山东省潍坊市临朐县实验中学2025-2026学年高三上学期开学检测数学试题

试卷第 1页，共 4页 高三数学收心检测 一、单选题 1．复数 3 2iz   的虚部是（ ） A．2 B． 2i C． 2 D． 2i 2．已知全集  0,1,2,3,4,5,6,7,8U  ，集合  1,2,4A  ，集合  0,3,5, 6B  ，则  UA Bð 等于（ ） A． 4 B． 7,8 C． 3,5,6 D． 3,5,6,0 3．命题“ x R ， 32025e 0x x  ”的否定是（ ） A． x R ， 32025e 0x x  B． x R， 32025e 0x x  C． x R ， 32025e 0x x  D． x R ， 32025e 0x x  4．已知随机变量  16,B p  ，则“   3D   ”是“ 1 4 p  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．当 a>2时，函数 xy a 和   21y a x  的图象只能是 A． B． C． D． 6．已知定义在R 上的函数  f x 满足    3f x f x   ，     2g x f x  为奇函数，则  198f  （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知等差数列 na 的前 n项和为 nS ， 3 8 13 120a a a    ， 7 55 7 70S S  ，若 1k kS S  ，则 k  （ ） A．27 B．28 C．54 D．55 8．小张和小王两个小朋友玩游戏，已知小张手中有 3张黑色牌和 3张红色牌，小王手中有 3张黑色 牌和 2张红色牌，游戏规则：两位小朋友同时出示一张牌，若两张牌同色，则小张胜，小张获得这两 张牌，若两张牌异色，则小王胜，小王获得这两张牌，按上述玩法进行两次后，小王手中有 7张牌的 试卷第 2页，共 4页 概率为（ ） A． 23 100 B． 77 100 C． 23 300 D． 77 300 二、多选题 9．如图，已知正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为2,E F､ 分别为棱 1 1 1BC B B､ 的中点，则下列结论正 确的为（ ） A． 1 2AD EF   B． 1 1 0B D AC    C． 2DF   D．DF  不是平面 1ACD 的一个法向量 10．下列结论中，正确的结论有（ ） A．如果 0a  ， 0b  ，且 1 1 1 a b   ，那么 a b 的最小值为 4 B．如果 10 2 x  ，那么  4 3x x 取得最大值为 4 3 C．函数   2 2 5 4 xf x x    的最小值为 2 D．如果 0x  ， 0y  ， 3 9x y xy   ，那么 3x y 的最小值为 6 11．下列命题为真命题的是（ ） A．若 2sin 2 3   ，则 2 1cos 4 6       B．函数   2sin 2 3 f x x       的图象向右平移 6  个单位长度得到函数   2sin 2 6 g x x       的 图象 C．函数   2sin cos cos 2 6 f x x x x        的单调递增区间为  , 3 6 k k k Z         D．   2 2 tan 1 tan xf x x   的最小正周期为 2  试卷第 3页，共 4页 三、填空题 12．若函数    36 2 1f x x f x  ，则  1f   ． 13．单调递增的等比数列 na 的前 n项和为 nS ，若 4 2 12S S  ， 2 5 32a a  ，则 5S  . 14．一只蚂蚁在四面体上从一个顶点等可能地爬向其余顶点，若其爬 X次后的位置是出发点（可以继 续爬），则当  X n n  N 时，  E X  （用 n表示）. 四、解答题 15．现有 8款不同的高难度智力扣，每名学生随机抽取 3款进行破解．已知甲学生只能破解其中的 4 款，设甲学生抽到能破解的智力扣的数量为 X ． (1)求  2P X  ； (2)求 X 的分布列与数学期望． 16．设数列 na 的前 n项和 nS ，满足  *12 2,n nS S n n n N   ，且 1 1a  ． （1）求证：数列 1na  是等比数列； （2）若  1n nb n a  ，求数列 nb 的前 n项和 nT ． 17．设函数  f x 的定义域是 (0, ) ，且对任意的正实数 ,x y都有 ( ) ( ) ( )f xy f x f y  恒成立，已 知 (2) 1f  ，且 1x  时， ( ) 0f x  ． （1）求 1 2 f      的值； （2）判断 ( )y f x 在 (0, ) 上的单调性，并给出你的证明； （3）解不等式 2( ) (8 6) 1f x f x   ． 试卷第 4页，共 4页 18．已知数列 na 为非零数列，设 1n n n ab a   ， nT 是数列 nb 的前 n项之积，且满足  1 22 n n nT   ． (1)求数列 na 的通项公式； (2)已知数列 nc 满足 1 1c  ，且当 2n  时，   1 1 1 11 1 3 n n n c n n a             ，对于 *Nn  均有 n kc c 恒成立，求满足条件的正整数 k． 19．已知函数   22 e xaf x x  ， 0a  . (1)讨论函数  f x 的单调性； (2)若  ln lnx xf x a  恒成立，求实数 a的取值范围. 答案第 1页，共 8页 《高三数学收心检测》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D B B B C A D BD AD AC 1．C【详解】由复数的定义可知复数 3 2iz   的虚部为 2 .故选：C. 2．D【详解】全集  0,1,2,3,4,5,6,7,8U  ，而  1,2,4A  ， 则  0,3,5,6,7,8U A ð ，又  0,3,5, 6B  ，所以    3,5,6,0U A B ð ．故选：D． 3．B【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 所以命题的否定为“ x R， 32025e 0x x  ”．故选：B． 4．B【详解】由  16,B p  ，得    16 1 3D p p    ，解得 1 4 p  或 3 4 ， 故“   3D   ”是“ 1 4 p  ”的必要不充分条件．故选：B. 5．B 6．C 【详解】因为    3f x f x   ，所以      6 3f x f x f x     ，所以  f x 的周期为 6， 又     2g x f x  为奇函数，所以    2 2 0f x f x     ，所以     4f x f x   ， 令 0x  ，得  2 0 4f  ，所以  0 2f  , 所以      198 0 6 33 0 2f f f     ，故选：C. 7．A【详解】设数列 na 的公差为 d， 数列 na 是等差数列， 3 8 13 83 120a a a a      ，解得 8 40a   ，即 1 7 40a d   ，① 7 55 7 70S S  ， 1 1 7 6 5 45 7 7 5 70 2 2 a d a d                ，解得 2d ， 代入①中得， 1 54a   ， 1k kS S  ， 1k k kS S a    ，即 1 0ka   ， 1 0a kd   ，即 54 2 0k   ，解得 27k  .故选：A. 8．D【详解】进行两次后，小王手中有 7张牌意味着小王这两次都赢了， 第一次总事件数为6 5 30  种，小王赢的事件数是3 2 3 3 15    种， 答案第 2页，共 8页 则第一次小王赢的概率是 15 1 30 2  ， 第一次赢之后小张有 5张牌，第一种情况是有 2张黑色牌，3张红色牌， 小王有 4张黑色牌，有 2张红色牌， 第二次总事件数为5 6 30  种，小王赢的事件数是 2 2 3 4 16    种， 则第二次小王赢的概率是 16 8 30 15  ： 第二种情况是有 3张黑色牌，2张红色牌，小王有 3张黑色牌，有 3张红色牌， 第二次总事件数为5 6 30  种，小王赢的事件数是3 3 2 3 15    种， 则第二次小王赢的概率是 15 1 30 2  ： 出现第一种情况是第一次小王出红色牌，概率是 2 5 ， 出现第二种情况是第一次小王出黑色牌，概率是 3 5 ， 则两次均赢的概率为： 1 2 8 3 1 77 2 5 15 5 2 300          . 故小王手中有 7张牌的概率为 77 300 .故选：D. 9．BD【详解】由 1 1 1 1ABCD ABC D 为正方体， 以点D为坐标原点， 1DA DC DD､ ､ 所在直线分别为 x y z､ ､ 轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则            1 12,0,0 2,2,0 0,2,0 0,0,0 2,0,2 2,2,2A B C D A B､ ､ ､ ､ ､ ､        1 10,2,2 0,0,2 1,2,2 2,2,1C D E F､ ､ ､ . 对于A选项，    1 2,0,2 , 1,0, 1AD EF      ，则 1 2AD EF    ，故A错误； 答案第 3页，共 8页 对于B选项，    1 1 2, 2,0 , 2,2,0B D AC       ，则 1 1 4 4 0B D AC      ，故B正确； 对于C选项，  2,2,1DF   ，故 2 2 22 2 1 3DF      ，故C错误； 对于D选项， 1 4 2 0DF AD       ，故DF  不是平面 1ACD 的一个法向量，故D正确. 10．AD【详解】对于选项 A，如果 0a  ， 0b  ，且 1 1 1 a b   ， 那么  1 1 1 1 4a a b ab b b b a a             ， 当且仅当 b a a b  且 1 1 1 a b   ，即 2a b  时取等号，故选项 A正确； 对于选项 B， 如果 10 2 x  ，那么4 3 0x  ，则       231 13 3 3 4 3 4 3 4 2 3 x x x x x x             ， 即   3 4 43x x  ，当且仅当3 4 3x x  ，即 2 3 x  时取等号， 因为 10 2 x  ，所以不能取得最小值 4 3 ，故选项 B错误； 对于选项 C，函数   2 2 2 2 5 14 2 4 4 xf x x x x         ， 当且仅当 2 4 1x   时取等号，此时 x无解，不能取得最小值 2，故选项 C错误； 对于选项 D，如果 0x  ， 0y  ， 3 9x y xy   ， 则 21 39 3 3 3 2 x yx y xy x y            整理得    23 12 3 108 0x y x y     ， 所以 3 6x y  或 3 18x y   （舍去），当且仅当 1, 3y x  时取得最小值，故选项 D正确. 11．AC【详解】对于 A， 2 1 cos 2 1 sin 2 12cos 4 2 2 6                  ，A正确； 对于 B，  f x 向右平移 6  个单位长度得： 2sin 2 6 f x x      ，即 ( ) 2sin 2g x x= ，B错误； 对于 C，   3 1 3 3sin 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 3 sin 2 2 2 2 2 6 f x x x x x x x            ， 答案第 4页，共 8页 则由 2 2 2 2 6 2 k x k         ， Zk 得： 3 6 k x k       ， Zk ， ( )f x\ 的单调递增区间为  ,3 6k k k Z          ，C正确； 对于 D，   π0 0 2 f f       ， 无意义， 2  不是函数的周期，D错误.故选：AC. 12．6【详解】    218 2 1f x x f   ，则    1 18 2 1f f   ，解得  1 6f   . 13．31【详解】数列为等比数列，所以 4 2 3 4 12S S a a    ， 2 5 3 4 32a a a a  ， 因为 na 单调递增，所以 3 4a  ， 4 8a  ， 设公比为 q, 24 1 1 3 2 4, 1a q a q a a     ， ,则     5 1 5 1 1 1 32 31 1 1 2 a q S q         . 14．  1 12 9 1 9 8 64 3 64 nn n n         【详解】设其爬 k次后的位置是出发点的概率为   , NP X k k  ， 爬 1X k  次后的位置是出发点可以认为是从 X k 次后的位置不是出发点，再从该点爬向出发点， 由题意可得：  0 1P X   ，    11 1 3 P X k P X k      ， 则    1 1 11 4 3 4 P X k P X k          ， 即数列   1 4 P X k      是以首项为   1 30 4 4 P X    ，公比为 1 3  的等比数列， ∴   1 3 1 4 4 3 k P X k         ，即   1 3 1 , N 4 4 3 k P X k k         ， 故     0 0 0 0 3 1 1 3 1 4 4 3 4 4 3 k kn n n n k k k k kE X kP X k k k k                               ， ∵     0 1 11 1 4 4 2 8 n k n n n n k       ， 对于 1 2 0 1 1 1 10 1 1 2 ... 3 3 3 3 k nn k k n                                     ， 答案第 5页，共 8页 2 3 1 0 1 1 1 1 1 10 1 2 ... 3 3 3 3 3 3 k nn k k n                                              ， 则可得： 1 2 1 1 0 1 11 3 34 1 1 1 1 1 1... 13 3 3 3 3 3 31 3 n k n n nn k k n n                                                                  11 1 1 4 3 1 11 4 3 3 12 3 4 n n nnn                               ， ∴ 0 1 4 3 1 3 3 16 3 16 k nn k nk                 ， 故    1 12 9 1 9 8 64 3 64 nn n nE X           . 15．【详解】（1）根据题意可得   1 2 4 4 3 8 C C 32 C 7 P X    ，   3 4 3 8 C 13 C 14 P X    ， 所以       3 1 12 2 3 7 14 2 P X P X P X        ． （2）由题意知 X 所有可能的取值为0,1,2,3．     3 2 1 4 4 4 3 3 8 8 C C C1 30 ; 1 C 14 C 7 P X P X      ． 由（1）得    3 12 , 3 7 14 P X P X    ，所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 14 3 7 3 7 1 14   1 3 3 1 30 1 2 3 14 7 7 14 2 E X          ． 16．【详解】（1）因为 12n nS S n  ， 1 2 1n nS S n    ， 两式相减，得 1 2 1( 2)n na a n    ． 又 1 2 12 2a a a   ，且 1 1a  ，解得 2 3a  ， 2 12 1a a   ， 答案第 6页，共 8页  *1 2 1n na a n   N ．  1 1 2 1n na a    ．又 1 1 2 0a    ， 数列 1na  是首项为 2，公比为 2的等比数列． （2）由（1）知， 1 2nna   ， 2 1 n na   ， 则 2 n nb n  2 32 2 2 3 2 2nnT n         ①． 2 3 4 12 2 2 2 3 2 2nnT n         ② 由①-②，得 2 3 12 2 2 2 2n nnT n           1 1 12 1 2 2 2 2 2 1 2 n n n nn n            ， 故 1( 1) 2 2nnT n     ． 17．【详解】（1）由题意，函数  f x 对任意的正实数 x，y都有 ( ) ( ) ( )f xy f x f y  恒成立， 令 1x y  ，可得 (1) (1) (1)f f f  ，所以  1 0f  ， 令 12, 2 x y  ，可得 1(1) (2) ( ) 2 f f f  ，即 11 ( ) 0 2 f  ，解得 1( ) 1 2 f   . （2）函数  f x 为增函数，证明如下： 设 1 2, (0, )x x   且 1 2x x ， 令 2 1 1 , xx x y x   ，根据题意，可得 21 2 1 ( ) ( ) ( )xf x f f x x   ，即 22 1 1 ( ) ( ) ( )xf x f x f x   ， 又由 1x  时， ( ) 0f x  ， 因为 2 1 1x x  ，可得 2 1 ( ) 0xf x  ，即 2 1( ) ( ) 0f x f x  ，即 2 1( ) ( )f x f x ， 所以函数 ( )y f x 在 (0, ) 上的单调性. （3）由题意和（1）可得 1 1(8 6) 1 (8 6) ( ) [ (8 6)] (4 3) 2 2 f x f x f f x f x         ， 又由不等式 2( ) (8 6) 1f x f x   ，即 2( ) (4 3)f x f x  ， 可得 2 4 3 4 3 0 x x x       ，解得 3 1 4 x  或 3x  ， 即不等式 2( ) (8 6) 1f x f x   的解集为 3{ | 1 4 x x  或 3}x  . 答案第 7页，共 8页 18．【详解】（1）由题意得：  1 2 1 2 1 2 1 1 11 1 1 2 n n n n n T bb b a a a                     当 1n  时， 1 11 2 a   ，解得 1 1a  ． 当 2n  时，由  1 2 1 2 1 1 11 1 1 2 n n na a a                  得：  1 2 1 2 1 1 1 11 1 1 2 n n na a a                    两式相除得： 11 2n na   ，即 1 2 1n n a   当 1n  时， 1 1a  也满足上式，所以 1 2 1n n a   （2）由（1）可知， 11 2n na   ， 故当 2n  时，     1 1 1 1 1 21 1 1 3 3 n n n n c n n n n a                      当 3k  时，由 1 1 k k k k c c c c      ，得          1 2 1 2 21 1 3 3 2 21 1 1 3 3 k k k k k k k k k k k k                                        2 1 1 3 2 2 3 k k k k          ， 5 4 k k     解得4 5k  ，且 *Nn ，所以 4k  或 5k  又 1 1c  ， 2 22 3 4 3 c     ， 4 160 27 c  ，所以 1 2 4 5c c c c   故数列 nc 中最大项为 4c 和 5c ，即满足条件的正整数 k的值为 4和 5. 19．【详解】（1）因为   22 e xaf x x  ，所以     22 2 2 2 2 e 2 14 e 2 e xx x a xa x af x x x    . 当 0a  时，由   0f x  ，得 1 2 x  ，由   0f x  ，得 1 2 x  ，且 0x  ， 故  f x 的单调递增区间为 1 , 2      ，单调递减区间为  , 0 ， 10, 2       ； 答案第 8页，共 8页 当 0a  时，由   0f x  ，得 1 2 x  ，且 0x  ，由   0f x  ，得 1 2 x  ， 故  f x 的单调递增区间为  , 0 ， 10, 2       ，单调递减区间为 1 , 2      . 综上，当 0a  时，  f x 的单调递增区间为 1 , 2      ，单调递减区间为  , 0 ， 10, 2       ； 当 0a  时，  f x 的单调递增区间为  , 0 ， 10, 2       ，单调递减区间为 1 , 2      . （2）易知 0x  ， 0a  . 由  ln lnx xf x a  ，可得 2 ln ln ln2 e x xx a a a    ， 所以 22 e lnx x xx a a  恒成立，即 ln22 e e ln x x a xx a  恒成立. 设   exu x x ，  0x  ，则    1 e 0xu x x    ，所以  u x 在  0,  上单调递增. 当 0x  时，   0u x  ，所以 ln22 e e ln x x a xx a  恒成立等价于2 ln xx a ≥ 恒成立， 即 2e x x a ≥ 对  0,x  恒成立. 设   2e x xv x  ， 0x  ，   2 1 2 e x xv x   . 当 10, 2 x      时，   0v x  ；当 1 , 2 x       时，   0v x  . 所以  v x 在 10, 2       上单调递增，在 1 , 2      上单调递减， 所以  max 1 1 2 2e v x v      ，所以 1 2e a  ，即 a的取值范围是 1 , 2e    . 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15.（续） 16.（15 分） 17．(15 分)高三学情检测数学答题卡 姓名： 班级： 1、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 6、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 11、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 2、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 7、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 3、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 8、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 4、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 9、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 5、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 10、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 填空题 12 13 14 15.（13 分） 注意事项： 1、 考生答题前，在规定的地方准确 填写考号和姓名。 2、 选择题作答时，须用 2B铅笔填 涂，如对答案进行修改，用橡皮 轻擦干净，注意不要擦破答题 卷。 3、 在答题卷对应题号指定的答题 区域内答题，切不可超出黑色边 框，超出黑色边框的答案无效。 粘贴条码处 高三数学答题卡 第 1 页 （共 2 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 选择题（请用 2B铅笔填涂） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19（17 分）18.（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 高三数学 答题卡 第 2 页 （共 2页）