第1章 勾股定理 单元测试题 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2025-2026学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列各组数中，属于勾股数的是（   ） A．3，4，6 B．9，12，15 C．，1 D．，， 2．在中，，，的对边分别为，，．若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知一直角三角形的三边的平方和为200，则斜边长为（   ） A．20 B．15 C．10 D．400 4．在中，，，高，则的面积为（　　） A．66 B．126 C．55或44 D．126或66 5．图中数字表示对应正方形的面积，则图中正方形中边长为的是（   ） A．    B．    C．    D． 6．如图，在中，，，，点D是和的角平分线的交点，且于E，则的长度为（ ）． A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 8．钟摆实验中，钟摆摆锤可看作一个点．如图，当摆锤静止时，它在点处，当摆锤摆动到最高位置点时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置的水平距离，若，则钟摆的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．在中，，，则斜边的长为 ． 10．如图，在中，平分，交于点D，，，，则点D到的距离为 ． 11．如图，在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只猴子爬到树顶处后直扑向池塘处（假设其下落的轨迹为直线）．如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树高 m． 12．如图所示，在直角中，，，，边上的垂直平分线交边于点E，交边于点D，连接，则的周长为 ． 13．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为 14．如图，在中，AB的垂直平分线交BC边于点D，交AB于点F，AC的垂直平分线交BC边于点E，交AC于点G，连接AD、AE若，，则的长为 ． 15．某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走4，遇到障碍后又往东走6，再转向北走8后往西拐，走了2就到达点，则、两点之间的距离为 ． 16．如图，一只蚂蚁想从圆柱形水桶外侧的A点爬到内侧的B点寻找食物．已知A点到桶口的距离厘米，B点到桶口的距离厘米，圆弧长15厘米．蚂蚁爬行的最短路程是 厘米． 三、解答题（满分72分） 17．如图，某学校（点）到公路（直线）的距离为300米，到公交站（点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（点），使之到学校及到车站的距离相等，求商店与车站之间的距离． 18．为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居环境，某市积极开展“市容环境卫生整治行动•植绿种树”活动．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地（如图）进行绿化，经测量，米，米，米，米，求空地的面积． 19．在中，已知三角形的三边长，求这个三角形的面积． (1)如图1，已知，则的面积是_________； (2)如图2，已知，求的面积； 20．如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． (1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ (2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 21．古代护城河上有座吊桥，图①是它的结构原理图，图②是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端A相连，且，人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面的距离为（绳子一直是直的） (1)若，，求从定滑轮C到D点的绳长； (2)若的长为，比BC长，求桥面的宽 22．小明在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．他进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米．若小明牵线放风筝手到地面的距离为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米线？ 23．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到定滑轮A的垂直距离是，．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求的长； (2)如图2，若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离． 24．在中，，点M为边的中点，点D在边上． (1)若（如图①），求的长； (2)过点M作与边交于点E（如图②），试探究：线段三者之间的数量关系，并证明你的结论． 参考答案 1．解：A、，不满足勾股定理，故本选项不符合题意； B、，满足勾股定理且均为正整数，故本选项符合题意； C、，1，含小数，非正整数，故本选项不符合题意； D、，，，含分数，非正整数，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．D 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． 在直角三角形中，若某角的对边为斜边，则该角为直角，根据题目给出的等式，结合勾股定理判断直角的位置． 【详解】∵ ， ∴， ∴在中，三角形的斜边为，， A：，代入可得：不成立，故A错误； B：，代入可得：不成立，故B错误； C：，，则不成立，故C错误； D：，说法成立，故D正确； 故选：D． 3．C 【分析】设出直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，利用勾股定理得，再由三边的平方和为200，得，根据两式即可求出斜边的长． 【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴（舍去负值） 故选：C． 4．D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、三角形的面积公式等知识点，把三角形分为高在三角形内部和外部的两种情况是解题的关键． 分高在三角形内部和外部的两种情况，分别利用勾股定理求出的长，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意知，分两种情况求解： ①如图1，在内部时 在中，由勾股定理得； 在中，由勾股定理得； ∴， ∴． ②如图2，在外部时， 在中，由勾股定理得； 在中，由勾股定理得； ∴， ∴． 综上所述，的面积为66或126． 故选D． 5．解：A、由图可知两个正方形面积分别为和，根据正方形面积等于边长的平方，设字母 所代表正方形的面积为．由勾股定理可得．那么所代表正方形的边长为．故本选项不符合题意； B、由图可知两个正方形面积分别为和，设字母所代表正方形的面积为．根据勾股定理，所代表正方形的边长为．故本选项不符合题意； C、由图可知两个正方形面积分别为和设字母所代表正方形的面积为．由勾股定理可得．因为，所以所代表正方形的边长为．故本选项符合题意； D、由图可知两个正方形面积分别为和，设字母所代表正方形的面积为．根据勾股定理，所代表正方形的边长为．故本选项不符合题意； 故选：C． 6．A解：如图：过点D作，，垂足分别为N，M，连接DA， ，，， ， 点D是、的角平分线的交点，且于E， ， ， ， ，即，解得：． 故选：A． 7．解：如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接， 由题意知：大树高为，小树高为， ∴，，， 在中， 答：小鸟至少飞行米， 故选：C． 8．解：根据题意可知，，，，， ∴， ∴ 在中，， ∴． 故选：C． 9． 【分析】本题考查的是利用勾股定理求边长的问题，根据勾股定理来进行解答即可． 【详解】解：∵中，，，为斜边， ∴ 故答案为：． 10．解：∵， ， ∴是直角三角形，且， 过点D作，垂足为E， ∵平分， ∴点到的距离， 故答案为：3． 11．解：设树高为，则， ∵，， ∴， ∵两只猴子所经过的路程相等， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴这颗树高． 故答案为：． 12．17 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．利用勾股定理求出，然后根据线段垂直平分线的性质得到，最后根据三角形的周长公式计算可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长为 ， ∴的周长为17． 故答案为：17． 13．6 【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理求出的值，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵将长方形折叠，使点与点重合， ∴， 设，则：， 在中，由题意，得：， 则：， 解得：， ∴， ∴的面积为； 故答案为：6． 14．5 【分析】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 由线段垂直平分线的性质推出，，得到，设，由勾股定理得到，求出，得到． 【详解】解：垂直平分，垂直平分， ，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：5． 15．15 【分析】本题考查勾股定理，作于点，由题意可知：，，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：作于点，如图， 由题意，可得：，， 在中，由勾股定理，得：； 故答案为：15． 16．39 【分析】本题考查的是最短线路问题的应用，需要用到勾股定理内容，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 依据题意结合图示可得：图形侧面展开找最短路线，从外侧到内侧，需要上翻，然后两点之间，线段最短，根据勾股定理计算出最短路程．（勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．） 【详解】解：过B作于E点，如图： 则厘米，厘米，（厘米） 在直角三角形中， 因为 所以厘米 所以蚂蚁爬行是最短路程是39厘米． 17．米 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，过点作于点，如图所示，在中，由勾股定理求出米，设米，则米，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案．根据题意，构造直角三角形，运用勾股定理求解是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 在中，，，，则由勾股定理可得米， 设米，则米， 在中，，，，，则由勾股定理可得，即， ，解得， 则商店与车站之间的距离为米． 18．空地的面积是234 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理及三角形面积等，熟练掌握以上知识是解题的关键．由勾股定理得，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形．且，然后由三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：连接， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ ． 答：空地的面积是． 19．(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用，等腰三角形的性质； （1）利用勾股定理证明，再求解面积即可； （2）如图，过作于，先证明，求解，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴的面积； （2）解：如图，过作于， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积为． 20．(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）由题意得，米，米，，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）由题意得，米，米，据此利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，米，米，， ∴米， 答：消防梯顶端B离地面的竖直高度为米； （2）解：由题意得，米，米， ∴米， ∴米， 答：底端A在水平方向滑动了米． 21．(1)定滑轮C到D点拉着的绳长为； (2)桥面的宽长为 【分析】本题考查勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理． （1）过点D作于F，在中，根据勾股定理即可求出； （2）先表示出的长，在中，根据勾股定理列出方程即可求桥面的宽 【详解】（1）过点D作于F， 由题意知：， ， ， 由题意可知：四边形是长方形， ， ， 在中， ， 定滑轮C到D点拉着的绳长为； （2）由（1）知， ， 比长， ， 在中， ， ， ， 桥面的宽长为 22．(1)风筝的垂直高度AD的长为米； (2)他应该再放出8米线． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）依题意，得，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：依题意，得，米， 在中，米，米， （米）， （米）， 答：风筝的垂直高度的长为米； （2）解：风筝沿方向再上升12米，则（米）， 由勾股定理得，（米）， （米）， 答：他应该再放出8米线． 23．(1)的长为； (2)滑块B向左滑动的距离为． 【分析】（1）设，则，利用勾股定理列出方程，求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，即可解决问题． 本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：，． 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：的长为； （2）如图2，，，， 故 由物体C升高，则此时， 在中，由勾股定理得：， ∴， 答：滑块B向左滑动的距离为． 24．(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理，解题关键在于正确作出辅助线，熟练掌握直角三角形的性质． （1）连接，求出，设，则.再根据勾股定理求解即可． （2）延长到F，使得，连接．证明，再根据勾股定理求解即可判断三者关系． 【详解】（1）解：连接， ∵，且点M为边的中点， ∴是线段的垂直平分线． ∴． 设，则， 在中，， ． 解得：，即 ． 在中，， 在中， ． （2）解：，理由如下： 如图②延长到F，使得，连接． ∵点M为的中点， ∴， 在和中． ∴ ∴． ∴． ∵ ． ∴． 在中，∵， ∴． 在中，． ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$