精品解析：湖南省名校联考联合体2026届高三上学期第一次联考（暨入学检测）数学试题

名校联考联合体2026届高三第一次联考 （暨人学检测） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用交集运算的概念求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：C 2. 设为虚数单位，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】直接计算复数的模即可. 【详解】. 故选：C. 3. 如图，在矩形中，为中点，那么向量=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加法法则和矩形的性质求解 【详解】因为在矩形中，为中点， 所以， 所以， 故选：A 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二倍角余弦公式直接求解即可. 【详解】. 故选：A. 5. 已知某一随机变量X的概率分布如下，且E（X）=6.9，则a的值为 X 4 a 9 P m 0.2 0.5 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：因为，在分布列中，各变量的概率之和为1. 所以，m=1-(0.2+0.5)=0.3，由数学期望的计算公式，得，，a的值为6，故选B． 考点：随即变量分布列的性质，数学期望． 点评：小综合题，在分布列中，各变量的概率之和为1. 6. 若双曲线与关于直线对称，且的离心率与的离心率之积为常数），则称与互为型双曲线.已知双曲线，则的3型双曲线的渐近线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由3型双曲线定义可知双曲线的方程为，且，求得，即可求出渐近线方程. 【详解】由新概念可知，的3型双曲线的方程为，且， 所以，即，则， 所以的3型双曲线的渐近线为. 故选：D. 7. 记的内角，，的对边分别为，，，若，，且边上的高为1，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理及将已知化简为，由得，利用等面积法求得，利用及余弦定理得，解方程即可得解. 【详解】由及正弦定理得， 又，所以，则， 由得，由得，则， 根据余弦定理得，则， 整理得，解得（负值舍去）. 故选：D. 8. 已知函数，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，则，将比较，，的大小转化为比较，，的大小，构造函数，利用导数研究其单调性，进而有，最后利用的单调性比较大小即可. 【详解】因为， 所以， 所以函数的图象关于直线对称， 当时，， 因为函数在定义域上单调递增，单调递减， 由复合函数单调性法则可知函数单调递减， 同理函数在上单调递减，所以在上单调递减. 又，则，，， 为便于比较，，的大小， 考虑比较，，的大小. 构造函数，则， 所以在上单调递减，又，所以， 则，即， 所以，则. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设抛物线的焦点为，若直线与交于，两点，其中为第一象限内的点，与的准线交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据抛物线焦点坐标求出判断A；联立直线与准线方程求得判断B；联立直线与抛物线方程，韦达定理得，由焦点弦弦长公式求得判断C；利用两点距离公式求得，由即可判断D. 【详解】因为抛物线的焦点为，所以，解得，A正确； 易知的准线方程为，由解得，则，B错误； 由上可知，，联立方程组，整理得， 设，，则， 因为在直线上，所以，C正确； 又， 其中为第一象限内的点，则为第四象限内的点， 则，所以，D错误. 故选：AC. 10. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. 数列是以4为公比的等比数列 D. 数列的前项和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由等比数列的性质求得判断A；设等比数列的公比为，由等比数列通项公式基本量运算求得和，即可求解通项公式判断B；由B选项可求得，然后利用等比数列定义判断C；利用等比数列求和公式计算判断D. 【详解】由等比数列的性质可知，又，， 所以，所以，A错误； 设等比数列的公比为，由，解得，则， 所以，B正确； 由上可知，，设，则， 所以数列是以4为公比的等比数列，C正确； 设数列的前项和为，则，D正确. 故选：BCD. 11. 设函数的定义域为，且，，，则（ ） A. B. C. 函数为偶函数 D. 函数在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，，结合利用已知法则求出判断A；取得，取，得，令得，进而求得，求出判断B；对于C，求得，即可判断奇偶性；对于D，求出，即可判断单调性. 【详解】令，，则， 即，解得，A正确； 取得，，所以， 取，，则，所以， 令，则，所以，即， 故，则， B正确； 为奇函数，C错误； 为上增函数，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，代入点斜式直线方程求解即可. 【详解】记，则，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为： 13. 已知圆柱的底面直径与球的半径均为2，且圆柱的侧面积与球的表面积相等，则圆柱的母线长为______. 【答案】8 【解析】 【分析】设圆柱的母线长为，根据圆柱的侧面积公式和球的表面积公式列方程求解即可. 【详解】设圆柱的母线长为，则圆柱的侧面积为， 易知球的表面积为，所以，解得. 故答案为：8 14. 已知函数仅存在一个极值点和两个零点在区间内，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】设为的最小正周期，则由得，由得，由得，结合求得和的范围，根据余弦函数性质列不等式组求解即可. 【详解】设为的最小正周期，由题意可知，，即，解得， 由得，，，由得，， 又，所以，， 由余弦函数的图象可知，两个相邻零点之间必有一条对称轴，即存在一个极值点. 由题意或， 解得或， 故实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列通项公式和求和公式列方程组求得，，即可求解通项公式； （2）由（1）得，所以，利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由题意可知， 解得，，故； 【小问2详解】 由（1）得，所以， 数列的前项和为. 16. 某药厂质监部门随机从甲、乙生产线生产的同一种药品中分别抽取50个样本进行检测，根据检测指标，将这种药品分为“一级品”和“二级品”两个级别，统计结果如下表： 级别 生产线 合计 甲 乙 一级品 35 30 65 二级品 15 20 35 合计 50 50 100 （1）根据小概率值的独立性检验，分析这种药品的级别是否与生产线有关？ （2）视频率为概率，现将甲、乙生产线生产的这种药品件数按3：4的比例混放一起，从混合药品中随机抽取一件药品，若取到的药品是二级品，求它是取自乙生产线的产品的概率. 附：，其中. 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）无关 （2） 【解析】 【分析】（1）利用数表中数据求出，再与临界值比对得解； （2）根据全概率公式和贝叶斯公式求解概率即可. 【小问1详解】 零假设为：这种药品的级别与生产线无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为这种药品的级别与生产线无关 【小问2详解】 设“任取一件药品为二级品”，“药品为甲生产线生产”，“药品为乙生产线生产”， 由题意可知，，，，， 由全概率公式得，； 所以. 17. 如图，在三棱锥中，底面是正三角形，，侧面底面分别为的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形三线合一证明线线垂直，再证明平面，由此得线线垂直； （2）建立平面直角坐标系，利用法向量方法求直线与平面所成角； （3）利用法向量方法求二面角的平面角. 【小问1详解】 取的中点，连接． ． 又平面，平面，， 则平面，平面， ； 【小问2详解】 平面平面，平面平面， 又平面，, 平面，又. 在中，. 在等边中，. 如图所示，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 由分别为的中点，则， 所以． 设平面的法向量为， 则， 今，则， 故为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 由（2）可知为平面的一个法向量， 而为平面的一个法向量． 设二面角的大小为，又二面角是锐角， ， 二面角的余弦值等于 18. 已知椭圆的长轴长为短轴长的倍，焦距为4. （1）求椭圆的方程； （2）若坐标原点为，平行四边形的四个顶点，，，均在椭圆上，且圆内切于四边形. （i）证明：四边形为菱形； （ii）求四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明：当直线的斜率不存在或为零时，圆内切于正方形， 四个顶点为，显然满足椭圆的方程，符合题意， 此时四边形为菱形； 当直线的斜率存在且不为零时，设其方程为，，， 由得， 则， ，， 所以， 因为圆内切于平行四边形，所以到直线的距离为， 则，整理得， 所以， 则，此时平行四边形为菱形. 综上可知，四边形为菱形. （ii） 【解析】 【分析】（1）由长轴长为短轴长的倍得，由焦距为4得，进而，求得，，即可得解； （2）（i）当直线的斜率不存在或为零时，四边形为正方形，符合题意；当直线的斜率存在且不为零时，设其方程为，与椭圆方程联立韦达定理，根据圆内切于四边形求得，结合韦达定理，利用数量积坐标运算得，则，此时平行四边形为菱形，即可证明. （ii）当四边形为正方形时，；当四边形不为正方形，而为菱形时，先求出，再代入面积公式得，令，根据二次函数性质求得的最大值，对比即可求解菱形的面积最大值. 【小问1详解】 由题意可知，，则， 又，则，所以，解得，， 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）知，当四边形为正方形时，； 当四边形不为正方形，而为菱形时， 因为， 所以的面积为， 令，则，， 所以， 当，即时，取得最大值. 因为菱形的面积等于，所以菱形的面积的最大值为， 因为，所以菱形的面积最大为. 19. 已知函数. （1）当时，求的最大值； （2）当时，证明：； （3）若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，进而判断函数的单调性，即可求解最值； （2）由（1）可知，，则，，令，利用导函数研究单调性，则有，即，即可证明； （3）设，则在上恒成立，由得，，转化为证明当时，在上恒成立，令，分和两种情况，利用导数研究其单调性，求解最值即可证明. 【小问1详解】 当时，的定义域为，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，故的最大值为； 【小问2详解】 由（1）可知，，即，所以，， 令，则， 设，则，所以在上单调递增， 则，即，所以在上单调递增， 因此，即，所以，， 则，，故时，； 【小问3详解】 ，不等式恒成立， 设， 则在上恒成立，由得，， 下面证明当时，在上恒成立. 当时，， 令，则， 当时，，则， 所以在上单调递增，所以，所以在上单调递减； 所以成立，即在上恒成立， 当时，因为，， 所以，所以在上单调递增， 则，即在上恒成立； 综上可知，若，不等式恒成立， 则实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校联考联合体2026届高三第一次联考 （暨人学检测） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设为虚数单位，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5 3. 如图，在矩形中，为中点，那么向量=（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知某一随机变量X的概率分布如下，且E（X）=6.9，则a的值为 X 4 a 9 P m 0.2 0.5 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 若双曲线与关于直线对称，且的离心率与的离心率之积为常数），则称与互为型双曲线.已知双曲线，则的3型双曲线的渐近线为（ ） A. B. C. D. 7. 记的内角，，的对边分别为，，，若，，且边上的高为1，则（ ） A. B. 1 C. D. 8. 已知函数，设，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设抛物线的焦点为，若直线与交于，两点，其中为第一象限内的点，与的准线交于点，则（ ） A. B. C. D. 10. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. 数列是以4为公比的等比数列 D. 数列的前项和为 11. 设函数的定义域为，且，，，则（ ） A. B. C. 函数为偶函数 D. 函数在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为______. 13. 已知圆柱的底面直径与球的半径均为2，且圆柱的侧面积与球的表面积相等，则圆柱的母线长为______. 14. 已知函数仅存在一个极值点和两个零点在区间内，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 某药厂质监部门随机从甲、乙生产线生产的同一种药品中分别抽取50个样本进行检测，根据检测指标，将这种药品分为“一级品”和“二级品”两个级别，统计结果如下表： 级别 生产线 合计 甲 乙 一级品 35 30 65 二级品 15 20 35 合计 50 50 100 （1）根据小概率值的独立性检验，分析这种药品的级别是否与生产线有关？ （2）视频率为概率，现将甲、乙生产线生产的这种药品件数按3：4的比例混放一起，从混合药品中随机抽取一件药品，若取到的药品是二级品，求它是取自乙生产线的产品的概率. 附：，其中. 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 17. 如图，在三棱锥中，底面是正三角形，，侧面底面分别为的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值． 18. 已知椭圆的长轴长为短轴长的倍，焦距为4. （1）求椭圆的方程； （2）若坐标原点为，平行四边形的四个顶点，，，均在椭圆上，且圆内切于四边形. （i）证明：四边形为菱形； （ii）求四边形面积的最大值. 19. 已知函数. （1）当时，求的最大值； （2）当时，证明：； （3）若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $