2,2), rP元·n2=-5x2-52=0, 由 取2=5，则2=-5，y2=1, Pi·n2=3y2-52=0, 所以平面PBC的法向量为n2=(-5,1,5). cos <n1,n2>=T n1·n2 11 ·n,万x万=7， 所以平面PAB与平面PCB的夹角的余弦值为7 …0……… 15分 18.(17分) 解：(1)由条件，|P0l=|PE|=25,OE|=4,设点P的坐标为(2，yo), 由0P2=4+y=12,得y=8. 2分 点P在C上，则y后=4p,所以p=2,抛物线C的方程为y2=4x …4分 (2)(i)设直线1的方程为x=my+4,并记点A(x1,y),B(2,2), 联立方程=4，消去，得y2-4my-16=0,易知4=16m2+64>0. x =my +4, 则y+y归=4m,y归=-16，…6分 善尊g6,.-. 而xx2=4·4 所以0i.0成=x2+y2=16-16=0,可知0i10B,即0110B.…9分 (i)由题意，点F(1,0),设直线MN的方程为x=心y+t,并记点M(x3),V(4y4), 联立方程消去，得-4=4=0，则：三一4，……山 由A,F,M三点共线，F∥F成i,F=(x1-1,y),F=(x-1,y), 所以（名-3=（写-1），将气=芬与-尊代入化简。 得(-4)y=(号-4)y1→y3-y3y+4y1-4y=0, 所以(yy3+4)(y-y3)=0,而y≠y,可知y1y3=-4,… 14分 同理可得，y2y4=-4, 4=-16x(-40）=-4×(-4),解得1=子 直线MN的方程为x=心+子，过定点(：，0 …17分 19.(17分) 解：(1)由条件∫'(x)=e,则f'(0)=f0)=1, 2分 所求切线方程为y-1=x-0,即x-y+1=0. 3分 蚌埠市高三年级数学参考答案第5页（共6页） (2)由g(x)=e'cosx,得g'(x)=e'(cosx-sinx),xe[0,2π]. …4分 令g'()>0,得0≤x<牙或<≤2m:令g'()<0,得牙<<5买 5 所以g(x)在0，)和平，2上单调递增，在（年，罗 上单调递减， …6分 故g()的极大值为g(孕)= 7分 (3)由h(x)=e-x-sit,得h'(x)=-e--cosx,xe[0,2π]. 记u(x)=h'(x),则u'(x)=e+sinx=e-(1+e-sinx), 记(x)=l+e'sinx,则t'(x)=e-(sinx+cosr=2e-sin(x+平). 当xe(0,3）时，'(x)>0,()单调递增： 当xe(,到时，()<0，()单调递减： 当xe(平，2时，(x)>0,(x)单调递增. 9分 0)=(m)=2)=1>0.）>0)>0图）=1-1<1- e<0, 所以3∈(m,7)3∈（要，2，使得(，）=()=0， 当xe(0,x0)U(x1,2π)时，u(x)>0,从而u'(x)>0: 当x∈(x,x)时，(x)<0,从而u'(x)<0. 所以'(x)在(0，xo)和(x,2π)单调递增，在(x。,x1)单调递减，…11分 h'(0)=-e-1<0,h'()>h'(r)=-e-m+1>0,h'(x)<h'(2π)=-e-2m-1<0, h(）=-e<0, 所以3m∈（受3ne(,2m),使得h'(m)=h'(n）=0, 当x∈(0，m)U(n,2π)时，h'(x)<0,从而h(x)在(0，m)和(n,2π)上单调递减； 当xe(m,n)时，h'(x)>0,从而h(x)在(m,n)上单调递增 h(0)=e>0,h(m)<h）=e-于-1<0，h(m)>h(m)=e->0,h(2m)=e>0, 所以A(x)存在两个零点a和B,且0<a<受<B<,从而a+B<2m …14分 由h(ax)=h(B)=0,e'-a-sina=e'-B-sinB=0,得sina=e'-“且sinB=e'B, 由a<B,知e-a>e'-B,从而sina>sinB=sin(T-B), 而0<a<受0<m-B<受y=sim在(0，受)上单调递增， 所以a>T-B,从而a+B>T. 综上可知，h(x)的所有零点之和大于π且小于2π 17分 (以上各题其它解法请参考以上评分标准酌情赋分) 蚌埠市高三年级数学参考答案第6页（共6页）】书 蚌埠市２０２６届高三调研性监测 数　　学 本试卷满分１５０分，考试时间１２０分钟 注意事项： １答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上。 ２回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 １已知全集Ｕ＝ －１，０，１，{ }２，Ａ＝ ０，{ }２，则瓓ＵＡ＝ Ａ －１，{ }０ Ｂ －１，{ }１ Ｃ１，{ }２ Ｄ －１，{ }２ ２已知ｉ为虚数单位，复数ｚ满足（１＋ｉ）ｚ＝３－ｉ，则 ｚ＝ 槡 槡Ａ５ Ｂ５ Ｃ２５ Ｄ槡 ５ ２ ３若双曲线Ｃ的离心率为２，虚轴长为 槡２３，则Ｃ的实轴长为 槡Ａ１ Ｂ３ Ｃ２ Ｄ３ ４不等式ｘ＋１ｘ－１≤２的解集是 Ａ －∞，( )１ Ｂ３，＋[ )∞ Ｃ １，( ]３ Ｄ －∞，( )１∪ ３，＋[ )∞ ５将函数ｙ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ的图象向右平移 φ（φ＞０）个单位长度得到函数 ｙ＝ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ的图 象，则φ的最小值为 Ａπ４ Ｂ π ２ Ｃ ３π ２ Ｄ ５π ２ ６如图，在边长为 ３的正三角形 ＡＢＣ中，点 Ｄ，Ｅ分别在边 ＢＣ，ＡＣ上，且ＡＥＥＣ＝ ＣＤ ＤＢ＝２， 　第６题图 则ＡＤ→·ＤＥ→ ＝ Ａ３ Ｂ－１ Ｃ－２ Ｄ－３ ）页４共（页１第卷试学数级年三高市埠蚌 ７已知 ２ｘ２＋１( )ｘ ｎ 的展开式中所有项的系数之和为２４３，则展开式中ｘ的系数为 Ａ１０ Ｂ３２ Ｃ４０ Ｄ８０ ８已知函数ｆ（ｘ）＝ ｅ ｘ ｅｘ＋１ ＋ ３ ｘ槡 ５，则不等式ｆ（２ｘ２）＋ｆ（３－５ｘ）≥１的解集是 Ａ －∞，( ]１∪ ３２，＋[ )∞ Ｂ１，[ ]３２ Ｃ －∞，( ]１ Ｄ ３２，＋[ )∞ 二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分。 ９设ｍ，ｎ是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列结论正确的是 Ａ若ｍ∥α，ｎ∥α，则ｍ∥ｎ Ｂ若ｍ⊥α，ｎ⊥α，则ｍ∥ｎ Ｃ若ｍ∥α，ｍ∥β，则α∥β Ｄ若ｍ⊥α，ｍ⊥β，则α∥β １０已知随机变量Ｘ～Ｎ（μ，σ２），随机变量 Ｙ～Ｂ（３，ｐ），若 Ｐ（Ｘ≤１）＝０５，Ｅ（Ｘ）＝Ｅ（Ｙ）， Ｄ（Ｘ）＝Ｄ（Ｙ），则下列说法正确的是 Ａμ＝１ ＢＤ（２Ｘ）＝４３ Ｃｐ＝ １ ３ ＤＤ（３Ｙ）＝６ １１在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，且ｂ＝ｃ＋２ｂｃｏｓ（Ｂ＋Ｃ），则下列结论正确的是 Ａ若Ｂ＝π４，则△ＡＢＣ为直角三角形 Ｂ若ａ 槡＝３ｂ，则△ＡＢＣ为直角三角形 Ｃ若ｂ＝３，ｃ＝１，则ＢＣ边上的中线长为２ Ｄ若△ＡＢＣ为锐角三角形，则 ｃａ的取值范围是 槡２ ２， 槡２３( )３ 三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分。 １２计算：（ｌｏｇ９８＋ｌｏｇ９２）×ｌｏｇ４３＝  １３已知椭圆Ｅ：ｘ ２ ４＋ｙ ２＝１的左、右焦点分别为Ｆ１，Ｆ２，经过点Ｆ１的直线与Ｅ相交于Ａ，Ｂ点， 则△ＡＢＦ２的面积的最大值为  １４现有ｎ（ｎ＞２，ｎ∈Ｎ）个箱子，每个箱子均有（ｎ＋３０）个小球，第ｋ（ｋ＝１，２，３，…，ｎ）个箱子 中有（ｋ＋１０）个白球，其余为黑球，在这ｎ个箱子中任取一个箱子，再从该箱子中依次选出 ３个小球，若第３次选出的小球恰为黑球的概率是８１３，则ｎ＝  ）页４共（页２第卷试学数级年三高市埠蚌 四、解答题：本题共５小题，共７７分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 １５（１３分） ７月１日，电影《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒２》在中国内地电影院线正式下映，结 束了自今年１月２９日以来１５３天的线下放映据统计，《哪吒２》在中国内地最终斩获 １５４４亿元票房，总观影人次３２４亿，两项数据均创下中国影史纪录，并遥遥领先第二名， 成为了又一部现象级电影下表统计了《哪吒２》上映前１５天累计票房到达 ｙ（单位：亿 元）与所用时间ｘ（单位：天）的数据： 累计票房ｙ ２０ ４０ ６０ ８０ １００ 用时ｘ ４ ７ ９ １０ １５ （１）利用表中的数据，计算相关系数ｒ（结果精确到００１），并推断两个变量的线性相关程度； （２）求ｙ关于ｘ的经验回归方程（系数精确到００１），并预测１５３天时的累计票房，判断这 种预测方法是否合理 参考公式：经验回归方程 ｙ^＝ｂ^ｘ＋ａ^，其中 ｂ^＝ ∑ ｎ ｉ＝１ ｘｉｙｉ－ｎｘ－ｙ－ ∑ ｎ ｉ＝１ ｘ２ｉ－ｎｘ－ ２ ，ａ^＝ｙ－－ｂ^ｘ－ 相关系数ｒ＝ ∑ ｎ ｉ＝１ ｘｉｙｉ－ｎｘ－ｙ－ ∑ ｎ ｉ＝１ ｘ２ｉ－ｎｘ－槡 ２ ∑ ｎ ｉ＝１ ｙ２ｉ－ｎｙ－槡 ２  参考数据：∑ ５ ｉ＝１ ｘｉｙｉ＝３２００，∑ ５ ｉ＝１ ｘ２ｉ＝４７１，∑ ５ ｉ＝１ ｙ２ｉ＝２２０００，槡１６５≈１２８４５ １６（１５分） 已知数列 ａ{ }ｎ 满足ａ１＝３，ａｎ＋１＝ａｎ＋２ ｎ＋１ （１）求数列 ａ{ }ｎ 的通项公式； （２）若ｂｎ＝（２ｎ－１）ａｎ－２ｎ ２＋ｎ，求数列 ｂ{ }ｎ 的前 ｎ项和Ｓｎ ）页４共（页３第卷试学数级年三高市埠蚌 １７（１５分） 如图，在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，△ＡＢＣ是正三角形，ＤＡ＝ＤＣ，ＰＡ＝ＰＣ，ＢＤ⊥ＰＡ （１）求证：平面ＰＡＣ⊥平面ＡＢＣＤ； （２）设ＡＢ 槡＝２３，若点Ｐ，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ均在球Ｏ的球面上且点Ｏ在平面ＡＢＣＤ内 　第１７题图 （ｉ）求四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的体积； （ｉ）求平面ＰＡＢ与平面ＰＣＢ的夹角的余弦值 １８（１７分） 已知抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点为Ｆ，Ｅ（４，０），Ｏ为坐标原点，Ｃ上存在点Ｐ到Ｏ和Ｅ 的距离都等于 槡２３ （１）求抛物线Ｃ的方程； （２）过点Ｅ的直线ｌ交抛物线Ｃ于Ａ，Ｂ点，直线ＡＦ与Ｃ相交于另一点Ｍ，直线ＢＦ与Ｃ相 交于另一点Ｎ （ｉ）求证：ＯＡ⊥ＯＢ； （ｉ）求证：直线ＭＮ经过定点 １９（１７分） 已知函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ （１）求曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（０，ｆ（０））处的切线方程； （２）若ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）·ｃｏｓｘ，ｘ∈ ０，２[ ]π，求ｇ（ｘ）的极大值； （３）若ｈ（ｘ）＝ｆ（１－ｘ）－ｓｉｎｘ，ｘ∈ ０，２[ ]π，求证：ｈ（ｘ）的所有零点之和大于π且小于２π ）页４共（页４第卷试学数级年三高市埠蚌