11.5 因式分解 第3课时课件2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

11.5 因式分解 第3课时 运用两数和(差)的平方公式分解因式 1.探索并运用两数和(差)的平方公式进行因式分解，体会转化思想． （重点） 2.能综合运用提公因式法和两数和(差)的平方公式对多项式进行因式 分解．（难点） 学 习 目 标 1.因式分解： 2.我们已经学过哪些因式分解的方法? 把一个多项式转化为几个整式的积的形式. (1)提公因式法 (2)平方差公式;a²-b²=(a+b)(a-b) 复 习 导 入 填一填：在横线上填上适当的式子，使等式成立 (1)(a＋b)²＝ . a²+ +1=(a+1)² (a－b)²＝ . a²- +1=(a-1)² (2)根据(1)填空： a²+2ab+b²＝ . a²-2ab+b²＝ . 2a 2a a²+2ab+b² a²2ab+b² (a+b)² (ab)² 合 作 探 究 两数(和)差的平方公式的特点： a2+2ab+b2 a2－2ab+b2 观察这两个式子： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 凡具备这些特点的三项式，就是两数(和)差的平方公式，将它写成两数(和)差的平方公式形式，便实现了因式分解. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 合 作 探 究 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 2 a b ＋b2 ± ＝(a ± b)2 a2 新 知 小 结 例1 分解因式： (1)x2＋4xy＋4y2；(2)a2-10a+25；(3)(a＋b)2－12(a＋b)＋36. 解:(1) x2＋4xy＋4y2 ＝(x＋2y)2； ＝x2＋2·x·2y＋(2y)2 （2）a2-10a+25 ＝a2-2·a·5＋52 ＝(a-5)2 （3）设a＋b＝m，则 原式＝m2－12m＋36 ＝(m－6)2 ＝(a＋b－6)2 将a＋b看成一个整体 典 例 精 析 例2 分解因式： (1)4x3y－4x2y2＋xy3； (2)2x2-12x+18. 解：(1)原式＝xy(4x2－4xy＋y2) ＝xy(2x－y)2 先提出公因式xy (2)原式＝2(x2－6x＋9) ＝2(x-3)2 先提出公因式2 方法总结：分解因式时，有公因式时先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查. 典 例 精 析 例3 分解因式： (1)m4-18m2+81； (2)(x2-4x)2+8(x2-4x)+16. 解：(1)原式＝(m2-9)2 ＝(m+3)2(m-3)2. (2)原式=(x2-4x+4)2 =(x-2)4. 方法总结：分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解. 典 例 精 析 1.已知x2＋16x＋k是两数(和)差的平方公式，则常数k等于(　　) A．64 B．48 C．32 D．16 A 2.已知4x2＋mx＋36是两数(和)差的平方公式，则m的值为(　　) A．8 B．±8 C．24 D．±24 D 随 堂 练 习 3.把多项式x2－6x＋9分解因式，结果正确的是(　　) A．(x－3)2 B．(x－9)2 C．(x＋3)(x－3) D．(x＋9)(x－9) A 4.如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a2，ab，ab，b2，其中a＞0，b＞0，则原正方形的边长是(　　) A．a2＋b2 B．a＋b C．a－b D．a2－b2 B 随 堂 练 习 ＝(a2－4＋3)2＝(a2－1)2 ＝(a＋1)2(a－1)2. 5.因式分解 (1)(a2－4)2＋6(a2－4)＋9； (2) (x2＋16y2)2－64x2y2； ＝(x2＋16y2)2－(8xy)2 ＝(x2＋16y2＋8xy)(x2＋16y2－8xy) ＝(x＋4y)2(x－4y)2. ＝a(a2－1)－2b(a2－1) ＝(a－2b)(a＋1)(a－1)． (3)a(a2－1)＋2b(1－a2)； (4)(x－y)2＋2(x－y)＋1. ＝(x－y＋1)2. 随 堂 练 习 6.若ab＝，a＋b＝，求多项式a3b＋2a2b2＋ab3的值． 解：a3b＋2a2b2＋ab3 ＝ab(a2＋2ab＋b2) ＝ab(a＋b)2. ∵ab＝，a＋b＝， ∴原式＝×()2＝. 随 堂 练 习 公式 公式法 两数(和)差的平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 步骤 课 堂 总 结 $$