第六章　一次函数课件 2025-2026学年 鲁教版（五四制）（2024）七年级数学上册

专题训练六　一次函数与方案设计问题 1．小李新买了一部手机，同时想选择一种新套餐．获悉某通信 公司新开发了甲、乙两种手机话费套餐，其每月通话费用与通 话时间之间的关系如图所示．若平时小李每月的通话时间大约在 120分钟，请你帮忙选择一下，小李选择___种套餐合适． 乙 2．某通信公司推出A，B，C三种上网收费方式，每月收取的费 用yA，yB，yC与月上网时间x的对应关系如图所示． (1)对于上网方式A，若月上网时间在25小时以内，月收费为 ______元； (2)如果月上网时间超过35小时且不足55小时，选择______方式 最省钱； (3)对于上网方式B，若月上网时间超过60小时，超出的时间每小 时收费______元； (4)根据图象，写出一个其他的推断． 解：(1)30；(2)B； (3)(120－60)÷(80－60)＝3(元)， 故答案为：3； (4)当上网时间超过80分钟时，选择C方式最省钱．(答案不唯一) 3．[2024·兴宁市期末]某通讯公司开展营销活动，设置了甲、乙两种手机资费套餐，手机资费y(元)与通话时间x(分)之间的关系如图所示． (1)说明线段AB的实际意义； (2)求出乙套餐每月手机资费y(元)与 通话时间x(分)之间的函数关系式； (3)结合图象，说明选择哪种手机资费套餐更合算． (3)由图象可知，当通话时间不超过150分钟时，选择甲种手机资费套餐更合算；当通话时间超过150分钟时，选择乙种手机资费套餐更合算；当通话时间为150分钟时，两种套餐价格一样． 4．[2024·惠城区期末]为宣传“青少年身心全面发展”理念，某游泳馆面向全体学生推出优惠活动，活动套餐如下： 套餐一：购买会员卡，购买门票打五折； 套餐二：不购买会员卡，购买门票打七五折． 若在此优惠活动期间购买一张会员卡的费用为40元，游玩x次，按套餐一所需费用为y1元，且y1＝k1x＋b(k1≠0)；按套餐二所需费用为y2元，且y2＝k2x(k2≠0)，其函数图象如图． (1)求k1和b的值； (2)一张门票的原价为_____元； (3)小明计划在优惠活动期间来此游泳馆游泳，请你通过计算，根据他到游泳馆的次数情况，帮他分析出选择哪种套餐更合算？ (2)由(1)得k1＝16，b＝40， 可知，k1＝16表示的实际意义是：购买一张会员卡后每次游泳费用为16元； 所以优惠活动前每次游泳的费用为16÷0.5＝32(元)， 故答案为：32； (3)根据题意得k2＝32×0.75＝24， 所以y2＝24x， 由(1)得k1＝16，b＝40， 所以y1＝16x＋40， 当y1＝y2时，16x＋40＝24x， 解得x＝5， 所以根据图象可知，他到游泳馆游泳次数少于5次时，按照套餐二更合算；他到游泳馆游泳次数等于5次时，按照两种方式都一样；他到游泳馆游泳次数多于5次时，按照套餐一更合算． 5．[2024·常州期末]甲、乙两家汽车出租公司收取的租车费y甲(元)、y乙(元)都是行车里程x(千米)的函数，它们的图象如图所示． (1)根据图象回答：当x＝_____时，甲、 乙两家公司的租车费相等； (2)求y乙与x之间的函数表达式； (3)若丙汽车出租公司收取的租车费为每千米0.25元，另收取一次性管理费1 200元．在这三家公司中，你认为在哪家公司租车较好？ 6．[2024·白城模拟]在创建国家卫生城市环境综合整治行动中，某小区计划对楼体外墙进行粉刷，现有甲、乙两家装饰公司有意承接此项工程，已知甲公司的费用y(元)与粉刷面积x(x≥100)(m2)的关系如表： 粉刷面积x(m2) … 100 200 300 400 … 费用y(元) … 2 000 4 000 6 000 8 000 … 乙公司表示：若该小区先支付2 000元的基本承包费，则可按10元/m2的价格收费，请据以上信息，解答下列问题： (1)若甲公司收取的费用y(元)与粉刷面积x(m2)满足我们学过的某一函数关系，试确定这一函数表达式； (2)试确定乙公司收取的费用y(元)与粉刷面积x(x≥100)(m2)满足的函数表达式； (3)在给出的平面直角坐标系内画出(1)(2)中的函数图象，并确定若该小区粉刷面积约为600 m2，则选择哪家装饰公司施工更合算． 解：(1)y甲＝20x(x≥100)； (2)根据题意得y乙＝2 000＋10x(x≥100)； (3)画出函数的图象如图： 把x＝600代入y甲＝20x，得y甲＝20×600＝12 000(元)， 把x＝600代入y乙＝2 000＋10x，得y乙＝2 000＋10×600＝ 8 000(元)， y甲＞y乙， 所以若该小区粉刷面积约为600 m2，则选择乙装饰公司进行施 工更合算． 解：(1)线段AB的实际意义：甲套餐通话时间不超过30分钟时手机资费9元； (2)设乙套餐每月手机资费y(元)与通话时间x(分)之间的函数关系式为y＝kx＋b， 把(30，27)，(150，39)代入解析式得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(30k＋b＝27，,150k＋b＝39，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝0.1，,b＝24，)) 所以乙套餐每月手机资费y(元)与通话时间x(分)之间的函数关系式为y＝0.1x＋24； 解：(1)由图象知，y1的图象过点(0，40)，(10，200)， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10k1＋b＝200，,b＝40，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝16，,b＝40；)) 解：(1)2 000； (2)将坐标(2 000，2 000)代入y乙＝k2x＋1 000， 得2 000k2＋1 000＝2 000， 解得k2＝eq \f(1,2)， 即y乙与x之间的函数表达式为y乙＝eq \f(1,2)x＋1 000； (3)丙汽车出租公司收取的租车费y丙(元)与行车里程x(千米)之间的函数表达式为y丙＝eq \f(1,4)x＋1 200，其图象如图所示： 将坐标(2 000，2 000)代入y甲＝k1x， 解得k1＝1， 所以y甲与x之间的函数表达式为y甲＝x. 设甲、丙两函数图象的交点坐标为(a，b)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b，,\f(1,4)a＋1 200＝b，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1 600，,b＝1 600，)) 所以甲、丙两函数图象的交点坐标为(1 600，1 600)． 由图象可知，当0＜x＜1 600时，选择甲公司租车较好；当x＝ 1 600时，选择甲公司租车或丙公司租车均可；当x＞1 600时，选择丙公司租车较好． $$第六章综合测试卷 一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分) 1．[泸州中考]下列曲线中不能表示y是x的函数的是( ) 3．[2024·永年区期末]某品牌的自行车链条每节长为2.5 cm，每两节链条相连部分重叠的圆的直径为0.8 cm，按照这种连接方式，n节链条总长度为y cm，则y与n的表达式是( ) A．y＝2.5n B．y＝1.7n C．y＝1.7n＋0.8 D．y＝2.5n－0.8 4．[2024·甘井子区一模]将直线y＝2x－1向右平移2个单位长度，所得直线的表达式为( ) A．y＝2x＋1 B．y＝2x－2 C．y＝2x－3 D．y＝2x－5 5．[2024·包河区期末]一次函数y＝－ x＋m的图象过点(x1，y1)， (x1－2，y2)，则y1和y2的大小关系是( ) A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．无法确定 6．[2024·沈河区期中]已知y＝kx－2的图象经过点A，且y随x的增大而增大，则点A的坐标可能是( ) A．(－1，2) B．(－3，2) C．(2，－5) D．(4，1) 7．[2023·陕西]在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x＋a(a为常数，a＜0)的图象可能是( ) 9．[2024·任城区期末]甲、乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离y(米)和骑行的时间x(秒)之间的函数关系图象如图所示，下列说法： ①a＝450　②b＝150　③甲的速度为8米/秒　④当甲、乙相距50米时，甲出发了56秒或64秒．其中不正确的结 论有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．[2024·深圳期末]2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作报告中一个新关键词——“人工智能＋”引发热议．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为x(s)，聪聪和慧慧行走的路程分别为y1(cm)，y2(cm)，y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是( ) A．客人距离厨房门口450 cm B．慧慧比聪聪晚出发15秒 C．聪聪的速度为10厘米/秒 D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为140 cm 二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分) 11．当m____时，函数y＝(m＋2)x＋1－m是正比例函数；当 m______时，函数y＝(m＋2)x＋1－m是一次函数． 12．[2024·齐齐哈尔]在函数y＝ 中，自变量x的 取值范围是_______________． ＝1 ≠－2 x＞－3且x≠－2 －1 14．[达州中考]如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值 为3，则输出y值为__． 2 15．[2024·宁阳县期末]已知直线y＝－x＋2交x轴于点A，交y轴 于点B，点P是x轴正半轴上的一点，连接PB.当△APB的面积等于4 时，直线PB的表达式为___________． 16．[2023·阜新]德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰 富，景色优美著称．今年5月在此举办的“漠上草原欢乐跑”首届 马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加，甲、乙两名选手同 时参加了往返10 km(单程5 km)的业余组比赛，如果全程保持匀 速，甲、乙之间的距离s(km)与甲所用的时间t(h)之间的函数关 系如图所示，那么当甲到达终点时， 乙距离终点__km. 4 三、解答题(共72分) 17．(8分)某商店出售一种瓜子，其售价y(元)与瓜子质量x(千克)之间的关系如表： 其中售价中的0.2元是塑料袋的价钱． (1)在这个变化过程中，自变量与因变量各是什么？ (2)写出出售7千克瓜子时的售价； (3)写出y与x之间的关系式； 质量x/千克 1 2 3 4 … 售价y/元 3.6＋0.2 7.2＋0.2 10.8＋0.2 14.4＋0.2 … (4)商店规定，当一次性购买100千克及以上时全部所购瓜子打九折，一班、二班正好要搞一次“庆党的二十大一次会议胜利召开”庆祝活动，两个班级共94人，其中一班比二班多2人，每人买1千克，都用1千克的小袋包装好，但小包装袋的费用及包装人工费全免．问要买够两个班的瓜子，正常情况下最少要花多少钱？ 解：(1)在这个变化过程中，自变量是瓜子的质量，因变量是售价； (2)根据题意得3.6×7＋0.2＝25.4(元)． 答：出售7千克瓜子时的售价为25.4元； (3)根据题意得y＝3.6x＋0.2； (4)当购买94千克瓜子时所需费用为3.6×94＝338.4(元)； 当购买100千克瓜子时所需费用为3.6×0.9×100＝324(元)． 因为338.4＞324， 所以要买够两个班的瓜子，正常情况下最少要花324元． 18．(10分)已知一次函数y＝2x＋m与y＝－x＋n的图象都经过点A(－2，0)，且与y轴分别交于B，C两点． (1)在同一坐标系中，画出这两个函数的图象； (2)求△ABC的面积． 19．(10分)[2024·楚雄一模]云南拥有丰富的野生菌资源，被称为野生菌王国，某批发商购进A，B两个品种的野生菌共20千克，其中A品种的野生菌价格为每千克30元，购进B品种野生菌所需费用y(单位：元)与购买数量x(单位：千克)的函数关系如图所示． (1)求y与x的函数表达式； (2)若购买B品种的野生菌的重量不超过12千克， 但不少于A品种野生菌的重量，试问如何购买能 使购买费用最少，最少费用是多少？ 设该批发商购进A，B两个品种的野生菌的总费用为w元，则w＝30(20－x)＋(40x＋40)， 即w＝10x＋640， 因为10＞0，所以w随x的增大而增大，所以当x＝10时，w取得最小值，最小值为10×10＋640＝740，此时20－x＝20－10＝10.所以购买A，B两种野生菌各10千克，总费用最少，最少为740元． 20．(10分)从2024年起，郑州市中招体育考试总分将提高至100分，为了适应新的中考要求，学校准备从网上订购一批足球和跳绳，网络搜索后发现足球每个定价150元，跳绳每条定价30元，现有A，B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案． A网店：买一个足球送一条跳绳； B网店：足球和跳绳都打九折． 已知要购买足球60个，跳绳x条(x＞60)． (1)分别求出在A，B两家网店购买所需的费用yA和yB； (2)若yA＝yB，求出x的值； (3)试从函数图象的角度说明何时在哪家网店购买更划算？ 解：(1)由题意得yA＝150×60＋30(x－60)＝30x＋7 200； yB＝150×60×0.9＋30x×0.9＝27x＋8 100. 所以yA＝30x＋7 200；yB＝27x＋8 100； (2)令yA＝yB，30x＋7 200＝27x＋8 100， 解得x＝300； (3)画出yA，yB关于x的函数图象， 由图象可知，当x＜300时，到A店买更合算； 当x＞300时，到B店买更合算； 当x＝300时，到A，B买一样合算． 21．(10分)A，B两地相距12千米，甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图的折线OPQ和线段EF，分别表示甲、乙两人与A地的距离y甲，y乙与他们所行时间x(h)之间的函数关系，且OP与EF相交于点M. (1)求y乙与x的函数表达式以及两人相遇地 点与A地的距离； (2)求线段OP对应的y甲与x的函数表达式； (3)直接写出经过多少小时，甲、乙两人相距6千米． 22．(12分)阅读理解 请先阅读下列“建立直角坐标系、应用一次函数”解决问题的方法，然后再应用此方法解决后续问题． 问题：如图1，直立在点D处的标杆CD长3 m，站立在点F处的观察者从点E处看到标杆顶C、旗杆顶A在一条直线上．已知BD＝15 m，FD＝2 m，EF＝1.6 m，求旗杆高AB. 请应用上述方法解决下列问题： 如图3，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3 m，沿BD方向到达点F处再测得自己的影长FG＝4 m．如果小明的身高为1.6 m，求路灯杆AB的高度． 23.[模型意识](12分)【情境引入】数学来源于生活，数学问题往往产生于某一场景中或一瞬间．晓聪用一款数学应用软件绘制一个小球运动瞬间(图1)，由此产生一些数学问题，请你帮助晓聪解决下列问题． 【条件设置】将图1放置在直角坐标系中(如图)，设点O为坐标原点，水平直线OC为横轴，过点O的铅垂线为纵轴．小球从y轴上的A点出发，到达x轴上的B点后改变方向运动到挡板CG上D点处，其中DC⊥x轴，垂足为C，∠ABD＝90°，小球运动都为直线型路径． 【问题探究】 (1)如图2，若AB的函数关系式为y＝－ x＋4，AB＝BD. ①点D的坐标为______； ②小球再次从y轴上的A点出发，到达x轴上的N点后改变方向运 动到挡板上D点，求当AN＋DN取得最小值时，直线DN的函数表达 式； (2)如图3，连接AD，若OB＝BC，OA＝4，DC＝3，求AD的长； (3)如图3，若点A，D分别是y轴，CG上的动点，OB＝BC＝4，直接写出OA＋CD的最小值． (注：直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半) 解：(1)①(7，3)； ②如图1， 作点A(0，4)关于x轴的对称点A′(0，－4)， 所以AN＝A′N， 所以AN＋DN＝A′N＋DN≥A′D， 根据“两点之间，线段最短”知，当A′，N，D三点在同一条直线上时，AN＋DN＝A′N＋DN＝A′D，此时AN＋DN取得最小值， (2)如图2，延长AB与DC延长线交于点E， 因为OB＝BC，∠ABO＝∠EBC， ∠AOB＝∠BCE＝90°， 所以△ABO≌△EBC(ASA)， 所以AB＝EB，CE＝OA＝4. 又因为DB⊥AE，DC＝3， 所以AD＝DE＝DC＋CE＝7； (3)如图3，延长AB与DC延长线交于点E， 同理(2)可得，OA＋CD＝CE＋CD＝ED， 取ED的中点P，连接BP，在Rt△DBE中， ∠DBE＝90°，则ED＝2BP， 根据“垂线段最短”得BP≥BC， 则BP≥4，所以OA＋CD＝2BP≥8， 所以OA＋CD的最小值为8. 2．[2024·郑州期中]给出下列函数：①x＋y＝0　②y＝x＋2　 ③y＋3＝3(x＋1)　④y＝2x2＋1　⑤y＝eq \f(3,x)＋2　⑥y＝kx＋3.其 中y一定是x的一次函数的有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 eq \f(1,2) 8．[2024·临川区期中]已知a，b，c均为正数，且eq \f(a,b＋c)＝eq \f(b,c＋a)＝eq \f(c,a＋b)＝k，则下列四个点中，在正比例函数y＝kx图象上的点的坐标 是( ) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2))) B．(1，2) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2))) D．(1，－1) eq \f(1,\r(3＋x))＋eq \f(1,x＋2) 13．已知关于x的一次函数y＝mx＋n的图象如图所示，则|m－n|－eq \r(m2)－eq \r(（n＋1）2)可化简为 ． y＝－eq \f(1,3)x＋2 解：(1)因为一次函数y＝2x＋m与y＝－x＋n的图象都经过点 A(－2，0)， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4＋m＝0，,2＋n＝0，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n＝－2，)) 所以，这两个一次函数分别是y＝2x＋4，y＝－x－2. 两个一次函数的图象如图所示， (2)因为，点A，B，C的坐标分别是 A(－2，0)，B(0，4)，C(0，－2)， 所以BC＝6，OA＝2因此， △ABC的面积是6×2×eq \f(1,2)＝6. 解：(1)y与x的函数表达式为y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50x（0≤x≤4），,40x＋40（x＞4）；)) (2)因为该批发商购进A，B两个品种的野生菌共20千克，购进B品种野生菌x千克， 所以购进A品种野生菌(20－x)千克． 根据题意得10≤x≤12. 解：(1)设y乙与x的函数表达式为y乙＝kx＋b(k，b为常数，且 k≠0)． 将坐标E(0，12)和F(2，0)分别代入y乙＝kx＋b，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝12，,2k＋b＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－6，,b＝12，))所以y乙与x的函数表达式为y乙＝－6x＋12(0≤x≤2)， 当x＝0.5时，y乙＝－6×0.5＋12＝9，所以M(0.5，9)，所以两人相遇地点与A地的距离为9 km； (2)甲的速度为9÷0.5＝18(km/h)， 甲到达B地用时12÷18＝eq \f(2,3)(h)， 所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，12))， 所以线段OP对应的y甲与x的函数关系式为y甲＝18xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(2,3)))； (3)当0≤x≤eq \f(2,3)，甲、乙两人相距6千米时，得|－6x＋12－18x|＝6，解得x＝eq \f(1,4)或eq \f(3,4)(舍去)； 当eq \f(2,3)＜x≤2，甲、乙两人相距6千米时，得12－(－6x＋12)＝6，解得x＝1. 答：经过eq \f(1,4) h或1 h，甲、乙两人相距6千米． 解：建立如图2所示的直角坐标系，则线段AE可看作一个一次函数的图象． 由题意可得各点坐标为点E(0，1.6)，C(2，3)，B(17，0)，且所求的高度就为点A的纵坐标． 设直线AE的函数关系式为y＝kx＋b. 把E(0，1.6)，C(2，3)代入得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝1.6，,2k＋b＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝0.7，,b＝1.6，))所以y＝0.7x＋1.6.所以当x＝17时，y＝0.7×17＋1.6＝13.5，即AB＝13.5(m)． 解决问题 解：建立如图所示的直角坐标系，则线段 AG可看作一个一次函数的图象． 由题意可得各点坐标为点G(0，0)， E(－4，1.6)，且所求的高度就为点A的纵坐标． 设直线AE的函数表达式为y＝kx＋b. 把G(0，0)，E(－4，1.6)代入得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝0，,－4k＝1.6，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－0.4，,b＝0，)) 所以直线AE的函数表达式为y＝－0.4x①. 因为直线AF过点C(－7，1.6)，F(－4，0)，所以直线AF的表达式为y＝－eq \f(8,15)x－eq \f(32,15)②， 联立①②解得，x＝－16，y＝6.4. 答：路灯杆AB的高度6.4 m. eq \f(4,3) 设直线A′D函数表达式为y＝kx＋b，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－4，,7k＋b＝3，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝－4，)) 所以当AN＋DN取得最小值时，DN的函数表达式为y＝x－4； $$第2课时　一次函数的简单应用 2．[2024·高新区期末]某客运公司规定旅客可以免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费y(元)与行李质量x(kg)之间的函数表达式为y＝kx＋b，该函数图象如图所示，下列说法错误的是( ) A．k＞0 B．b＜0 C．旅客最多可免费携带行李10 kg D．当行李的质量超过规定时，超出部分的行李每千克需要加收0.6元 3．[2025·安庆期中]若一次函数y＝kx－b(k为常数且k≠0)的图 象经过点(－3，0)，则关于x的方程k(x－8)－b＝0的解为( ) A．x＝5 B．x＝3 C．x＝－3 D．x＝－5 4．[2024·锦江区期末]某生物兴趣小组观察一种植物的生长情况，得到这种植物的高度y(厘米)与观察时间x(天)的函数关系图象如图所示．照此计算，该植物的高度超过12厘米至少需要经过( ) A．16天 B．32天 C．40天 D．56天 5．[2023·镇江]小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程s(m)与时间t(min)之间的函数关系，已知小明购物用时30 min，返回速度是去商场的速度的1.2倍，则a的值为( ) A．46 B．48 C．50 D．52 6．[2024·嵊州期末]我们发现：在平面直角坐标系中，两条直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2互相垂直，则k1·k2＝－1.若直线l：y＝mx＋n与y＝2x－3互相垂直，且经过(2，1)，则n的值是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 7.[中华传统文化][2025·深圳期末]“漏刻”是我国古代一种利 用水流计时的工具(如图1)，综合实践小组用甲、乙两个透明的 竖直放置的容器和一根装有节流阀(控制水的流速)的软管，制作 了类似“漏刻”的简易计时装置(如图2)．上午9：00，综合实践 小组在甲容器里加满水，经过实验得到甲容器的水面高度h(cm) 与流水时间t(min)的关系如图3所示，下列说法错误的是( ) A．甲容器的初始水面高度为30 cm B．14：00甲容器的水流光 C．甲容器的水面高度h与流水时间t的关系式为h＝－0.1t＋30 D．11：00时甲容器的水面高度为12 cm 8．[2024·资阳]小王前往距家2 000米的公司参会，先以v0(单 位：米/分钟)的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会 议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程s(单 位：米)与离家的时间t(单位：分钟)之间的函数图象如图所示． 若小王全程以v0的速度步行，则他到达时距会议开始还有__分钟． 5 9．[2023·东营]如图，一束光线从点A(－2，5)出发，经过y轴 上的点B(0，1)反射后经过点C(m，n)，则2m－n的值是____． －1 10.[新定义][2024·扬州期末]对于平面直角坐标系中的点P(x， y)，若x，y满足|x|＝|y|，则点P(x，y)就称为“奇妙点”．已 知一次函数y＝2x＋b(b为常数)图象上有一个“奇妙点”的坐标 是(3，3)，则一次函数y＝2x＋b图象上另一“奇妙点”的坐标 是_________． (1，－1) 11．[2024·新昌县期末]生物学家测得，某种蛇在一定生长阶段它的体长y和尾长x的数据如下表．(单位：cm) (1)当6≤x≤10时，尾长x每增加1 cm，则体长y增加多少？ (2)判断变量x，y是否满足或近似地满足一次函数关系式．如果是，求y关于x的函数表达式． 尾长x(cm) 6 7 8 9 10 体长y(cm) 45.5 53 60.5 68 75.5 所以y＝7.5x＋0.5， 当x＝8时，y＝7.5×8＋0.5＝60.5； 当x＝9时，y＝7.5×9＋0.5＝68； 当x＝10时，y＝7.5×10＋0.5＝75.5； 所以y关于x的函数表达式为y＝7.5x＋0.5. 12．[2024·长春]区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点， 根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行 驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一 段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速 行驶 小时，再立即减速以另一速度匀速行驶(减速时间忽略不 计)，当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段 行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程 y(千米)与在此路段行驶的时间x(时)之间的函数图象如图所示． (1)甲车行驶的速度是______km/h，并在图中括号内填上正确的数； (2)求图中线段EF所在直线的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围)； (3)请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍． 14．[2025·淄博期末]秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离得出秤钩上所挂物体的质量，称重时，若当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x(厘米)时，秤钩所挂物重为y(斤)，则y是x的一次函数．表中为若干次称重时所记录的一些数据. x(厘米) 1 2 4 7 11 12 y(斤) 0.75 1.00 2.00 2.25 3.25 3.50 (1)在上表x，y的数据中，发现有一对数据(x，y)记录错误，在图2中，请通过描点、画图的方法，观察判断出错误的一对数是______；(用坐标表示) (2)根据表格和描点发现： Ⅰ.当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x每增加1厘米时，秤钩所挂物重y的具体变化是_______； Ⅱ.直接写出y与x的函数表达式； Ⅲ.当秤钩所挂物重为5.50斤时，求秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是多少厘米？ 解：(1)根据表格数据，用描点法绘图如下， 所以出错的一对数是(4，2.00)， 故答案为： (4，2.00)； 1．[2024·蜀山区期末]如图，一次函数y＝kx＋b(k＜0)的图象经过点A，则方程kx＋b＝3的解是( ) A．x＝b B．x＝2 C．x＝3 D．x＝－eq \f(b,k) 解：(1)由表数据，得 当6≤x≤10时，尾长x每增加1 cm，则体长y增加7.5 cm； (2)变量x，y满足一次函数关系式． 理由如下： 设x与y的关系式为y＝kx＋b， 把x＝6，y＝45.5；x＝7，y＝53分别代入得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6k＋b＝45.5，,7k＋b＝53，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝7.5，,b＝0.5，)) eq \f(1,12) (1)a的值为______； (2)当eq \f(1,12)≤x≤a时，求y与x之间的函数表达式； (3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．(此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时) 解：(1)由题意得100a＝20， 解得a＝eq \f(1,5)， 故答案为：eq \f(1,5)； (2)设当eq \f(1,12)≤x≤eq \f(1,5)时，y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b (k≠0)，则：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)k＋b＝17，,\f(1,5)k＋b＝20，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝90，,b＝2，)) 所以y＝90x＋2(eq \f(1,12)≤x≤eq \f(1,5))； (3)当x＝eq \f(1,12)时，y＝90×eq \f(1,12)＋2＝9.5， 所以先匀速行驶eq \f(1,12)小时的速度为9.5÷eq \f(1,12)＝114(千米/时)， 因为114＜120， 所以这辆汽车减速前没有超速． 13．[2024·牡丹江]一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早eq \f(2,7)小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程y(km)与两 车行驶时间x(h)的函数关系如图所示，请 结合图象信息，解答下列问题： 解：(1)由图可知，甲车eq \f(2,7)小时行驶的路程为(200－180)km， 所以甲车行驶的速度是(200－180)÷eq \f(2,7)＝70(km/h)， 所以A，C两地的距离为(4＋eq \f(2,7))×70＝300(km)． 故答案为：70；300； (2)由图可知E，F的坐标分别为(eq \f(5,2)，0)，(4，180)， 设线段EF所在直线的函数表达式为y＝kx＋b， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)k＋b＝0，,4k＋b＝180，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝120，,b＝－300，)) 所以线段EF所在直线的函数表达式为y＝120x－300； (3)由(1)知，A，C两地的距离为300 km， 乙车行驶的速度为300÷eq \f(5,2) －70＝50(km/h)， C，B两地的距离为50×4＝200(km)， A，B两地的距离为300－200＝100(km)， 设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍， 分两种情况，当甲经过B地前， 200－50x＝3(100－70x)，解得x＝eq \f(5,8)； 当甲经过B地后，200－50x＝3(70x－100)， 解得x＝eq \f(25,13)； 综上可知，两车出发eq \f(5,8) h或eq \f(25,13) h时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍． (2)Ⅰ.增加0.25斤； Ⅱ.y是x的一次函数，设表达式为y＝kx＋b， 把(7，2.25), (11，3.25)代入，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7k＋b＝2.25，,11k＋b＝3.25，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2)，)) 所以y与x的函数表达式为 y＝eq \f(1,4)x＋eq \f(1,2)(x≥0)； Ⅲ.当y＝5.50，则eq \f(1,4)x＋eq \f(1,2)＝5.50， 所以x＝20，即当秤钩所挂物重为5.50斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是20厘米． $$4　一次函数的应用 第1课时　确定一次函数的表达式 1．[2023·任城区期末]已知y＝(2m－1)x 是正比例函数， 且y随x增大而减小，那么这个函数的表达式为( ) A．y＝3x B．y＝－3x C．y＝5x D．y＝－5x m2－3 2．[2024·孝感期末]阅读图中信息，其中说法正确的是( ) A．琳琳对 B．梅梅对 C．琳琳与梅梅都对 D．琳琳与梅梅都不对 3．[2024·马关县期末]函数y＝3x＋3向上平移3个单位长度后，图象与x轴的交点坐标是( ) A．(－2，0) B．(0，－2) C．(0，6) D．(6，0) 4．[2025·张掖模拟]有一个一次函数的图象，甲、乙两位同学分别说出了它的一些特点．甲：y随x的增大而减小；乙：当x＜2时，y＞0.满足甲、乙两位同学描述的一次函数表达式为( ) A．y＝－2x－2 B．y＝－x－2 C．y＝－x＋2 D．y＝－2x＋2 5．某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是表中的数据： 设鸭的质量为x千克，烤制时间为t分钟．当x＝3.5千克时，t的值为( ) A．130 B．140 C．150 D．160 鸭的质量/千克 0.5 1 1.5 2 2.5 … 烤制时间/分钟 40 60 80 100 120 … 6．[2024·南平期末]若直线y＝k1x－1和直线y＝k2x＋2与x轴交于同一个点，则关于k1，k2的关系式正确的是( ) A．2k1＋k2＝0 B．k1＋2k2＝0 C．2k1－k2＝0 D．k1－2k2＝0 8．[2025·合肥二模]在“探索一次函数y＝kx＋b的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A(0，－1)，B(2，3)，C(3，2)．同学们经过其中任意两点可画出一次函数的图象，并得到对应的函数表达式，其中k＋b最大的值等于( ) A．5 B．4 C．2 D．0 9．如图，过点A的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相 交于点B，则这个一次函数的表达式是__________． y＝－x＋3 10．[2024·东坡区期中]如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(2，4)，B(1，2)，C(5，2)，直线l经过点A，它将△ABC分成面 积相等的两部分，则直线l的表达式为___________． y＝－2x＋8 11．[2024·长安区期末]如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－ x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，以点A为圆心，AB长为 半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则直线BC的表达式为______ ____． y＝3x ＋3 12．[2024·山丹县期末]如图A(3，0)，B(0，2)，以线段AB为 直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，则边BC所在直线的函数表 达式为_________． 13．[2024·鄞州区期末]如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与l1交于点C(2，4)． (1)求k的值及直线l2的表达式； (2)若点M是直线l1上一点，连接OM， 当△BOM的面积是△BOC的面积的2倍 时，求点M的坐标． 解：(1)设正比例函数表达式为y＝k1x， 所以2k1＝4，2k＋5＝4， 所以k1＝2，k＝－ ， 所以正比例函数l2的表达式为y＝2x； 14．[2025·淄博期末]如图，直线y＝ x＋4与x，y轴分别相交 于点A，B，点C在线段AB上，且点C坐标为(－6，m)，点D为线段 OB的中点，点P为OA上一动点，则当△PCD 的周长最小时，点P的 坐标为_________． (－4，0) 15.[分类讨论思想]已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴 交于点B(0，4)，若AB＝5，则直线AB的表达式为____________ _________． 16．[2024·正定县期末]如图，在平面直角坐标系中，点A(2，m)在直线y＝4x－5上，过点A的另一条直线交y轴于点B(0，6)． (1)求直线AB的函数表达式； (2)求△ABC的面积； (3)若点P(t，y1)在线段AB上(可与点A，B重合)， 点Q(t－1，y2)在直线y＝4x－5上，求y1－y2的 最小值． 7．[2024·碑林区模拟]如图，在矩形OACB中，A(－2，0)， B(0，－1)，若一次函数y＝kx＋1的图象经过点C，则k值 是( ) A．－1 B．－eq \f(1,2) C．1 D．eq \f(1,2) eq \f(3,4) y＝eq \f(1,5)x＋2 eq \f(1,2) (2)如图，连接OM， 由条件可知OB＝5，所以S△BOC＝eq \f(1,2)×5×2＝5， 所以S△BOM＝2S△BOC＝10， 即eq \f(1,2)×5|xM|＝10. 所以点 M 的横坐标为 4或－4， 所以yM＝－eq \f(1,2)×4＋5＝3或yM＝－eq \f(1,2)×(－4)＋5＝7， 所以M 的坐标为 (4，3)，(－4，7)． eq \f(1,2) y＝－eq \f(4,3)x＋4或 y＝eq \f(4,3)x＋4 解：(1)因为点A(2，m)在直线y＝4x－5上， 所以m＝8－5＝3， 所以A(2，3)， 设直线AB的表达式为y＝kx＋6，将点A(2，3)代入表达式得3＝2k＋6， 解得k＝－eq \f(3,2)， 所以直线AB的表达式为y＝－eq \f(3,2)x＋6； (2)在直线y＝4x－5中，C(0，－5)， 所以BC＝6＋5＝11， 所以S△ABC＝eq \f(1,2)×11×2＝11； (3)因为点P(t，y1)在线段AB上， 所以0≤t≤2， 根据题意，得y1＝－eq \f(3,2)t＋6，y2＝4(t－1)－5＝4t－9， 所以y1－y2＝－eq \f(3,2)t＋6－4t＋9＝－eq \f(11,2)t＋15， 因为－eq \f(11,2)＜0， 所以函数值随t增大而减小， 当t＝2时，y1－y2取最小值，最小值为－eq \f(11,2)×2＋15＝4. $$第2课时　一次函数与分档计费问题 1．[2025·淄博期中]某市按以下规定收取每月的燃气费，用燃气不超过30立方米，按每立方米1.2元收费；如果超过30立方米，超过部分按每立方米2元收费．已知3月份张老师家的燃气费平均每立方米1.50元，那么3月份张老师家应缴燃气费( ) A．48元 B．60元 C．72元 D．90元 2．[2024·台州一模]某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价(单位：元/度) 第一阶梯 2 760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2 761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4 801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为( ) A．5 250度 B．5 100度 C．4 900度 D．4 850度 3．保险公司的汽车保险，汽车修理费是按分段赔偿，具体赔偿细则如下表．某人在汽车修理后在保险公司得到的赔偿金额是2 000元，那么此人的汽车修理费是( ) A. 2 687元 B．2 687.5元 C．2 688元 D．2 688.5元 汽车修理费x元 赔偿率 0＜x≤500 60% 500＜x≤1 000 70% 1 000＜x≤3 000 80% … … 4．[2024·盐城期中]某市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如表的三个气量阶梯： 甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳 的燃气费用均为4 200元，求该年乙户比甲户多用___立方米的燃 气． 75 5．亮亮家所在城市利用“分时阶梯”的方式计算电价，收费标 准如下表： 亮亮家十二月份用电300千瓦时，并且谷时用电量是峰时用电量 的 ，则亮亮家十二月需要缴纳电费____元． 时段 峰时(8：00～21：00) 谷时(21：00～8：00) 每千瓦时电价 0.60元 0.40元 156 6．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月用水不超过10立方米时，水价为每立方米2.2元；超过10立方米时，超过部分按每立方米2.5元收费． (1)若某户某月用水8立方米，应缴水费多少元？若用水14立方米呢？ (2)写出每户每月应缴水费y(元)与用水量x(立方米)之间的函数关系式； (3)自来水公司到琪琪家收水费，爸爸、妈妈不在家，琪琪自己手里有30元的零花钱，她最多能缴多少立方米的水费？(水量x为整数) (3)因为30>22， 所以令2.5x－3＝30， 解得x＝13.2， 因为水量x为整数， 所以最多能缴13立方米的水费． 7．[2025·锦州期中]问题情境：国庆假期，小李陪爸爸一起去种子公司购买一种新品种玉米种子，经过多次协商，种子公司销售玉米种子，零售价格为每千克5元，并提出多买可优惠：如果一次性购买10千克以上的种子，超过10千克部分的种子的价格打八折，销售价表格如下： 购买种子的数量/千克 2 5 10 12 20 30 … 付款金额/元 10 50 58 130 … 任务一：由于表格中有两处印刷不清，爸爸要求小李直接写出表格中空缺的值，你能否帮小李完成？请直接写出； 任务二：爸爸说这次购买数量大于10千克，但不确定具体数量，小李想利用所学知识为爸爸建立一个数量关系，便于爸爸计算，若设购买种子数量为x(x>10)千克，付款金额为y元，请你为小李建立y与x的函数关系式； 任务三：小李爸爸计划第一次购买种子40千克，第二次再购买8千克，若考虑两次购买种子的数量合在一起购买，请你帮小李爸爸计算出可省多少钱？ 解：任务一：因为5×5＝25，50＋5×(20－10)×0.8＝90， 故填表如下： 购买种子的数量/千克 2 5 10 12 20 30 … 付款金额/元 10 25 50 58 90 130 … 任务二：y＝5×10＋5×0.8(x－10)＝4x＋10； 任务三：购买40千克付款金额＝4×40＋10＝170(元)， 购买8千克付款金额＝5×8＝40(元)， 一起购买付款金额＝4×(40＋8)＋10＝202(元)， 所以170＋40－202＝8(元)， 答：一起购买可省8元． 8．某移动公司推出A，B两种电话计费方式： 计费方式 月使用 费/元 主叫限定 时间/min 主叫超时 费/(元/min) 被叫 A 78 200 0.25 免费 B 108 500 0.19 免费 (1)设一个月内用移动电话主叫时间为t min，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A、方式B的计费金额关于t的函数关系式； (2)若你预计每月主叫时间为350 min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由； (3)若移动公司又推出C种电话计费方式，月使用费203元，主叫不限时间，被叫免费．请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式． (2)选择方式B计费，理由如下： 当每月主叫时间为350 min时， y1＝0.25×350＋28＝115.5， y2＝108， 因为115.5>108， 所以选择方式B计费； (3)令y1＝108，得0.25t＋28＝108，解得t＝320， 所以当0≤t<320时，y1<y2<203， 所以当0≤t<320时，方式A更省钱； 当t＝320，方式A和B的付费金额相同； 令y2＝203，得0.19t＋13＝203， 解得t＝1 000， 当320<t<1 000，方式B更省钱． 当t＝1 000，方式B和C的付费金额相同； 当t>1 000，方式C更省钱， 综上所述：当0≤t<320时，方式A更省钱； 当t＝320，方式A和B一样省钱； 当320<t<1 000，方式B更省钱； 当t＝1 000，方式B和C一样省钱； 当t>1 000，方式C更省钱． eq \f(2,3) 解：(1)因为某户某月用水8立方米，小于10立方米， 所以用水8立方米应缴水费2.2×8＝17.6(元)； 因为用水14立方米，大于10立方米， 所以用水14立方米应缴水费2.2×10＋2.5×(14－10)＝32(元)； (2)由题意可得：当0<x≤10时，y＝2.2x， 当x>10时，y＝2.2×10＋(x－10)×2.5＝2.5x－3， 故y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2.5x－3（x>10），,2.2x（0<x≤10）；)) 解：(1)设方式A的计费金额y1(元)，方式B的计费金额y2(元)， 根据表格数据可知， 当0≤t≤200时，y1＝78； 当t>200时，y1＝78＋0.25(t－200)＝0.25t＋28； 当0≤t≤500时，y2＝108； 当t>500时，y2＝108＋0.19(t－500)＝0.19t＋13. 综上，y1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(78（0≤t≤200），,0.25t＋28（t>200），))y2＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(108（0≤t≤500），,0.19t＋13（t>500）；)) $$第2课时　一次函数的图象及性质 1．[2024·浦江县期末]下列各点中，在直线y＝x＋3上的 是( ) A．(0，3) B．(3，0) C．(0，－3) D．(1，3) 2．[兰州中考]若一次函数y＝2x＋1的图象经过点(－3，y1)，(4，y2)，则y1与y2的大小关系是( ) A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2 3．[2023·益阳]关于一次函数y＝x＋1，下列说法正确的 是( ) A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点(0，1) C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当x＞－1时，y＜0 4．[2024·化州期末]已知一次函数y＝kx＋b，y随着x的增大而减小，且kb＞0，则在直角坐标系内它的大致图象是( ) 5．[2024·九龙坡区期末]若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则函数y＝bx＋k的大致图象是( ) 6．[2024·贵港期末]已知一次函数y＝mnx与y＝mx＋n(m，n为常数，且mn≠0)，则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为( ) 7．[2024·化州期末]已知直线y＝－ x＋8与x轴、y轴分别交于 点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x 轴上的点B′处，则点M的坐标是( ) A．(0，2) B．(0，3) C．(0，4) D．(0，5) 8．[2024·西湖区期末]已知y是关于x的一次函数，如表是部分x与y的对应值，则m的值为( ) A.－2 B．－3 C．－4 D．－5 x … －1 0 1 2 3 … y … 2 －1 m －7 －10 … 9．[2024·新城区模拟]在平面直角坐标系中，直线y＝ax(a为常数且a≠0)沿y轴向上平移6个单位长度后，与x轴交于点A，与y轴交于点B.若△AOB的面积为3，则a的值为( ) A．－6 B．3 C．3或－3 D．6或－6 10．[2024·二七区期中]甲、乙两位同学各给出某函数的一个特 征，甲：“函数值y随自变量x增大而增大”；乙：“函数图象经 过点(0，－2)”，请你写出一个同时满足这两个特征的一次函数， 其表达式可以是____________________． 11．[2024·碑林区期中]若点P(－1，y1)和点Q(3，y2)是一次函 数y＝－2x＋3的图象上的两点，y1与y2的大小关系是：y1___y2. (填“＞”“＜”或“＝”) y＝x－2(答案不唯一) ＞ 12．[2024·西湖区期末]已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象不 经过第三象限，当－3≤x≤1时，y的最大值与最小值的差为6， 则k的值____． 13．[2024·全椒县期中]当1≤x≤5时，一次函数y＝－2x＋3b＋ 4的最小值为－12，则b＝____． －2 14．[2024·温州期末]已知点(x1，y1)，(x2，y2)在一次函数y＝ kx＋2(k≠0)的图象上．当x1＜x2时，y1＞y2，则该函数图象不经 过第___象限． 三 (2)画图象如图： 能，向下平移3个单位长度． 16．[2024·石家庄期中]已知一次函数y＝2x＋4. (1)图象与x轴的交点A的坐标是_____， 与y轴的交点B的坐标是_____； (2)在如图所示的平面直角坐标系中， 画出函数的图象； (3)求出△AOB的面积； (4)利用图象直接写出：当y＜0时， x的取值范围是_____． 解：(1)(－2，0)，(0，4)； (2)函数图象如图所示； 17．[2024·红旗区期末改编]如图，正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝x＋2的图象交于点A(c，4)，一次函数图象经过点B(－4，d)，与y轴的交点为C，与x轴的交点为D. (1)求A，B，C，D四点的坐标； (2)一次函数y＝x＋2的图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)如果在y轴上存在一点Q，使△OAQ是以OA为底边的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 解：(1)A(2，4)，B(－4，－2)，C(0，2)，D(－2，0)； (2)存在，理由： 设点P(m，n)， 因为点D(－2，0)，故OD＝0－(－2)＝2， 根据题意可知S△ODP＝ ×OD×|n|＝ ×2|n|＝3， 解得n＝±3， 当n＝3时，m＝1， 当n＝－3时，m＝－5， 所以P点的坐标(1，3)或(－5，－3)； (3)设点Q(0，y)， 则QO＝QA， 即y2＝22＋(y－4)2， 解得y＝2.5， 即点Q的坐标为(0，2.5)． 18.[分类讨论思想]如图，已知一次函数y＝ x＋m的图象与x轴 交于点A(－6，0)，交y轴于点B. (1)求m的值与点B的坐标； (2)问在x轴上是否存在点C，使得△ABC的面积为16？若存在，求 出点C的坐标；若不存在，说明理由； (3)问在x轴上是否存在点P，使得△ABP为等腰 三角形，求出点P坐标． (1)【探索】探究函数 y＝2|x－2|－1 的图象与性质：当x≥2时，y＝2|x－2|－1＝2x－5，当x＜2时，y＝2|x－2|－1＝－2x＋3； ①列表： x … －1 0 1 2 3 4 5 … y … 5 3 1 －1 1 3 5 … ②请根据①中表格里的数据在给出的平面直角坐标系中描点，并画出y＝2|x－2|－1的图象； (2)【拓展应用】若关于x的方程2|x－2|－1＝ x＋m有两个均 大于1的实数解，结合图象直接写出m的取值范围． 解：(1)②如图所示； eq \f(4,3) －eq \f(3,2) 15．[2024·电白区期中]已知一次函数y＝－2x＋3. (1)试判断点(eq \f(5,4)，－4)(－eq \f(5,6)，eq \f(14,3))，是否在这个函数的图象上； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象并回答：通过平移这个函数的图象，能否得到正比例 函数y＝－2x的图象？如果能，请直接写出平 移方法，如果不能，请说明理由． 解：(1)当x＝eq \f(5,4)时，y＝－2×eq \f(5,4)＋3＝eq \f(1,2)≠－4， 所以点(eq \f(5,4)，－4)不在这个函数的图象上， 当x＝－eq \f(5,6)时，y＝－2×(－eq \f(5,6))＋3＝eq \f(14,3)， 所以点(－eq \f(5,6)，eq \f(14,3))在这个函数的图象上； (3)S△AOB＝eq \f(1,2)OA·OB＝eq \f(1,2)×2×4＝4； (4)由图象可得当y＜0时，x＜－2. 故答案为：x＜－2. eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(4,3) 解：(1)把点A(－6，0)代入y＝eq \f(4,3)x＋m，得m＝8， 所以点B坐标为(0，8)； (2)存在，设点C坐标为(a，0)，由题意eq \f(1,2)·|a＋6|·8＝16， 解得a＝－2或－10， 所以点C坐标(－2，0)或(－10，0)； (3)如图， ①当AB＝AP时，AP＝AB＝eq \r(62＋82)＝10， 可得P1(－16，0)，P2(4，0); ②当BA＝BP时，OA＝OP，可得P3(6，0)； ③当PA＝PB时，xP2＋82＝(xP＋6)2，解得xP＝eq \f(7,3)，可得P4(eq \f(7,3)，0)， 综上所述，满足条件的点P坐标为(－16，0)或(4，0)或(6，0)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，0)). 19. [数形结合思想][2025·长春期中]学完一次函数后，小明同学通过列表、描点、连线的方法画函数图象，并利用函数图象研究函数的性质，由于学习了绝对值的意义：|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0），,－a（a<0），))请你帮助小明完成下列问题． ③(多选题)结合图象，下列说法正确的有_______； A．函数最小值是－1 B．x＞2时，y值随x值的增大而增大 C．当x≤eq \f(3,2)或x≥eq \f(5,2)时，y≥0 D．当1＜x≤4时，1＜y≤3 eq \f(1,2) ③由图象知，当1＜x≤4时，－1≤y≤3，故D错误． 故答案为：ABC； (2)如图所示，虚线为直线y＝eq \f(1,2)x＋m. 由题意，直线y＝eq \f(1,2)x＋m经过点(1，1)时，方程有一根等于1，另一根大于1， 此时m＝eq \f(1,2)； 又因为向下平移直线y＝eq \f(1,2)x＋m，它与 y＝2|x－2|－1的图象两个交点的横坐标都开始大于1， 当直线y＝eq \f(1,2)x＋m经过点 (2，－1)时，方程只有一个解x＝2，此时m＝－2. 综上所述，－2＜m＜eq \f(1,2). $$3　一次函数的图象 第1课时　正比例函数的图象及性质 2．[2024·长宁区期中]正比例函数y＝mx的图象在第二、四象限内，则点(m，m－1)在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．[2024·兴宁期末]若点(－1，y1)(2，y2)都在函数y＝－2x的图象上，则y1与y2的大小关系是( ) A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．无法确定 4．如图是四个正比例函数的图象，则k1，k2，k3，k4的大小关系是( ) A．k1＞k2＞k3＞k4 B．k3＞k4＞k1＞k2 C．k3＞k4＞k2＞k1 D．k4＞k3＞k2＞k1 5．正比例函数y＝kx(k≠0)的图象如图所示，已知A(x1，y1)， B(x2，y2)是图象上的两点，且x1＞x2，则(x1－x2)(y1－y2)的 值( ) A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定 6．[2025·青秀区期末]如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2， A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y＝x上，△B1A1A2， △B2A2A3，△B3A3A4…都是等腰直角三角形，且OA1＝1，则点B2 023 的坐标是( ) A．(22 021，22 021) B．(22 022，22 022) C．(22 023，22 023) D．(22 024，22 024) 7．[2024·杨浦区期末]如果正比例函数y＝(m－1)x 的图象 经过第二、四象限，那么m的值为______． 8．[2024·昆都仑区期中]已知y＝(k－1)x|k|是正比例函数．若 点A(－2，y1)，B(1，y2)都在该函数图象上，则y1___y2.(填“＞” “＜”或“＝”) 9．在正比例函数y＝(2m－1)x中，y随x增大而减小，写出一个符 合条件的m的值：______________． ＞ 0(答案不唯一) m2－1 10．[2024·奉贤区期中]如果正比例函数y＝(k－3)x的图象位于 第二、四象限内，那么满足条件的正整数k是_____． 11．[2024·南靖县期中]若正比例函数y＝－(m－1)x的函数值y 随x的增大而减小，且函数图象上的点到两坐标轴距离相等，则 m的值为__． 1或2 2 12．[2024·云岩区一模]在七年级探究正比例函数y＝kx(k为常 数，k≠0)的图象时，小蒋同学列表如表，则表中m的值为__. x … －2 －1 0 1 2 … y … －12 －6 0 m 12 … 6 13.[2024·蒙阴县期末]若k＞0，x＞0，则关于函数y＝kx的结 论：①y随x的增大而增大　②y随x的增大而减小　③y恒为正值　 ④y恒为负数．正确的是_____．(填序号) ①③ 14．[2024·五河县期中]函数y＝(k－1)x＋k＋2是正比例函数． (1)求k的值； (2)当y＝－3时，求x的值． 解：(1)因为该函数是正比例函数， 所以k＋2＝0， 解得k＝－2； (2)当k＝－2时，该函数的解析式为y＝－3x， 当y＝－3时，－3x＝－3， 解得x＝1. 15．[2024·高州期中]已知正比例函数y＝ kx图象经过点(3，－6)，求： (1)求这个函数关系式； (2)画出这个函数图象； (3)判断点A(4，－2)，点B(－1.5，3)是否在这个函数图象上； (4)图象上的两点C(x1，y1)，D(x2，y2)，如果x1＞x2，比较y1，y2 的大小． 解：(1)将点(3，－6)代入y＝kx，得－6＝3k， 解得k＝－2， 所以函数关系式为y＝－2x； (2)如图，函数过(0，0)，(1，－2)． (3)将点A(4，－2)、点B(－1.5，3)分别代入解析式，得－2≠－2×4；3＝－2×(－1.5)． 故点A不在函数图象上，点B在函数图象上； (4)由于k＝－2＜0，故y随x的增大而减小，可得y1＜y2. 16．[2025·上海期中]已知如下三个正比例函数： y1＝ x， y2＝kx(k≠0)，y3＝－2x. (1)当x>0时，对于任意的x，均有y3<y1<y2，直接写出k的取值范围_______； (2)如果直线x＝m(m≠0)与y1，y2，y3顺次交于点A，点B，点C，且AB＝BC，求k的值． 17.[分类讨论思想]已知正比例函数y＝kx经过点A，点A在第四象 限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的 面积为3. (1)求正比例函数的关系式； (2)在x轴上是否存在一点P，使△AOP的面积为5.若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在 (2) 的条件下，是否在正比例函数y＝kx上存在一点M，且 M在第四象限，使得S△APM＝ S△OPM.若存在， 请求出点M的坐标； 若不存在，请说明理由． 1．[2024·兰州期末]已知正比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过点(2，－1)，则k的值为( ) A．2 B．－2 C．eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2) －eq \r(2) eq \f(1,2) 解：(1)如图1， 当x>0时，y2＝kx(k≠0) 的图象在y1＝eq \f(1,2)x图象的上方且满足y3<y1<y2， 结合图象可得k>eq \f(1,2). 故答案为：k>eq \f(1,2)； (2)设A(m，eq \f(1,2)m), B(m，km), C(m，－2m)． 如图2，当m>0时， 因为AB＝BC， 所以eq \f(1,2)m－km＝km－(－2m)， 解得k＝－eq \f(3,4). 如图3，当m<0时， 因为AB＝BC， 所以km－eq \f(1,2)m＝－2m－km， 解得k＝－eq \f(3,4).综上所述，k＝－eq \f(3,4). eq \f(2,3) 解：(1)因为点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3， 所以eq \f(1,2)×3·AH＝3，解得AH＝2. 因为点A在第四象限，所以点A的坐标为(3，－2)． 因为正比例函数y＝kx经过点A(3，－2)， 所以3k＝－2，解得k＝－eq \f(2,3)， 所以正比例函数的关系式是y＝－eq \f(2,3)x； (2)存在，理由如下： 设P(t，0), 因为△AOP的面积为5，点A的坐标为(3，－2)， 所以eq \f(1,2)×|t|×2＝5， 所以t＝5或t＝－5， 所以P点坐标为(5，0)或(－5，0)； (3)设M(x，－eq \f(2,3)x)，如图， ①点M在OA上时，当P(5，0)时，OP＝5，又因为A(3，－2)， 若S△APM＝eq \f(2,3)S△OPM时，eq \f(1,2)×OP×|yA|－eq \f(1,2)×OP×|yM|＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×OP×|yM|， 所以eq \f(1,2)×5×2－eq \f(1,2)×5×eq \f(2,3)x＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×5×eq \f(2,3)x，解得x＝eq \f(9,5)， 所以y＝－eq \f(2,3)×eq \f(9,5)＝－eq \f(6,5)， 所以M点的坐标为(eq \f(9,5)，－eq \f(6,5))； 同理，当点P(－5，0)时，也可求出M点的坐标也为(eq \f(9,5)，－eq \f(6,5))； ②点M在OA的延长线上时， 当P(5，0)时，OP＝5， 若S△APM＝eq \f(2,3)S△OPM时，eq \f(1,2)×OP×|yM|－eq \f(1,2)×OP×|yA|＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×OP×|yM|， 所以eq \f(1,2)×5×eq \f(2,3)x－eq \f(1,2)×5×2＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×5×eq \f(2,3)x， 解得x＝9， 所以y＝－eq \f(2,3)×9＝－6， 所以M点的坐标为(9，－6)； 当点P(－5，0)时， 同理可得，M点的坐标为(9，－6)． 综上所述，点M的坐标为(eq \f(9,5)，－eq \f(6,5))或(9，－6)． $$第3课时　两个一次函数的综合应用 1．[2024·沛县期末]电信公司手机的收费标准有A，B两类，已 知每月应缴费用S(元)与通话时间t(分)之间的关系如图所示．当 通话时间为200分钟时，按这两类收费标准缴费的差为( ) A．10元 B．15元 C．20元 D．30元 2．[2023·聊城]甲、乙两地相距a千米，小亮8：00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y(千米)与两人行驶时刻t(×时×分)的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为( ) A．8：28 B．8：30 C．8：32 D．8：35 3．[2024·沙坪坝区期末]小南和小凯进行百米赛跑，小南比小凯跑得快，若两人同时起跑，小南肯定赢．现在小南让小凯先跑若干秒，图中l1，l2分别表示两人的路程和小凯出发时间的关系．下列说法错误的是( ) A．l2表示小南的路程和时间的关系 B．小南的速度为7 m/s C．小凯先跑了11 m D．最终小凯会赢得比赛 4．[2024·平湖市期末]已知直线y＝k1x＋b1与直线y＝k2x＋b2的交点坐标为(2，－3)，则直线y＝k1x－b1与直线y＝k2x－b2的交点坐标为( ) A．(－3，－2) B．(3，－2) C．(－2，－3) D．(－2，3) 5．[绥化中考]小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y(单位：米)与出发时间x(单位：分钟)的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为( ) A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟 6.[数学传统文化][2023·武汉]我国古代数学经典著作《九章算 术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善 行者先行一百步，善行者追之．问几何步及之？”如图是善行者 与不善行者行走路程s(单位：步)关于善行者的行走时间t的函数 图象，则两图象交点P的纵坐标是____． 250 9．[2024·西宁]西宁市城北客运站是我市“一芯双城”建设规划项目之一，依据规划要按一定比例配套建设新能源汽车充电设施．某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对某品牌汽车进行了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量y(单位：kW·h)与充电时间x(单位：h)之间的函数图象，其中折线ABC表示用快速充电器充电时y1与x的函数关系；线段AD表示用普通充电器充电时y2与x的函数关系．根据相关信息，回答下列问题： (1)用快速充电器充电时，汽车电池电量从10 kW·h充到70 kW·h需______h； (2)求y2关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围； (3)该品牌汽车电池电量从10 kW·h充到100 kW·h，快速充电器比普通充电器少用______h. 10．[2024·北京]在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b(k≠0)与y＝－kx＋3的图象交于点(2，1)． (1)求k，b的值； (2)当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值既大于函数y＝kx＋b的值，也大于函数y＝－kx＋3的值，直接写出m的取值范围． 解：(1)因为直线y＝－kx＋3过点(2，1)， 所以－2k＋3＝1， 解得k＝1， 将点(2，1)代入y＝x＋b得2＋b＝1， 解得b＝－1； (2)因为当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值既大于函数y＝x－1的值，也大于函数y＝－x＋3的值， 所以由图可知，m≥1. 所以m的取值范围是m≥1. 11．[2024·黑龙江]甲、乙两货车分别从相距225 km的A，B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)甲货车到达配货站之前的速度是______km/h，乙货车的速度 是_____km/h； (2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的 距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数表达式； (3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、 乙两货车与配货站的距离相等． 12．[2024·北京]小云有一个圆柱形水杯(记为1号杯)，在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯(记为2号杯)示意图如图1， 当1号杯和2号杯中都有V mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度h1(单位：cm)和2号杯的水面高度h2(单位：cm)，部分数据如表： V/mL 0 40 100 200 300 400 500 h1/cm 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 h2/cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8 (1)补全表格；(结果保留小数点后一位) (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画h1与V，h2与V之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号杯和2号杯中都有320 mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为_____cm；(结果保留小数点后一位) ②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为_____cm.(结果保留小数点后一位) 解：(1)由题意，设V与h1的函数表达式为V＝kh1(k≠0)， 由表格数据，得100＝2.5k， 解得k＝40， 所以V＝40h1， 当V＝40时，40h1＝40， 所以h1＝1.0 cm； 故答案为：1.0； (2)如图1所示，即为所画图象； ②由图象可知当两个水杯的水面高度相同时，估算高度约为8.7 cm， 故答案为：8.7. 7.[分类讨论思想][2024·九龙坡区期末]如图直线y＝－2x＋7 与x轴、y轴分别交于点C，B，与直线y＝eq \f(3,2)x交于点A.如果在x轴 上存在一点P，使△OAP为等腰三角形，则点P的坐标是 ． (eq \r(13)，0) 或(－eq \r(13)，0)或(eq \f(13,4)，0)或(4，0) 8．[2023·温州]如图，在直角坐标系中，点A(2，m)在直线y＝ 2x－eq \f(5,2)上，过点A的直线交y轴于点B(0，3)． (1)求m的值和直线AB的函数表达式； (2)若点P(t，y1)在线段AB上，点Q(t－1，y2) 在直线y＝2x－eq \f(5,2)上，求y1－y2的最大值． 解：(1)把点A(2，m)代入y＝2x－eq \f(5,2)中，得m＝eq \f(3,2)； 设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b，把A(2，eq \f(3,2))，B(0，3)代入得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝\f(3,2)，,b＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(3,4)，,b＝3，)) 所以直线AB的函数表达式为y＝－eq \f(3,4)x＋3; (2)因为点P(t，y1)在线段AB上， 所以y1＝－eq \f(3,4)t＋3(0≤t≤2)． 因为点Q(t－1，y2)在直线y＝2x－eq \f(5,2)上， 所以y2＝2(t－1)－eq \f(5,2)＝2t－eq \f(9,2)， 所以y1－y2＝－eq \f(3,4)t＋3－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t－\f(9,2)))＝－eq \f(11,4)t＋eq \f(15,2)， 因为－eq \f(11,4)＜0， 所以y1－y2随t的增大而减小， 所以当t＝0，y1－y2的最大值为eq \f(15,2). 解：(1)eq \f(1,3)； (2)设y2关于x的函数表达式为y2＝kx＋b(k≠0)，将A(0，10)，E(2，70)代入表达式中，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝10，,2k＋b＝70，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝30，,b＝10，)) 所以y2关于x的函数表达式为y2＝30x＋10(0≤x≤3)； (3)把y2＝100代入y2＝30x＋10，得30x＋10＝100，解得x＝3，所以3－eq \f(2,3)＝eq \f(7,3)(h)， 故答案为：eq \f(7,3). 解：(1)30，40； (2)因为3.5＋0.5＝4(h)，6－0.5＝5.5(h)， 所以点E(4，105)，F(5.5，225)． 设线段对应的函数表达式为y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)． 将坐标E(4，105)和F(5.5，225)分别代入y＝kx＋b， 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k＋b＝105，,5.5k＋b＝225，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝80，,b＝－215，)) 所以甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y与行驶时间x之间的函数表达式为y＝80x－215(4≤x≤5.5)； (3)线段CM对应的函数表达式为y＝－40x＋225(0≤x≤3)， 线段MN对应的函数表达式为y＝105＋40(x－3)＝40x－15(3＜x≤6)， 线段OD对应的函数表达式为y＝30x(0≤x≤3.5)． 当0≤x≤3时，根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”，得105－30x＝－40x＋120，解得x＝eq \f(3,2)； 当3＜x≤3.5时，105－30x＝40x－120，解得x＝eq \f(45,14)； 当乙货车返回B地过程中与甲货车相遇时，两车与配货站的距离相等，80x－215＝40x－15，解得x＝5； 所以出发eq \f(3,2) h或eq \f(45,14) h或5 h，甲、乙两货车与配货站的距离相等． (3)①当V＝320 mL时，h1＝eq \f(320,40)＝8 cm，由图2可知高度差CD≈ 1.2 cm， 故答案为：1.2；(填1.1，1.3不算错) $$2　认识一次函数 第1课时　一次函数 1．[2024·安庆期中]下列函数：①y＝πx　②y＝－2x＋1　 ③y＝ 　④y＝x2－1　⑤y＝kx＋b(k，b是常数)．其中是一次 函数的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．[2024·浦东新区期中]圆面积公式S＝πr2中，下面叙述正确的是( ) A．π，r是变量，S是πr的函数 B．π，r是变量，S是r的函数 C．π是常量，S与r2成正比例 D．π是常量，S与r成正比例 3．下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数关系的是( ) A．圆的面积S随半径r的变化而变化 B．用10 m长的绳子围成一个矩形，其中一边长y随它邻边x的变化而变化 C．正方形的周长C随边长a的变化而变化 D．汽车油箱中有汽油50 L，行驶过程中油箱中的油量Q随行驶路程s的变化而变化 5．[2024·钦州期末]等腰三角形的周长是40 cm，腰长y(cm)与底边长x(cm)的函数关系式正确的是( ) A．y＝－0.5x＋20(0＜x＜20) B．y＝－0.5x＋20(10＜x＜20) C．y＝－2x＋40(10＜x＜20) D．y＝－2x＋40(0＜x＜20) 6．[2024·播州区期末]下表中记录了一次实验中不同时间对应温度的数据，假设温度的变化是均匀的． 实验进行21 min时的温度为( ) A．27 ℃ B．29 ℃ C．31 ℃ D．33 ℃ 时间/min 0 3 6 9 … 温度/℃ 8 11 14 17 … 7.[新情境·社会热点]近几年来，随着打工大潮的涌动，某校从2018年到2024年留守儿童的人数y(人)与时间t(年)有如下关系： 时间/年 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 人数/人 50 80 100 150 200 270 350 则下列说法不正确的是( ) A．如表反映了留守儿童的人数与时间之间的关系 B．y(人)随时间t(年)的推移逐渐增大 C．自变量是时间t(年)，因变量是留守儿童的人数y(人) D．自变量是留守儿童的人数y(人)，因变量是时间t(年) 8．[2024·市南区期末]若x，y是变量，且y＝(k－2)x|k－1|是正 比例函数，则k值为__． 9．若函数y＝(6＋3m)x＋n－4是y关于x的一次函数，则满足____ ____；若该函数是y关于x的正比例函数，则满足_____________； 若m＝1，n＝－2，则y与x的函数关系式是_________． 0 m≠ －2 m≠－2且n＝4 y＝9x－6 10．[2024·大东区期末]目前，全球淡水资源日益减少，提倡全 社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水， 每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙 头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的 水，请写出y与x之间的函数关系式是______． 11.[新定义]我们把[a，b]称为一次函数y＝ax＋b的“特征数”． 如果“特征数”是[n＋1，n2－1]的一次函数为正比例函数，则n 的值为__． y＝5x 1 12.[新变迁·母题迁移]写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为x的正比例函数． (1)汽车以80千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系； (2)已知△ABC一边AB上的高为8，△ABC的面积S与△ABC的AB边长x的关系； (3)一条鳄鱼现在身长70 cm，每月长3 cm，x月后这条鳄鱼的身长为y(cm)． 解：(1)由题意，得y＝80x，y是x的一次函数，y是x的正比例函数； (2)由题意，得S＝4x，S是x的一次函数，S是x的正比例函数； (3)由题意，得y＝3x＋70，y是x的一次函数． 13.[新考法·表格信息法][2024·雁塔区模拟]某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如表： (1)求日销售量y(件)与每件产品的销售价x(元)之间的函数关系式； (2)当每件产品的销售价定为30元时，此时每日的销售利润是多少元？ x/元 … 15 20 25 … y/件 … 25 20 15 … 14.[方案设计][2024·灞桥区二模]甲、乙两家体育用品商店出售相同的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球每盒定价20元，乒乓球拍每副定价100元．现两家商店都搞促销活动，甲店每买一副球拍赠两盒乒乓球，乙店按八折优惠．某俱乐部需购球拍4副，乒乓球x(x≥10)盒． (1)若在甲店购买付款y甲(元)，在乙店购买付款y乙(元)，分别写出y甲，y乙与x的函数关系式； (2)若该俱乐部需要购买乒乓球30盒，在哪家商店购买合算？ 解：(1)在甲店购买需付款y甲＝400＋20(x－8)＝20x＋240， 在乙店购买需付款y乙＝0.8(20x＋4×100)＝16x＋320； (2)当x＝30时，y甲＝20x＋240＝20×30＋240＝840(元)， 当x＝30时，y乙＝16x＋320＝16×30＋320＝800(元)， 因为840＞800， 所以选乙店比较合算． 15.[拓展创新题]防疫期间，某药店销售一批外科口罩，如果一次性购买40个以上的外科口罩，超过40个部分按原价打8折优惠出售．上个月小王家一次性买了外科口罩90个，花了65元；小李家一次性买了外科口罩120个，花了84.5元． (1)求销售一个外科口罩的原价和优惠价分别是多少？ (2)设一次性购买外科口罩x个，花费y元，写出y与x之间的函数关系式； (3)这个月学校一次性购买该外科口罩1 080个，花了多少钱？ 解：(1)设销售一个外科口罩的原价是x元， 则40x＋0.8(90－40)x＝65， 解得x＝0.812 5(元)， 0．812 5×0.8＝0.65(元)， 答：销售一个外科口罩的原价是0.812 5元，优惠价是0.65元； (2)由题意得当x≤40时，y＝0.812 5x； 当x>40时，y＝40×0.812 5＋0.65(x－40) ＝0.65x＋6.5； (3)当x＝1 080时， y＝0.65×1 080＋6.5＝708.5(元)， 所以一次性购买该外科口罩1 080个，花了708.5元． 16.[规律探究]结合表格中的数据回答问题： (1)把表中的空格填上适当的数据； (2)设图形的周长为l，写出周长l和梯形个数n之间的函数关系式； (3)求n＝11时l的值； (4)求l＝6 062时n的值． 梯形个数 1 2 3 4 5 6 … 周长 5 8 11 14 ___ ___ … 解：(1)由图中可以看出图形的周长＝上下底的和＋两腰长， 梯形个数为1时，周长为3＋2＝5； 梯形个数为2时，周长为2×3＋2＝8； 梯形个数为3时，周长为3×3＋2＝11； … l＝3n＋2. 当n＝5时，l＝3×5＋2＝17. 当n＝6时，l＝3×6＋2＝20. 故答案为：17；20; (2)由(1)知，周长l和梯形个数n之间的函数关系式是l＝3n＋2; (3)当n＝11时，l＝3×11＋2＝35； (4)当l＝6 062时，3n＋2＝6 062， 解得n＝2 020. 17.[推理能力][2025·南京期末]模仿小学学习过的有余数的除法，我们可以在非负整数范围内将被除数a、除数b、商x和剩余的数y之间的关系用下面的形式表示(以a＝80，b＝13为例)： 解：(1)因为(80－28)÷13＝4， 所以80÷13＝4……28. 因为80－13×5＝15， 所以80÷13＝5……15. 故答案为：4，15； ②y＝－4x＋8， a＝8，b＝4， 8能被4整除，故②符合题意； ③由2x＋y＝6得y＝－2x＋6， a＝6，b＝2， 6能被2整除，故③符合题意； eq \f(1,x) 4．[2024·淮北期中]“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为25 ℃，且每升高1千米温度下降6 ℃，则山上距离地面h千米处的温度t为( ) A．t＝eq \f(25－h,6) B．h＝eq \f(25－t,6) C．t＝25－6h D．h＝25－6t 解：(1)由关系表可知x每增加5，则y减小5， 所以y＝25－eq \f(5（x－15）,5)＝－x＋40； (2)当x＝30时，y＝－30＋40＝10，10×(30－10)＝200(元)， 所以此时每日的销售利润是200元． (1)完成例子中的填空； (2)上述例子中，求y与x之间的函数表达式； (3)根据题意得到的以下式子：①y＝5－2x　②y＝－4x＋8　 ③2x＋y＝6 ④eq \f(9－y,3)＝x.其中，a能被b整除的是_______．(填序号) (2)根据题意，得eq \f(80－y,13)＝x，所以y＝－13x＋80. 所以y与x之间的函数表达式为y＝－13x＋80； (3)根据(2)可知当a＝80，b＝13时，y与x之间的函数表达式为y＝－13x＋80， 所以a相当于表达式中的常数项，b相当于表达式中的－k， ①y＝5－2x， a＝5, b＝2， 5不能被2整除，故①不符合题意； ④由eq \f(9－y,3)＝x得y＝－3x＋9， a＝9，b＝3， 9能被3整除，故④符合题意； 故答案为：②③④. $$第六章　一次函数 1　函　数 1．[2024·瑶海区期中]下列图象中，表示y是x的函数的有( ) A．①②③④ B．①④ C．①②③ D．②③ 2．[2024·南海区期末]你知道为什么冬天电瓶车电池不耐用吗？因为电瓶车通常使用铅酸电池和锂电池，这两种电池的最佳使用温度都是25摄氏度左右，随着温度降低，电池中的化学物质活性降低，从而导致电池不耐用．在这个变化过程中，自变量是( ) A．化学物质 B．温度 C．电池 D．电瓶车 4．[2024·沙坪坝区期末]向一个容器内匀速地 注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面 高度h随时间t的变化规律如图所示．这个容器 的形状可能是图中的( ) 5．[2024·庐阳区期中]某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如表： 若小明需要定制5XL，则他的衣长是( ) A．81 cm B．83 cm C．85 cm D．87 cm 尺码 … S M L XL 2XL … 衣长/cm … 67 69 71 73 75 … 6．[2024·永丰县期末]百货大楼进了一批花布，出售时要在进价(进货价格) 的基础上加一定的利润，其长度x与售价y如下表，下列用长度x表示售价y的关系式中，正确的是( ) A. y＝8x＋0.3 B．y＝(8＋0.3)x C．y＝8＋0.3x D．y＝8＋0.3＋x 长度x/m 1 2 3 4 … 售价y/元 8＋0.3 16＋0.6 24＋0.9 32＋1.2 … 8．[2024·宣州区期中]下列各式①y＝0.5x－2　②y＝|2x|　 ③3y＋5＝x　④y2＝2x＋8中，y是x的函数的有_______．(填序 号) 9．[2024·黑龙江]在函数y＝ 中，自变量x的取值范围 是_____． ①②③ x≥3 10．[烟台中考]按如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x 值为－3，则输出y的结果为___． 18 11．[2024·浦东新区期末]某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h(米)与操控无人机的时间t(分钟)之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： (1)图中的自变量是__________； (2)无人机在75米高的上空停留的时间是__分钟； (3)在上升或下降过程中，无人机的速度为___米/分； (4)图中a表示的数是__；b表示的数是___； (5)图中点A表示的实际意义是____________________________ _________． 时间(或t) 5 25 2 15 在第6分钟时，无人机的飞行高 度为50米 12．[2024·广饶县期末]已知一个圆柱的底面半径是3 cm，当 圆柱的高h(cm)变化时，圆柱的体积V(cm3)也随之变化． (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； (2)在这个变化过程中，写出圆柱的体积V与高h之间的关系式； (3)当h由3 cm变化到6 cm时，V是怎样变化的？ 解：(1)h，V； (2)V＝π·32·h＝9πh； (3)当h＝3 cm时，V＝27π cm3；当h＝6 cm时，V＝54π cm3. 所以当h由3 cm变化到6 cm时，V是由27π cm3变化到54π cm3. 13.[新定义][2024·道县期末]已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在正数n，使得N1＋N2＝1，则称函数y1和y2是“正和谐函数”．下列函数y1和y2是“正和谐函数”的是( ) A．y1＝2x＋1和y2＝3x＋2 B．y1＝－x＋3和y2＝2x－1 C．y1＝－x－1和y2＝3x－2 D．y1＝－x＋1和y2＝2x＋3 (1)计算：①2※(－1)＝______； ②(－4)※(－3)＝ ______； (2)若f(x)＝(x－3)※2＋5，且x＜3，求f(x)的表达式； (3)若A＝－x3－2x2＋7，B＝－x3－3x2＋1，且A※B＝11，求2x3＋2x的值． 3．[2022·黄石]函数y＝eq \f(x,\r(x＋3))＋eq \f(1,x－1)的自变量x的取值范围 是( ) A．x≠－3且x≠1 B．x＞－3且x≠1 C．x＞－3 D．x≥－3且x≠1 7.[分段函数]已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2（x≤－1），,x2（－1<x<2），,2x（x≥2），))若f(x)＝3，则x的值 是( ) A．1 B．1或eq \f(3,2) C．1，eq \f(3,2)或±eq \r(3) D．eq \r(3) eq \f(\r(x－3),x＋2) 14.[新定义][2025·成都期中]对于有理数a，b，定义了一种新运算“※”为：a※b＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(3a－2b，a≥b，,2a－\f(2,3)b，a＜b.)))例如：5※3＝3×5－2×3＝9，1※3＝2×1－eq \f(2,3)×3＝0. 解：(1)①8；②－6； (2)f(x)的表达式为y＝2x－eq \f(22,3)＋5＝2x－eq \f(7,3)； (3)2x3＋2x＝2×8＋2×2＝20. $$第六章　章末能力突破 考点一 函数的定义 1．[2024·甘肃]如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为( ) A．y＝3x B．y＝4x C．y＝3x＋1 D．y＝4x＋1 2．[2024·市南区期中]若y＝(m－2)x|m－4|＋m－4为一次函数， 则m＝_____． 5或3 考点二 一次函数的图象与性质 3.[跨学科][2025·晋中期末]为了探究物质的质量与体积的关系，同学们找来甲、乙、丙、丁四种物质做实验，分别测量它们的体积V(cm3)和质量m(g)，并在如图的平面直角坐标系内依次画出了相应的图象．根据图象及物理学知识m＝ρV，可判断这四种物质中密度ρ(g/cm3)最大的是( ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．[2024·通辽]如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2(其中k1k2≠0，k1，k2，b1，b2为常数)的图象分别为直线l1，l2.下列结论正确的是( ) A．b1＋b2＞0 B．b1b2＞0 C．k1＋k2＜0 D．k1k2＜0 6．[2024·长沙]对于一次函数y＝2x－1，下列结论正确的 是( ) A．它的图象与y轴交于点(0，－1) B．y随x的增大而减小 C．当x＞ 时，y＜0 D．它的图象经过第一、二、三象限 7．[2024·太仓期末]已知点A(m，n)在一次函数y＝ x－3的 图象上，则代数式m－2n－3的值为__． 3 8．[2025·成都期末]如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 y＝－ x＋4分别交x轴和y轴于A，B两点，点A关于y轴的对称 点为C，作直线BC. (1)求点C的坐标及直线BC的函数表达式； (2)在线段AB上取一点D，连接OD，将△AOD 沿直线OD翻折得到 △EOD，且点E刚好落在y轴上． Ⅰ.求点D的坐标； Ⅱ.试探究直线DE与直线BC的位置关系． Ⅱ.DE⊥BC，理由如下： 延长DE交BC于F，如图， 因为点A关于y轴的对称点为C， 所以∠BCO＝∠BAO， 所以将△AOD沿直线OD翻折得到△EOD，且点E刚好落在y轴上， 所以∠BAO＝∠DEO， 所以∠BCO＝∠DEO＝∠BEF. 因为∠BCO＋∠CBO＝90°， 所以∠BEF＋∠CBO＝90°， 所以∠BFE＝90°， 所以DE⊥BC. 考点三 一次函数与方程 9．[贺州中考]直线y＝ax＋b(a≠0)过点A(0，1)，B(2，0)，则关于x的方程ax＋b＝0的解为( ) A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 10．[济宁中考]数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x＋5和直线y＝ax＋b相交于点P，根据图象可知，方程x＋5＝ax＋b的解是( ) A．x＝20 B．x＝5 C．x＝25 D．x＝15 11．[甘孜州中考]如图，已知一次函数y＝kx＋3和y＝－x＋b的 图象交于点P(2，4)，则关于x的方程kx＋3＝－x＋b的解是_____． x＝2 考点四 确定一次函数的表达式 12．[黔西南州中考]如图，正比例函数的图象与一次函数y＝－x ＋1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，则这个正比例函数 的表达式是________． y＝－2x 13．[2024·铁岭期末]如果直线l与直线y＝－2x＋1平行，与直 线y＝－x＋2的交点纵坐标为1，那么直线l的函数表达式为____ ________． 14．[2025·渭南期末]在平面直角坐标系中，将直线y＝kx＋3沿 y轴向下平移2个单位长度后与x轴交于(－1，0)，则k的值为__． 15．已知一次函数的图象与直线y＝－3x＋7平行，且与两坐标轴 所围成的三角形的面积为6，则这个函数的表达式为___________ _____________． y＝ －2x＋3 1 y＝－3x＋6 或y＝－3x－6 考点五 一次函数的应用 16．[2024·哈尔滨]一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始5 min内只进水不出水，在随后的10 min内既进水又出水，每分钟进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示，当x＝9 min时，y＝( ) A．36 L B．38 L C．40 L D．42 L 17．[2024·威海]同一条公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离y(km)与时间x(h)的函数关系．下列结论正确的是( ) A．甲车行驶 h与乙车相遇 B．A，C两地相距220 km C．甲车的速度是70 km/h D．乙车中途休息36分钟 18．[2024·齐齐哈尔]领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： (1)a＝_____米/秒，t＝_____秒； (2)求线段MN所在直线的函数表达式； (3)两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？ (直接写出答案即可) 解：(1)8, 20； (2)由图象知N(19，96)， 因为甲无人机的速度为8米/秒， 甲无人机匀速从0米到96米所用时间为96÷8＝12秒， 甲无人机单独表演所用时间为19－12＝7(秒)， 所以6＋7＝13(秒)， 所以M(13，48)， (3)由题意得A(0，20)，B(6，48)， 同理线段OB所在直线的函数表达式为y＝8x， 线段AN所在直线的函数表达式为y＝4x＋20， 线段BM所在直线的函数表达式为y＝48， 当0≤x≤6时，由题意得|4x＋20－8x|＝12， 解得x＝2或x＝8 (舍去)； 当6<x≤13时，由题意得|4x＋20－48|＝12， 解得x＝10或x＝4 (舍去)； 当13<x<19时，由题意得|8x－56－4x－20|＝12， 解得x＝16或x＝22 (舍去)； 综上所述，两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距 离地面的高度差为12米． 19．[2024·昆都仑区期末]综合与实践： 为带动乡村经济发展，某县农业基地采摘园在草莓成熟季节对当地城乡居民开放，这样一来，市民周末也多了一个亲子活动的好去处．甲、乙两家草莓采摘园的草莓销售价格相同，现为扩大销量，实行的采摘方案如下： 甲采摘园的采摘方案：每位游客进园需购买门票，采摘的草莓按七折优惠销售； 乙采摘园的采摘方案：每位游客进园无需购买门票，采摘的草莓按售价销售，不优惠． 设采摘期间每位游客的草莓采摘量为x(单位：千克)，在甲、乙采摘园所需总费用分别为y1，y2(单位：元)，其函数图象如图所示． (1)分别求出y1，y2与x之间的函数表达式(不需要写出自变量x的取值范围)； (2)求点A的坐标，并解释点A表示的实际意义； (3)小轩准备周末去采摘园采摘草莓，根据函数 图象，请直接写出选择哪个采摘园更合算． 解：(1)由题意，设y1＝k1x＋b，y2＝k2x， 因为y2的函数图象经过点(10，200)， 所以y2＝20x，可知采摘的草莓的售价是20元/千克， k1＝20×70%＝14， 因为y1的函数图象经过点(0，30)，可知b＝30， 所以y1＝14x＋30， 故y1和y2与x之间的函数表达式分别是y1＝14x＋30，y2＝20x； (2)根据函数图象可知点A是y1与y2函数图象的交点，则y1＝y2， 14x＋30＝20x， 解得x＝5， 将x＝5代入y2＝20x 中，得y2＝100， 所以点A的坐标为(5，100)， 点A的实际意义是：当游客的草莓采摘量为5千克时，选择甲、乙两个采摘园所需总费用相同，均为100元； (3)由图象可知，①当小明的草莓采摘量小于5千克时，选择乙采摘园更划算； ②当小明的草莓采摘量为5千克时，选择甲、乙两个采摘园所需总费用相同； ③当小明的草莓采摘量大于5千克时，选择甲采摘园更划算． 4．[2024·灞桥区模拟]若一个正比例函数的图象经过点(2，－3)，则这个图象一定也经过点( ) A．(－3，2) B．(eq \f(3,2)，－1) C．(eq \f(2,3)，－1) D．(－eq \f(3,2)，1) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(4,3) 解：(1)在y＝－eq \f(4,3)＋4中，令x＝0，得y＝4， 令y＝0，得x＝3， 所以A(3，0)，B(0，4)． 因为点A关于y轴的对称点为C， 所以C(－3，0)． 设直线BC表达式为y＝kx＋b， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝4，,－3k＋b＝0，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(4,3)，,b＝4，)) 所以直线BC的表达式为y＝eq \f(4,3)x＋4； (2)Ⅰ.设D(m，－eq \f(4,3)m＋4)， 因为将△AOD沿直线OD翻折得到△EOD，且点E刚好落在y轴上， 所以OE＝OA＝3，AD＝ED， 所以E(0，3)， 所以eq \r(（m－3）2＋（－\f(4,3)m＋4）2)＝eq \r(m2＋（－\f(4,3)m＋4－3）2)， 解得m＝eq \f(12,7)， 所以－eq \f(4,3)m＋4＝－eq \f(4,3)×eq \f(12,7)＋4＝eq \f(12,7)， 所以D(eq \f(12,7)，eq \f(12,7))； eq \f(8,3) 设线段MN所在直线的函数表达式为y＝kx＋b， 将M(13，48)，N(19，96)代入得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(48＝13k＋b，,96＝19k＋b，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝8，,b＝－56，)) 所以线段MN所在直线的函数表达式为y＝8x－56； $$