11.5 因式分解（教学课件）数学华东师大版2024八年级上册

该初中数学课件聚焦“因式分解”核心内容，涵盖定义、公因式确定、提取公因式法及公式法。通过生活情境（矩形拼图面积）和旧知复习（整式乘法逆向），搭建从整式乘法到因式分解的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以数学眼光观察生活（如拼图面积），通过合作探究（公因式归纳）和逆向推理（整式乘法与因式分解对比）发展推理意识，结合青铜冰鉴面积计算等实例培养应用意识。采用“典例+变式”训练和结构化小结，助力学生理解概念，教师高效备课。

11.5 因式分解 第11章 整式的乘除 华师大版2024·八年级上册 章节导读 学 习 目 标 理解概念与基础方法 掌握因式分解的定义：将多项式转化为几个整式乘积的形式。 学会确定公因式（系数、字母、多项式），并熟练提取公因式。 灵活运用公式法 掌握平方差公式、完全平方公式、立方和/差公式的逆用。 能根据多项式特征（项数、符号、结构）选择合适公式分解。 综合应用与问题解决 能按步骤（提公因式→套公式→分组→验证）完成复杂多项式的分解。 解决实际问题（如简化计算、解方程）时主动应用因式分解技巧。 课堂导入 展示一张由6块相同矩形拼成的组合图形，提问："如果已知大长方形的面积为6x²+12xy，且宽为3x，如何求它的长？" 情境导入——生活情境导入（类比思想） 将长方形拆分为2个部分：6x2÷3x=2x，12xy÷3x=4y，拼出长=2x+4y 6x2 12xy 3x 2x 4y 也就是说3x（2x+4y）=6x2+12xy 旧知复习 快速练习：（x+2）(x-3) 展示等式：x2-4=(x+2)(x-2) 提问：“左右两边的式子有什么本质区别” 强调：“左边是和的形式，右边是积的形式” 温故旧知——复习整式乘法 复习整式 观察特例 =x2-x-6 逆向提问：如果已知x2-x-6等于（ ）( )，如何找到这两个括号 新知探究 归纳规则----合作探究 运用前面所学的知识填空 ①m(a+b+c)= . ②(a-b)(a+b)= . ①ma+mb+mc= . ②a2-b2= . 计算 观察上面的式子填空 ma+mb+mc a2-b2 m(a+b+c) (a-b)(a+b) 整式的乘法 把一个多项式化为几个整式的积的形式 叫做多 项式的因式分解 强调：因式分解是乘法运算的逆过程，结果必须是乘积形式。 典例分析 例1 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（        ） A . 2x（x+3）=2x2+6x B . 24xy2=3x·8y2 C . x2+2xy+y2+1=（x+y）2+1 D . x2-y2=(x+y)(x-y) D 单项式乘以多项式，不是因式分解，故A选项错误 因式分解的对象是多项式不是单项式，故B选项错误 因式分解的结果是积的形式，不是和的形式，故C选项错误 变式训练 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（      ） A . (x-1)(x-2)=x2-3x+2 B . x2+4x+4=x(x+4)+4 C . x2+y2=(x+y)(x-y) D . x2-3x+2=(x-1)(x-2) D 因式分解的结果是乘积的形式，故A选项错误 因式分解的结果是乘积的形式，故B选项错误 x2+y2≠(x+y)(x-y)故C选项错误 新知探究 归纳规则----合作探究 公因式是指多项式中各项都含有的相同因式（包括数字系数和字母部分） ①系数：各项系数的最大公约数（如6x2y和9xy2的系数公因式是3） ②字母部分：各项共有的字母及其最低次幂（如公因式为3xy） 公因式的定义 核心要素 示例 多项式8a3b2-12a2b的公因式是4a2b 典例分析 例2 给出下列四组代数式：①5xy和xy5；②5x-y和x+5y；③5(x-y)和6(x-y)；④5x和15y．其中没有公因式的一组是________．（填序号） ② 公因式为xy 没有公因式 公因式为（x-y） 公因式为5 变式训练 多项式9x2y-3xy2+6xyz各项的公因式是（         ） A . 3y B . 3xz C . 3xy D . 3x C 9x2y=3xy·3x 3xy2=3xy·y 6xyz=3xy·z 新知探究 提取公因式——概念详解与步骤精析 定义：将多项式中各项共有的因式提取到括号外，写成乘法形式。 1.找公因式：①系数：取各项系数的最大公约数②字母部分：各项共有的字母及其最低次幂 2.提公因式：将公因式写在括号外，括号内保留原多项式除以公因式的结果。 3.检查括号内是否还能继续分解，确保括号内各项无公因式。 什么是提取公因式？ 如何提取公因式？ 步骤口诀：“一找、二提、三验证” 典例分析 例3 对下列式子进行因式分解． （1）27xy2-18x3y （2）3x(a-b)-2y(b-a) 原式=9xy·3y-9xy·2x2 =9xy·（3y-2x2） 原式=3x(a-b)+2y(a-b) =(a-b)(3x+2y) 变式训练 用提公因式法将下列各式分解因式． (1)-4a3b2+12a2b-4ab (2)(a2-ab)+c(a-b) -4a3b2+12a2b-4ab =-4ab·a2b+(-4ab)·(-3a)+(-4ab)·1 =-4ab(a2b-3a+1) (a2-ab)+c(a-b) =a(a-b)+c(a-b) =(a-b)(a+c) 新知探究 公式法——概念详解与步骤精析 ①平方差公式：a2-b2=(a-b)(a+b) 适用条件：两项均为完全平方且符号相反。 示例：x2-9=(x-3)(x+3) 平方差公式 完全平方公式 ②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2 适用条件：三项式，首尾为平方项，中间项为±2ab7 示例：x2-6x+9=(x-3)2 典例分析 例4 分解因式： （1）3b2-12b+12 （2）a3(x-y)+ab2(y-x) 解：（1）3b2-12b+12 =3（b2-4b+4） =3（b-2）2 先提取公因式，再由完全平方公式分解因式即可得到答案 先提取公因式，再由平方差公式分解因式即可得到答案 解：（2）a3(x-y)+ab2(y-x) =a(x-y)(a2-b2) =a(x-y)(a-b)(a+b) 变式训练 因式分解： (1)a3b-2a2b2+ab3 (2)a2(x-y)+9b2(y-x) 解：(1)原式ab(a2-2ab+b2)=ab(a-b)2 先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可 先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可 解：(2)原式=a2(x-y)-9b2(x-y) =(x-y)(a2-9b2) =(x-y)(a+3b)(a-3b) 课堂练习 1．下列式子从左到右变形是因式分解的是（　 　） A .a(1-a)=a-a2 B . a2+2ab+b2=(a+b)2 C .x2+3=x(x+) D . m2+4m-10=m(m+4)-10 基础巩固题 B 因式分解的结果是积的形式，故A错误 等式的右边不是整式，故A错误 因式分解的结果是积的形式，故D错误 课堂练习 2．若a-b=3，x-y=2，则代数式a2-2ab+b2-x+y+2025的值是（       ） D A .2026 B .2028 C . 2030 D .2032 解：a2-2ab+b2-x+y+2025=(a-b)2-(x-y)+2025 ∵a-b=3，x-y=2 原式=32-2+2025=2032 课堂练习 3 .图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏酒或食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴．其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为2a+b，小正方形的边长为2a-b，则放置冰块部分的面积为 。 解：(2a+b)2-(2a-b)2 =[(2a+b)+(2a-b)][(2a+b)-(2a-b)] =(2a+b+2a-b)(2a+b-2a+b) =4a×2b =8ab 8ab 课堂练习 4．下列多项式是不是完全平方式？为什么？ （1）a2-4a+4 （2）1+4a2 （3）4b2+4b-1 （4）a2+ab+b2 基础巩固题 是，(a-2)2 不是，缺少一次项±4a，或缺少四次项4a4 不是，平方项符合不一致 不是，ab项没有系数2 课堂练习 5．已知x+y=5，xy=3，求下列各式的值： （1）x2+y2 （2）(x-2)(y-2) （3）x2y+xy2 x2+y2=(x+y)2-2xy=25-6=19 (x-2)(y-2)=xy-2x-2y+4=3-2×5+4=-3 x2y+xy2=xy（x+y）=5×3=15 因式分解定义 课堂小结 因式分解是将一个多项式表示为几个整式的乘积的过程。 核心：将“和差形式”转化为“乘积形式”。 公因式 公因式：多项式中各项都含有的相同因式（可以是数、字母或多项式）。 确定公因式的方法 系数：取各项系数的最大公约数。 字母：取各项共有的字母，且取最低次幂。 多项式：若各项含相同多项式，整体作为公因式。 提取公因式法 课堂小结 1.找出多项式中的公因式。 2.将公因式提到括号外，括号内为原式除以公因式后的结果。 3.检查括号内是否可继续分解。 公式法 ①平方差公式：a2-b2=(a-b)(a+b) ②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 初 中 数 学 $$