精品解析：浙江宁波市镇海区2025-2026学年第一学期期末测试九年级数学试卷

镇海区2025学年第一学期期末质量检测试卷 初三数学 考生须知： 1．全卷共三个大题，24个小题．满分为120分，考试时间为120分钟． 2．请将学校、姓名、班级填写在答题卡的规定位置上． 3．请在答题卡的规定区域作答，在试卷上作答或超出答题卡的规定区域作答无效． 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地 B. 对顶角相等 C. 射击运动员射击一次，命中十环 D. 买一张电影票，座位号是奇数 2. 已知线段，，则它们的比例中项线段的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 10 D. 16 3. 已知的半径为3，平面内一点P到圆心O的距离，则点P在（ ） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 无法确定 4. 若将抛物线y=x2平移，得到新抛物线，则下列平移方法中，正确的是（ ） A. 向左平移3个单位 B. 向右平移3个单位 C. 向上平移3个单位 D. 向下平移3个单位 5. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，，点B坐标为，则点E的坐标为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知二次函数，当x取1，2，3，4时，对应的函数值分别为，，，，则下列选项中最大的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径画弧，三段圆弧所围成的封闭图形叫做“莱洛三角形”．若等边三角形的边长为1，则该“莱洛三角形”的周长为（ ） A. π B. C. 2π D. 3π 9. 如图，在中，是斜边上的中线，以A为圆心，长为半径作弧，与线段交于点E．若和的面积之比为，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，正方形的四个顶点在正八边形的四条边上，A为边上一点（不与M，N重合），八边形对角线交正方形一组对边于点E，F，设，四边形的面积为y，y关于x的函数图像如图2所示，最低点为，则下列关于a，b的关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知，则的值为______． 12. 二次函数的图像与x轴的交点个数为______个． 13. 某校做了关于九年级学生食堂自助餐时打菜个数的统计，在200名同学的餐盘中，统计结果如下表： 每个同学打菜的个数 2 3 4 5 学生的人数 14 66 90 30 根据以上结果，估计当天随机查看一名九年级同学的餐盘，他打菜的个数超过3个的概率为______． 14. 若锐角，则．已知，则的值为______ ． 15. 如图，是的内接三角形，，半径交于点E，．若，，则的长为______． 16. 如图，在中，为边上一点，，平分交于点，交于点．若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 为了丰富学生课余生活，某校每周开展丰富多彩的课后拓展课程，并于开学初进行线上自主选课报名．小欢和小喜打算从以下三个课程里各自随机选择一个：①甬城建筑几何探秘；②日常生活函数循迹；③科创百态AI建模． （1）小欢选择课程③的概率为______． （2）用画树状图或列表的方式，求小欢和小喜选择同一课程的概率． 19. 如图，在中，点D是的中点，在上取点E，使． （1）求证：． （2）若，，求的长． 20. 图1，图2，图3都是正方形网格，的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，在边上分别作出一点D，E，使得． （2）如图2，在边上作出点F，使得． （3）如图3，绕图中某一点顺时针旋转得到，其中点的位置如图所示，在图中作出． 21. 如图，是的内接三角形，是的直径，连接，． （1）求的度数． （2）若，求图中阴影部分的面积． 22. 我们在物理学科中学过：光线从空气射入玻璃会发生折射现象（如图1）．现将一块长方体玻璃砖水平放置（如图2），激光笔从A处射出一束光线，经玻璃上表面B处折射后沿方向传播，再经下表面折射后沿方向射出，可知，与竖直墙面交于点D．经查阅，记玻璃的折射率为n，在空气中玻璃的折射率n的值等于入射角与折射角正弦值的商．例如在图2中，． （1）在图2中，已知，，求该玻璃的折射率n． （2）在（1）的基础上，如果图2中该玻璃砖厚度，现撤去玻璃砖（保持光线不变），那么光线与墙面的交点将往哪个方向移动多少距离？ 23. 已知二次函数（b，c为常数），图像经过点，且． （1）若，二次函数对称轴为直线， ①求二次函数的表达式． ②若点B为二次函数图象上一点，且点B到x轴，y轴的距离相等，求点B的坐标． （2）若A为该二次函数图像的顶点，为图像上一动点，且点P到y轴的距离不大于1，n的最大值与最小值的差为5，求k的值． 24. 如图1，四边形内接于，为直径，D为优弧的中点，与延长线交于点G，，分别交，于点E，F． （1）若，则______°，______°． （2）求证：． （3）如图2，连接，如果四边形的面积等于面积的2倍，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇海区2025学年第一学期期末质量检测试卷 初三数学 考生须知： 1．全卷共三个大题，24个小题．满分为120分，考试时间为120分钟． 2．请将学校、姓名、班级填写在答题卡的规定位置上． 3．请在答题卡的规定区域作答，在试卷上作答或超出答题卡的规定区域作答无效． 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地 B. 对顶角相等 C. 射击运动员射击一次，命中十环 D. 买一张电影票，座位号是奇数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查必然事件的定义，必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，结合各选项事件的发生确定性来判断即可解答． 【详解】解：A选项，任意抛掷一枚图钉，钉尖不一定着地，属于随机事件； B选项，根据对顶角的性质，对顶角一定相等，属于必然事件； C选项，射击运动员射击一次，不一定命中十环，属于随机事件； D选项，买一张电影票，座位号不一定是奇数，属于随机事件． 故选：B． 2. 已知线段，，则它们的比例中项线段的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 10 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例中项的定义，掌握知识点是解题的关键． 利用比例的基本性质求解，即可解答． 【详解】解：设它们的比例中项线段的长为． ∵若线段是、的比例中项 ∴根据比例中项的定义可得． 由比例的基本性质（内项积等于外项积）得 ， 解得或． 又∵线段的长度为正数， ∴． 故选A． 3. 已知的半径为3，平面内一点P到圆心O的距离，则点P在（ ） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离与圆半径的大小关系与点与圆的位置关系是解题的关键． 由小于的半径为3，据此即可判断点的位置． 【详解】解：∵的半径，点到圆心的距离 ∴， ∴点在⊙内． 故选C． 4. 若将抛物线y=x2平移，得到新抛物线，则下列平移方法中，正确的是（ ） A. 向左平移3个单位 B. 向右平移3个单位 C. 向上平移3个单位 D. 向下平移3个单位 【答案】A 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为（-3，0），然后利用顶点的平移情况确定抛物线的平移情况． 【详解】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为（-3，0）， 因为点（0，0）向左平移3个单位长度后得到（-3，0）， 所以把抛物线y=x2向左平移3个单位得到抛物线y=（x+3）2． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 5. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股定理求得AC，再根据正弦的定义求解即可； 【详解】∵在中，，,， ∴， ∴； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与解直角三角形，准确理解计算是解题的关键． 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，，点B坐标为，则点E的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换的性质，掌握关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 根据与以原点为位似中心，相似比是2，再根据上一点的坐标是，则在中，它的对应点的坐标是或，再根据图形即可求出点E的坐标． 【详解】解：∵与是以原点O为位似中心的位似图形，， ∴，相似比为2， ∵点B坐标为， ∴点E的坐标是． 故选D． 7. 已知二次函数，当x取1，2，3，4时，对应的函数值分别为，，，，则下列选项中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 可先求出二次函数的对称轴，根据二次函数开口向上的性质，判断各点到对称轴的距离，离对称轴越远函数值越大，进而得出最大的函数值． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴由对称轴公式，其中，， ∴对称轴为， ∵， ∴二次函数图象开口向上，在对称轴处取得最小值，且点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大． ∵计算各点到对称轴的距离：，，，， ∴对应的点离对称轴最远， ∴最大． 故选D． 8. 如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径画弧，三段圆弧所围成的封闭图形叫做“莱洛三角形”．若等边三角形的边长为1，则该“莱洛三角形”的周长为（ ） A. π B. C. 2π D. 3π 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式： （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），等边三角形的性质，掌握知识点是解题的关键．直接利用弧长公式计算即可． 【详解】解：在等边中，， 该莱洛三角形的周长． 故选：A． 9. 如图，在中，是斜边上的中线，以A为圆心，长为半径作弧，与线段交于点E．若和的面积之比为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质、勾股定理、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据三角形中线的性质可得，再根据三角形的面积可得，即；由作图可得；如图：过A作于F，则；由勾股定理可得，易得，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∵和的面积之比为， ∴， ∴， ∵以A为圆心，长为半径作弧，与线段交于点E， ∴， 如图：过A作于F，则， ∴，， ∴． 故选C． 10. 如图1，正方形的四个顶点在正八边形的四条边上，A为边上一点（不与M，N重合），八边形对角线交正方形一组对边于点E，F，设，四边形的面积为y，y关于x的函数图像如图2所示，最低点为，则下列关于a，b的关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、函数图像等知识点，从函数图像上获取所需信息是解题的关键． 如图：取的中点O，连接，过点O作交于点H，，即．再分点A与点H重合、点A与点M重合分别得到、，最后在中运用勾股定理求解即可 【详解】解：如图：取的中点O，连接，过点O作交于点H，，即． 当点A与点H重合时，取到最小值1，即，此时， 当点A与点M重合时，取到最大值b，即， 在中，，即． 故选A． 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知，则的值为______． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题考查分式的求值，掌握知识点是解题的关键． 根据已知比例关系，设参数表示a和b，再代入所求分式计算即可． 【详解】解：由，设，（），则 ， 所以． 故答案为：． 12. 二次函数的图像与x轴的交点个数为______个． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式等知识点，理解一元二次方程的解是对应二次函数与x交点的横坐标是解题的关键． 通过计算二次函数对应方程的判别式，即可判断与x轴的交点个数． 【详解】解：∵二次函数的图像与x轴的交点个数，等同于方程的实数根个数，， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数的图像与x轴有2个交点． 故答案为：2． 13. 某校做了关于九年级学生食堂自助餐时打菜个数的统计，在200名同学的餐盘中，统计结果如下表： 每个同学打菜的个数 2 3 4 5 学生的人数 14 66 90 30 根据以上结果，估计当天随机查看一名九年级同学的餐盘，他打菜的个数超过3个的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算，掌握知识点是解题的关键． 打菜个数超过3个是指打菜4个或5个，从表格中找出对应学生人数并求和，再除以总学生人数200，即可解答． 【详解】解：∵打菜个数超过3个的学生人数为（人），总学生人数为200人， ∴他打菜的个数超过3个的概率为． 故答案为：． 14. 若锐角，则．已知，则的值为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】由，设，则，求出，所以，然后通过即可求解． 【详解】解：如图，，， 由， 设，则， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 15. 如图，是的内接三角形，，半径交于点E，．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接并延长交于F， 根据等腰三角形的性质以及垂径定理可得、，，再证明可得，设，则，；在中利用勾股定理列方程可得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：连接并延长交于F， 解∶如图，连接AO并延长，交BC于F， ∵是的内接三角形，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中， ，即，解得：， ∴． 故答案为∶ ． 16. 如图，在中，为边上一点，，平分交于点，交于点．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，先证明，得到，，过点作交于点，过点作交于点，可证，得到，设，则，利用勾股定理可得，即得到，再利用求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 过点作交于点，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在和中，，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 先用特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 18. 为了丰富学生课余生活，某校每周开展丰富多彩的课后拓展课程，并于开学初进行线上自主选课报名．小欢和小喜打算从以下三个课程里各自随机选择一个：①甬城建筑几何探秘；②日常生活函数循迹；③科创百态AI建模． （1）小欢选择课程③的概率为______． （2）用画树状图或列表的方式，求小欢和小喜选择同一课程的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图求概率、概率公式等知识点，正确画出树状图是解题的关键． （1）先找出所有符合条件的情况数，再根据概率的计算公式进行计算即可； （2）根据题意画出树状图或列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小欢可以选①②③三个课程中的任意一种，因此小欢选择课程③的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：方法一：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能结果，其中小欢和小喜选择同一课程的结果有3种，所以概率为． 方法二：根据题意列表如下： 小欢 小喜 ① ② ③ ① （①，①） （②，①） （③，①） ② （①，②） （②，②） （③，②） ③ （①，③） （②，③） （③，③） 由表格可知，共有9种等可能结果，其中小欢和小喜选择同一课程的结果有3种，所以概率为． 19. 如图，在中，点D是的中点，在上取点E，使． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）7 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质、线段的中点、线段的和差等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接根据两组对应角相等的三角形相似即可证明结论； （2）由线段的中点可得，由（1）得，再利用相似三角形的性质可得，最后利用线段的和差即可解答． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴． 【小问2详解】 解：∵点D是的中点， ∴， 由（1）得， ∴，即，解得：， ∴． 20. 图1，图2，图3都是正方形网格，的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，在边上分别作出一点D，E，使得． （2）如图2，在边上作出点F，使得． （3）如图3，绕图中某一点顺时针旋转得到，其中点的位置如图所示，在图中作出． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、全等三角形的性质、旋转的性质等知识点，理解相关性质是解题的关键． （1）如图：取格点D、E，使得即可； （2）如图：取格点D、E、G，使得，连接与交点为F即可； （3）如图：取格点使得，再确定点C的对应点，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图：点D、点E即为所求． 【小问2详解】 解：如图：点F即为所求． 证明：由网格图可知：，， ∴， ∴，即． 【小问3详解】 解：如图：即为所求． 21. 如图，是的内接三角形，是的直径，连接，． （1）求的度数． （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、含直角三角形的性质、勾股定理、弧长公式等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由直径所对的圆周角为可知，根据同弧所对的圆周角相等可得，再根据角的和差即可解答； （2）如图：连接，由含直角三角形的性质以及勾股定理可得，，如图：过O作于E，易得，由三角形的面积公式可得，再说明，利用扇形的面积公式可得，最后根据求解即可． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图：连接， 在中，，， ∴，，， 如图：过O作于E， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 我们在物理学科中学过：光线从空气射入玻璃会发生折射现象（如图1）．现将一块长方体玻璃砖水平放置（如图2），激光笔从A处射出一束光线，经玻璃上表面B处折射后沿方向传播，再经下表面折射后沿方向射出，可知，与竖直墙面交于点D．经查阅，记玻璃的折射率为n，在空气中玻璃的折射率n的值等于入射角与折射角正弦值的商．例如在图2中，． （1）在图2中，已知，，求该玻璃的折射率n． （2）在（1）的基础上，如果图2中该玻璃砖厚度，现撤去玻璃砖（保持光线不变），那么光线与墙面的交点将往哪个方向移动多少距离？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，平行四边形的判定与性质，特殊角的三角函数值，掌握知识点是解题的关键． （1）先推导出，，则，即可解答； （2）延长交墙面于点E，延长交于点F，先推导出，，得到，，继而证明四边形为平行四边形，则，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：延长交墙面于点E，延长交于点F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 即墙面上的交点将往上移动． 23. 已知二次函数（b，c为常数），图像经过点，且． （1）若，二次函数对称轴为直线， ①求二次函数的表达式． ②若点B为二次函数图象上一点，且点B到x轴，y轴的距离相等，求点B的坐标． （2）若A为该二次函数图像的顶点，为图像上一动点，且点P到y轴的距离不大于1，n的最大值与最小值的差为5，求k的值． 【答案】（1）①；②点B的坐标为或 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数图像的性质、二次函数的最值、解一元二次方程等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）①由二次函数过点可知，再根据对称轴为直线可得即可解答；②设，由题意得，点B的横坐标与纵坐标相等或互为相反数，然后分、两种情况求解即可； （2）设，然后分、分别求出最大值和最小值，进而得到关于k的方程求解即可． 【小问1详解】 解：①∵二次函数过点， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴二次函数的表达式为． ②设， 由题意得，点B的横坐标与纵坐标相等或互为相反数， a．当时，解得：，，即点B的坐标为或； b．当时，则，即方程无解． 综上所述，点B的坐标为或． 【小问2详解】 解：∵点A为该函数图像的顶点，为图像上一动点，且点P到y轴的距离不大于1， ∴设，，即 当时， ∵， ∴函数在处取到最小值2，在处取到最大值， ∴ ，解得：（舍）； 当时， ∵， ∴函数在处取到最小值，在处取到最大值，则，解得：． 综上所述，． 24. 如图1，四边形内接于，为直径，D为优弧的中点，与延长线交于点G，，分别交，于点E，F． （1）若，则______°，______°． （2）求证：． （3）如图2，连接，如果四边形的面积等于面积的2倍，求的值． 【答案】（1）70；35 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）如图：连接，由可得，则， 优弧；再根据直角三角形两锐角互余即可求得；再说明，进而得到，再根据圆周角定理求解即可； （2）由D为的中点，可得，即；再根据垂直的定义、圆周角定理、角的和差以及等量代换可得，由等角对等边可得；再说明，最后根据等量代换即可证明结论； （3）如图：连接并延长交于点M，易证可得，再证明，可得。即，进而得到、； 然后证明可得；设，则，、，，进而得到；再证明可得，即；再结合即可解答． 【小问1详解】 解：如图所示：连接， ∵， ∴， ∴， 优弧， ∵， ∴； ∵D为优弧的中点， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：70，35． 【小问2详解】 证明：∵D为的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图所示：连接并延长交于点M， ∵，， ∴， ∴，, ∴, ∴,即， ∵D为 ̂的中点， ∴半径垂直弦， ∴，, ∵为直径， ∴, ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. ∴， ∴， ∴ ∴，,即，, ∴， ∵， ∴, ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴设，则，， ∴，， ∴,即， ∵, ∴, ∴， ∵， ∴， ∴，即 又∵，即, ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等边对等角、全等三角形的判定与性质、垂径定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $