精品解析： 浙江省杭州市西湖区西溪中学2021-2022学年九年级学期期中数学试卷

2021-2022学年浙江省杭州市西湖区西溪中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 下列函数中属于二次函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若四边形为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（　　） A. B. C. D. 4. 某鱼塘里养了条鲤鱼，若干条草鱼和条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，则该鱼塘捕捞到鲤鱼的概率约为（ ） A. B. C. D. 5. 平移抛物线y=（x+3）（x-1）后得到抛物线y=（x+1）（x-3），则（ ） A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向左平移4个单位 D. 向右平移4个单位 6. 下列命题中正确的有（ ） ①平分弦的直径垂直于这条弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③相等的弧所对的弦相等；④相等的弦所对的圆心角相等；⑤弦心距相等，则所对的弦相等；⑥直径所对的圆周角为直角． A. 1个 B. 2个 C. 5个 D. 6个 7. 如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O发，沿O-C-D-O．设运动时间为t，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，将纸片绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 9. 一张圆心角为的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，面积都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（　　） A. B. C. D. 10. 二次函数图象的对称轴，若关于的一元二次方程在的范围内有实数解，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分 11. 写出一个开口向下，与y轴交于点的抛物线________． 12. 已知半径为1，是的一条弦，且，则弦所对的圆周角度数是______． 13. 函数y=ax2-ax+3x+1的图象与x轴只有一个交点，则a的值为___________． 14. 看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6则田忌能赢得比赛的概率为__________________． 马匹 姓名 下等马 中等马 上等马 齐王 6 8 10 田忌 5 7 9 15. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．问这根圆形木材的直径是______寸． 16. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点点、点在该函数图象上，则；⑤若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有 ___． 三、解答题：本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 如图，，为两弦，且，、分别为，的中点．求证：． 18. 有一破损的水管，截面如图． （1）请用直尺和圆规补全这个图（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若水管直径，水面宽度，求最大水深和弧的长． 19. 在不透明的箱子里放有4个乒乓球，每个乒乓球上分别写有数字1，2，3，4，从箱中摸出一个球记下数字后放回箱中，摇匀后再摸出一个球记下数字，若将第一次摸出的球上数字记为点的横坐标，第二次摸出的球上数字记为点的纵坐标． （1）请写出两次摸球后所有可能的点的坐标，并用列表法或树状图法说明； （2）求这些点落在以为圆心，半径为2的圆内的概率． 20. 九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如表： 售价（元/件） … 月销量（件） … 已知该运动服的进价为每件元，设售价为元/件． （1）请用含的式子表示：①销售该运动服每件的利润是_____元；②月销量是_____件；（直接写出结果） （2）设销售该运动服的月利润为元，，那么售价为多少时，当月的利润最大？最大利润是多少？ 21. 如图，斜坡长10米，按图中的直角坐标系可用表示，点A，B分别在x轴和y轴上．在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛物线可用表示． （1）求抛物线的表达式及顶点坐标； （2）在斜坡上距离A点2米的C处有一棵3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？ 22. （1）证明：同一圆中，两条平行弦所夹弧相等（画图，并写出已知、求证以及证明过程）； （2）计算：已知的半径为13，，是两条弦，，，，求与之间的距离； （3）应用：如图所示，自上一点引三条弦，，，且平分，过点作弦交于点，线段与相等吗？为什么？ 23. 已知抛物线与直线． （1）求证：两个函数图象必有交点； （2）当抛物线的顶点落在直线上时，求a的值； （3），当时，，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年浙江省杭州市西湖区西溪中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 下列函数中属于二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数． 根据二次函数的定义选择正确的选项即可． 【详解】解：A、是一次函数，故本选项错误； B、不是二次函数，故本选项错误； C、，不一定是二次函数，故本选项错误； D、是二次函数，故本选项正确； 故选：D． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质解答即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 3. 若四边形为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形对角互补的性质，解题关键是理解概念，并能得出比例中的数据之间的关系．本题据此求解即可． 【详解】解：∵四边形为圆内接四边形， ∴ ∴与的比例份数之和等于与的比例份数之和， ∵， ∴A选项不正确，不符合题意； ∵， ∴B选项不正确，不符合题意； ∵， ∴C选项正确，符合题意； ∵， ∴D选项不正确，不符合题意；   故选： C． 4. 某鱼塘里养了条鲤鱼，若干条草鱼和条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，则该鱼塘捕捞到鲤鱼的概率约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为通过多次捕捞试验，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，所以，可以把捕捞到草鱼的频率作为捕捞到草鱼的概率，设草鱼的数量为条，可得到关于的分式方程，求解可得到草鱼的数量，进而可求得答案． 【详解】因为通过多次捕捞试验，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，所以，可以把捕捞到草鱼的频率作为捕捞到草鱼的概率． 设草鱼的数量为条． 根据题意，得 ． 解得， 经检验是所列方程的解且符合题意， 所以鱼塘捕捞到鲫鱼的概率． 故选：C． 【点睛】本题主要考查用频率估计概率、实际问题与分式方程，牢记用频率估计概率的条件（对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率）是解题的关键． 5. 平移抛物线y=（x+3）（x-1）后得到抛物线y=（x+1）（x-3），则（ ） A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向左平移4个单位 D. 向右平移4个单位 【答案】B 【解析】 【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律． 【详解】解：y=（x+3）（x-1）=（x+1）2-4， 顶点坐标是（-1，-4）． y=（x+1）（x-3）=（x-1）2-4， 顶点坐标是（1，-4）． 所以将抛物线y=（x+3）（x-1）向右平移2个单位长度得到抛物线y=（x+1）（x-3）， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题，熟练掌握平移的规律是解题关键． 6. 下列命题中正确的有（ ） ①平分弦的直径垂直于这条弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③相等的弧所对的弦相等；④相等的弦所对的圆心角相等；⑤弦心距相等，则所对的弦相等；⑥直径所对的圆周角为直角． A. 1个 B. 2个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂径定理的推论、圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理逐个判断即可． 【详解】解：①平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，错误； ②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，错误； ③相等的弧所对的弦相等，正确； ④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，错误； ⑤在同圆或等圆中，弦心距相等，则所对的弦相等，错误； ⑥直径所对的圆周角为直角，正确， 综上，命题中正确的有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查垂径定理的推论、圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理，对基本概念定理的理解是解答的关键． 7. 如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O发，沿O-C-D-O．设运动时间为t，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分P在OC、CD、DO之间3个阶段，分别分析变化的趋势，又由点P作匀速运动，故图像都是线段，分析选项可得答案． 【详解】根据题意，分3个阶段； ①P在OC之间，∠APB逐渐减小，到C点时， ∠APB为45°，所以图像是下降的线段， ②P在弧CD之间，∠APB保持45°，大小不变，所以图像是水平的线段， ③P在DO之间，∠APB逐渐增大，到O点时， ∠APB为90°，所以图像是上升的线段， 分析可得：C符合3个阶段的描述； 故选C． 【点睛】本题主要考查了函数图象与几何变换，解题的关键是将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况． 8. 如图，将纸片绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．设与交于点，根据旋转角，求得，，根据等边对等角求得的度数，根据三角形内角和定理即可得答案． 【详解】解：设与交于点， ∵将纸片绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴ ∵ ∴， ∴ 故选：B． 9. 一张圆心角为的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，面积都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形性质、圆内接四边形性质、扇形的面积公式的应用；解此题的关键是求出扇形和圆的面积，题目比较好，难度适中． 分别求出扇形和圆的半径，再根据扇形和圆的面积公式求出面积，最后求出比值即可． 【详解】解：如图1，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， 由勾股定理得：， 扇形的面积是； 如图2，连接、， 四边形是的内接四边形，四边形是正方形， ，， ， ， ， 的面积是， 扇形和圆形纸板的面积比是． 故选：B． 10. 二次函数图象的对称轴，若关于的一元二次方程在的范围内有实数解，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解题的关键．根据对称轴求出的值，从而得到，5时，函数的值，再根据一元二次方程在（为实数）的范围内有解相当于与在的范围内有交点解答． 【详解】解：抛物线的对称轴， ， 则方程，即的解相当于与直线的交点的横坐标， 方程在的范围内有实数解， 当时，， 当时，， 又， 抛物线的对称轴为，最小值为， 当时，则， 当时，直线与抛物线在的范围内有交点， 即当时，方程在的范围内有实数解， 的取值范围是， 故选：A． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分 11. 写出一个开口向下，与y轴交于点的抛物线________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由开口向下确定二次项系数小于0，由图象与y轴的交点为确定常数项为2，即可得出抛物线的解析式． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴二次项的系数小于0， ∵抛物线与y轴交于点， ∴常数项为2， ∴满足条件的抛物线可以为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，关键是要牢记系数和图象之间的关系． 12. 已知半径为1，是的一条弦，且，则弦所对的圆周角度数是______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意画出图形，由垂直于，利用垂径定理得到C为的中点，求出AC的长，在中，利用勾股定理求出，确定出为等腰直角三角形，同理为等腰直角三角形，确定出度数，利用圆周角定理即可求出与的度数． 【详解】解：如图所示，过O作于C， ∵， ∴C为的中点，即， 在中，， 根据勾股定理得：，即OC＝AC， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴， ∴弦所对的圆周角为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，垂径定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解． 13. 函数y=ax2-ax+3x+1的图象与x轴只有一个交点，则a的值为___________． 【答案】0或1或9 【解析】 【分析】分和两种情况讨论：时，函数为一次函数，与x轴只有一个交点；时，令y=0，得到一个关于x的一元二次方程，且方程的判别式，进而求出a的值． 【详解】当时， 函数解析式为：，此时为一次函数且与x轴只有一个交点； 当时，令y=0，得到，即：， 方程的判别式， ∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴有两个相同的根， ∴， 解得：，， 综上所述，a的值为0，1或者9， 故答案为：0或1或9． 【点睛】本题综合考查了一次函数、二次函数的图象与x轴交点的问题，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． 14. 看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6则田忌能赢得比赛的概率为__________________． 马匹 姓名 下等马 中等马 上等马 齐王 6 8 10 田忌 5 7 9 【答案】 【解析】 【分析】利用列举法求概率，列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 【详解】解：齐王的三匹马出场顺序为10，8，6； 而田忌的三匹马出场顺序为5，7，9；5，9，7；7，5，9；7，9，5；9，5，7；9，7，5；共6种，田忌能赢得比赛的有5，9，7；一种 ∴田忌能赢得比赛的概率为 故答案为： 【点睛】本题考查概率的求法，解题的关键是要注意列举法需要做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 15. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．问这根圆形木材的直径是______寸． 【答案】26 【解析】 【分析】根据题意可得，由垂径定理可得尺寸，设半径，则，在中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径. 【详解】解：由题可知， 为半径， 尺寸， 设半径， ， 在中，根据勾股定理可得： 解得：, 木材直径为26寸； 故答案为：26. 【点睛】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度.如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解. 16. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点点、点在该函数图象上，则；⑤若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有 ___． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，熟练掌握二次函数的性质以及数学结合是解题的关键． 根据抛物线的对称轴为直线，则有；观察函数图象得到当时，函数值大于0，则，即；由于时，，则，易得，所以，再根据抛物线开口向下得，即可解答；利用抛物线的对称性得到，然后利用二次函数的增减性求解即可；作出直线，然后依据函数图象进行判断即可． 【详解】解：， ，故①正确． 由函数图象可知：当时，，即， ，故②正确． 抛物线与轴的一个交点为， ， ，即， ， 抛物线开口向下， ， ，故③正确； 抛物线的对称轴为，， 关于对称轴对称的点为 ，在对称轴的左侧， 随的增大而增大， ，故④错误； 方程的两根为或， 如图，过作轴的平行线，直线与抛物线的交点的横坐标为方程的两根， 依据函数图象可知：，故⑤错误． 故答案为：①②③． 三、解答题：本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 如图，，为两弦，且，、分别为，的中点．求证：． 【答案】 证明：连接，， ∵、分别为，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的推论、弦与弦心距的关系及等腰三角形的性质，熟练掌握平分弦（非直径）的直径，垂直于弦并且平分弦所对的两条弧是解题关键，根据垂径定理得出，，根据弦与弦心距的关系得出，根据等腰三角形的性质即可得答案． 【详解】略 18. 有一破损的水管，截面如图． （1）请用直尺和圆规补全这个图（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若水管直径，水面宽度，求最大水深和弧的长． 【答案】（1） 即为所求： （2）最大水深为，弧的长为 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理及弧长公式，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）作的垂直平分线，交截面图于，交于，连接，作的垂直平分线，交于，以点为圆心，为半径画圆，即为所求； （2）根据垂径定理得出，，利用勾股定理求出，即可得出最大水深的长，进而证明是等边三角形，，利用弧长公式即可得弧的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如（1）中图，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴最大水深， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，即是等边三角形， ∴，， ∴弧的长． 19. 在不透明的箱子里放有4个乒乓球，每个乒乓球上分别写有数字1，2，3，4，从箱中摸出一个球记下数字后放回箱中，摇匀后再摸出一个球记下数字，若将第一次摸出的球上数字记为点的横坐标，第二次摸出的球上数字记为点的纵坐标． （1）请写出两次摸球后所有可能的点的坐标，并用列表法或树状图法说明； （2）求这些点落在以为圆心，半径为2的圆内的概率． 【答案】（1） 所有可能的点的坐标，如表： 第一次 第二次 1 2 3 4 1 2 3 4 （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比． （1）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果； （2）根据（1）中的表格求得这样的点落在如图所示的圆内的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【小问1详解】 解：所有可能的点的坐标，如表： 第一次 第二次 1 2 3 4 1 2 3 4 【小问2详解】解：这样的点落在如图所示的圆内的有：，，，，，，，，，共有9种可能情况，总共有16种可能情况， （在圆内）． 20. 九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如表： 售价（元/件） … 月销量（件） … 已知该运动服的进价为每件元，设售价为元/件． （1）请用含的式子表示：①销售该运动服每件的利润是_____元；②月销量是_____件；（直接写出结果） （2）设销售该运动服的月利润为元，，那么售价为多少时，当月的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）①；② （2）时，当月的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用及二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据利润售价进价求出利润，运用待定系数法求出月销量即可； （2）根据月利润每件的利润月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润． 【小问1详解】 解：①销售该运动服每件的利润是元； 故答案为：； ②设月销量与的关系式为， 由题意得， 解得， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵销售该运动服的月利润为元， ∴， ∵， ∴时，随的增大而增大， ∵， ∴时，有最大值，最大值为（元）． 21. 如图，斜坡长10米，按图中的直角坐标系可用表示，点A，B分别在x轴和y轴上．在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛物线可用表示． （1）求抛物线的表达式及顶点坐标； （2）在斜坡上距离A点2米的C处有一棵3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？ 【答案】（1）y=-x2+x+5，（2，9）；（2）能. 【解析】 【分析】（1）根据直线和抛物线的交点坐标即可求解； （2）根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）令x=0，得y=5，所以B（0，5）， 令y=0，得x=5，所以A（5，0）， 将A（0，5）、B（5，0）代入y=-x2+bx+c得， c=5，-25+5b+5=0，解得b=， 所以抛物线的表达式为y=-x2+x+5． y=-（x-2）2+9，所以顶点坐标为（2，9）． ∴抛物线的表达式为y=-x2+x+5． 顶点坐标为（2，9）； （2）∵AB=10，OB=5， ∴∠OAB=30°， ∵AC=2， ∴所以C点纵坐标为1， ∴C点的横坐标为4， 所以当x=4时，y=5， 所以1+3.5=4.5＜5， 所以水柱能越过这棵树． 即在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树，水柱能越过这棵树． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、一次函数与二次函数交点，解决本题的关键是综合运用二次函数与一次函数的知识． 22. （1）证明：同一圆中，两条平行弦所夹弧相等（画图，并写出已知、求证以及证明过程）； （2）计算：已知的半径为13，，是两条弦，，，，求与之间的距离； （3）应用：如图所示，自上一点引三条弦，，，且平分，过点作弦交于点，线段与相等吗？为什么？ 【答案】 （1）已知：、是的两条弦，， 求证：； 证明：分两种情况： ①如图1，当、在圆心的同一侧时， 过点作于点，交于点，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ②如图2，当、在圆心的两侧时， 过点作于点，交于点，交于点、，则是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述， ； （2）7或17； （3）解：线段与相等， 理由：平分， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，平行线间的距离等知识，根据题意分类讨论是解决问题的关键． （1）根据题意分两种情况画出图形，写出已知、求证及证明过程即可； （2）分、在圆心的同一侧和两侧，两种情况分类讨论，即可得出答案； （3）利用圆周角定理及同一圆中，两条平行弦所夹弧相等证明，进而证明，得出，利用角平分线和平行线证出，即可证明． 【详解】解：（1）略 （2）分两种情况： ①如图3，当、在圆心的同一侧时， 过点作于点，交于点，连接、， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 与之间的距离为7， ②如图3，当、在圆心的两侧时， 过点作于点，交于点，连接、， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 与之间的距离为17， 综上所述，与之间的距离为7或17； （3）略 23. 已知抛物线与直线． （1）求证：两个函数图象必有交点； （2）当抛物线的顶点落在直线上时，求a的值； （3），当时，，求a的取值范围． 【答案】（1） 证明：联立 整理，得 ∴有实根 ∴两个函数图象必有交点； （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查的是二次函数和一次函数的综合题型，掌握联立方程判断函数图象的交点情况、二次函数图象的顶点坐标和二次函数的图象及性质是解决此题的关键． （1）将解析式联立方程组，即可得到关于x的一元二次方程，再求出的符号即可证出结论； （2）根据对称轴公式求出抛物线顶点坐标的横坐标，然后代入一次函数的解析式中即可求出顶点坐标的纵坐标，再把顶点坐标代入二次函数解析式中即可得出结论； （3）分别求出当和当时，的值，根据求出的取值范围，再考虑去等号时是否符合题意即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：抛物线的顶点坐标的横坐标为 ∵抛物线的顶点落在直线上 把代入中，解得： ∴抛物线的顶点坐标为 将代入中，得 解得：； 【小问3详解】 解：当时，； 当时， ∵， ∴ 解得： 当时，易知抛物线与一次函数的交点为 此时也满足当时，； ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $