学易金卷：高一数学上学期第一次月考卷（上海专用）（提高卷）【测试范围：沪教版2020必修第一册第一章～第二章】

2025-2026学年高一数学上学期第一次月考提高卷全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第一册第一章~第二章。 5．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．用列举法表示《沁园春·长沙》前三句的意象所组成的集合 . 1．{寒秋，湘江，橘子洲}【分析】根据题意结合列举法即可得答案. 【详解】《沁园春·长沙》前三句为：“独立寒秋，湘江北去，橘子洲头”，故用列举法表示《沁园春·长沙》前三句的意象所组成的集合为寒秋，湘江，橘子洲.故答案为：寒秋，湘江，橘子洲. 2．已知集合，则集合M的非空真子集有 个． 2．6【分析】直接分类讨论即可求解集合M，从而得集合M的非空真子集个数． 【详解】由题意得：∵M＝{（x，y）|3x+4y﹣12＜0，x，y∈N，xy＞0}，当x＝1时，4y＜9，y＝1，2； 当x＝2时，4y＜6，y＝1；当x＝3时，4y＜3，y无解；∴M＝{（1，1），（1，2），（2，1）}， ∴M的非空真子集有{（1，1）}，{（1，2）}，{（2，1）}， {（1，1），（1，2）}，{（1，1），（2，1）}，{（1，2），（2，1）}共6个，故答案为：6． 3．若已知A∩{﹣1，0，1}＝{0，1}，且A∪{﹣2，0，2}＝{﹣2，0，1，2}，则满足上述条件的集合A 共有 个． 3．4【分析】利用交集和交集的性质，列举出满足条件的集合A，由此能求出结果． 【详解】∵A∩{﹣1，0，1}＝{0，1}，且A∪{﹣2，0，2}＝{﹣2，0，1，2}∴满足条件的集合A有： A＝{0，1}，A＝{﹣2，0，1}，A＝{0，1，2}，A＝{﹣2，0，1，2}∴满足上述条件的集合A共有4个． 答案为：4． 4．若集合{x|ax2+2x+1＝0}＝{b}，则b的值为 ． 4．或【分析】根据题意可得集合有且只有一个元素，再分和两种情况讨论求解． 【详解】根据题意，集合{x|ax2+2x+1＝0}＝{b}，则集合中只有一个元素，即 只有一个实数根，①当时，化为，解得， 此时集合{x|ax2+2x+1＝0}＝{x|x＝}，则b＝；②当时，，则a＝1， 此时集合{x|x2+2x+1＝0}＝{x|x＝}，故b＝；所以的值为或.故答案为：或． 5．已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R.若1∉A，2∈A，则实数a的取值范围为 ． 5．【分析】根据已知条件列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】因为1∉A，2∈A，所以，即.故答案为：. 6．若不等式的解集是，则的值为 . 6．-8【分析】根据二次不等式的解集，结合韦达定理，可求出a,b，即可求解 【详解】不等式的解集是，则，的两根为-2,6； 则根据韦达定理得，，所以.故答案为：-8 7．已知集合，，若，则实数m的值为 . 7．【分析】由题意可得，分、、分别求解即可. 【详解】因为，所以，所以当时，方程无解，所以； 当时，则有，解得；当时，则有，解得； 综上所述，实数m的值为.故答案为：. 8．已知对所有实数x恒成立，则等号成立时x的取值范围为 . 8．【分析】由 ，根据三角不等式等号成立的条件即可得出答案. 【详解】因为 ，由三角不等式，有 ， 当且仅当 即 时等号成立.故答案为： . 9．若表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是 . 9．4【分析】根据定义有或，分别确定出所在区域，然后可求得面积． 【详解】根据定义有或，，则，这是一个边长为的正方形， 面积为，同理，，也都形成一个边长为的正方形，面积都是， 所以.故答案为：. 10．设集合，且中任意两数之和不能被5整除， 则的最大值为 10．45【分析】将集合按照除以5的余数分为5个集合，中最多可以选择1个，和中只能选择一个集合中的元素，和中只能选择一个集合中的元素，得到答案. 【详解】将集合按照除以5的余数分为：，， ，，，有21个元素，有22个元素， 有22个元素，有21个元素，有21个元素，中最多可以选择1个，和中只能选择一个集合中的元素，最多22个，和中只能选择一个集合中的元素，最多22个，综上所述：中选择1个，和中的全部元素，共45个.故答案为：45.【点睛】本题考查了子集的元素个数问题，意在考查学生的综合 应用能力，其中将元素按照除以5的余数分类，再根据余数的可加性是解题的关键. 11．已知集合满足若且，则，小张同学迅速得出个结论： （1）；（2）集合不可能是单元素集； （3）当取遍可以取的所有数时，集合元素的个数一定是偶数，其中错误结论的序号为 . 11．（2）【分析】由集合的定义逐个判断即可.【详解】若，则不能作为分母，故， （1）正确；当时，，所以，故（2）错误；当时，， 所以集合一定包含，当取其他整数时，则其倒数必在集合中，所以当取遍可以取的所有数时，集合的元素一定为偶数，故（3）正确.故答案为：（2）. 12．已知数集A=()具有性质P：对任意的， 与两数中至少有一个属于A，当时，若，则集合A= . 12．【分析】推导出，．当时，有，，推导出，，，，是首项为1，公比为等比数列．由此能求出集合． 【详解】，，，具有性质，与中至少有一个属于，由于， ，故．从而，．，， ，3，4，，，故，3，4，，．由具有性质可知 ，3，4，，，又 ， ，，，， 从而， ； 当时，有，，即，，， ，由具有性质可知． 由，得，且， ， ， 即，，，，是首项为1，公比为等比数列．集合，2，4，8，．故答案为：． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．设不等式的解集为，不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 13．B【分析】根据集合的补集的含义求解即可. 【详解】因为不等式的解集为，不等式的解集为， 所以不等式的解集为，不等式的解集为 所以不等式的解集为.故选：B． 14．俗话说“不到长城非好汉”，这句话的意思是“到长城”是“好汉”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 14．B【分析】利用命题与逆否命题的关系判断.【详解】设为不到长城，推出为非好汉，即， 则，即好汉到长城，故“到长城”是“好汉”的必要不充分条件.故选：B． 15．已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合， 集合，给定下列四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 15．D【分析】运用元素和集合的关系判断即可.【详解】∵集合中，∴集合中所有的数都在点集中点的横坐标中，设点集中横坐标构成的数集为，点集中纵坐标构成的数集为， ∴；同理，∵集合中，∴；不妨设，若，则集合B中含有集合C中的所有元素，还可能含有其他元素， ∴不妨，集合B中所有数所对应的横坐标构成的点集合 ，∴，故B正确，A错误； 同理，若，则集合C中含有集合B中的所有元素，还可能含有其他元素， ∴关系不确定，即关系不确定，C、D错误.故选：B． 16．设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，. 现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集： ②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 16．A【分析】对于①，分类讨论、、、和五种情况分别求解 即可判断；对于②，分类讨论为整数和不为整数时原式是否成立，对于不为整数时，进一步分类讨论其小数部分即可.【详解】对于①：当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，；则符合题意， 不符合题意；综上，是单元素集，故①正确. 对于②：当为整数时，成立；当不为整数时，设 （为整数，），当时，，， 此时，成立；当时，，则， ，此时，成立； 当时，，， 此时，成立；综上，对于任意，成立，故②正确.故选：A. 2、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）已知a、b都是有理数，满足，请用反证法证明：. （2）已知、是一元二次方程的两个不同实数根，是否存在实数k， 使得成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 17．（1）证明见解析；（2）存在，. 【分析】（1）先假设a，b中至少有一个不为零，然后分和两种情况说明假设不成立， 即可证明；（2）利用韦达定理列方程求解即可. 【详解】（1）证明：假设a，b中至少有一个不为零， ①当a，b中有一个为零一个不为零时，不妨设，则矛盾舍； ②当时，矛盾舍，综上假设不成立，所以. （2）解：由题意可得，则， ，解得，符合， 所以存在使得成立. 18．（1）已知实数x、y满足，试比较与的值的大小； （2）已知集合，集合，证明：. 18．（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用作差法比较大小即可；（2）根据集合，的含义证明即可. 【详解】（1） ，所以，； （2） 任取，则存在，有，因为，则， 所以，因此.又，但，所以. 19．汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车. 某种算法将报警时间分为4段（如图所示），分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动 时间，相应的距离分别为，，，，当车速为v（单位：m/s），且时，通过大数据 统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且）.    阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 距离 （1） 请写出报警距离d（单位：m）与车速v（单位：m/s）之间的表达式；若汽车达到报警距离时人 和系统均不采取任何制动措施，仍以速度v行驶，求：当时，汽车撞上固定障碍物的最短时间t； （2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80m，则：车辆设计的最高速应小于多少km/h. 19．（1），最短时间为；（2）. 【分析】（1）根据，结合距离、速度、时间的关系，利用基本不等式进行求解即可； （2）由题意得到不等式，结合常变量分离法、一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】（1），当时，， 因此有，即，当且仅当时取等号， 即当时，汽车撞上固定障碍物的最短时间为； （2）当时，当时，满足题意，当时， 在时恒成立， 由，于是有， 而，于是有，综上所述：，而， 所以车辆设计的最高速应小于. 20．已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1) 试判断集合是否为集合的“期待子集”； （直接写出答案，不必说明理由） (2) 如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数； 那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集， 证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 20．（1）是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集”；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据所给定义判断即可； （2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质的定义证明即可； 【详解】（1）因为，对于集合，令，解得，显然，，，所以是集合的“期待子集”；对于集合，令，则， 因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集” （3） 先证明必要性：当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的， 使得，不妨设，令，，，则， 即条件中的①成立；又，所以， 即条件中的②成立；因为， 所以为偶数，即条件中的③成立；所以集合满足条件. 再证明充分性：当集合满足条件时，有存在，满足①，②， ③为偶数，记，，，由③得，由①得，由②得，所以，因为，，，所以，，均属于，即集合是集合的“期待子集”.【点睛】涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 21．已知集合为非空数集，对于集合，定义对中任意两个不同元素相加得到一个绝对值，将这些 绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合的1次自相加集合”，再次进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的次自相加集合”，若集合的任意次自相加集合都不相等，则称集合为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“的1次 自相减集合”，集合的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为： . （1）已知有两个集合，集合，集合，判断集合和集合是否 是完美自相加集合并说明理由； （2）对（1）中的集合进行11次自相加操作后，求：集合的11次自相加集合的元素个数； （3）若且，集合，求：的最小值. 21．（1）是完美自相加集合，不是完美自相加集合，理由见解析；（2）2051；（3）675. 【分析】（1）利用自相加的概念找到一般规律计算即可；（2）连续的的正整数，自相加后，形成的新的 集合元素必然是连续的正整数，且得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和，得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，所以只需要计算进行十一次自相加后集合的最大值和最小值即可，计算元素个数；（3）由第二问的结论，我们很容易得到， 然后利用集合计算公式计算参数范围即可. 【详解】（1）是完美自相加集合，不是完美自相加集合理由如下：集合 ，由此可知集合自相加后，新的集合的元素中最小的元素为自相加之前的集合中的最小两个元素之和，所以显然集合的最小两个元素为，所以的最小元素为 对集合进行任意次自相加操作后，最小值在变大，故不可能有相等集合， 所以是完美自相加集合；集合表示所以奇数构成的集合，任何两个奇数相加 都是偶数，所以，为所有偶数构成集合；所以对再进行 一次自相加操作，所有偶数相加还是会是所有偶数， 故后面集合不管进行多少次相加都是与相同；故不是完美自相加集合； （2） 由自相加性质可知，对于集合，进行一次自相加，得到集合的最小值必然是原来 集合的两个最小元素值之和，得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，且中间必然是连续的整数元素；所以对集合进行一次自相加之后，得到的集合最小两个元素为， 最大的两个元素为；进行第二次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第三次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第四次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第五次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第六次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第七次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第八次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第九次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第十次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第十一次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 因为集合元素都是连续的整数，所以集合进行11次自相加操作后的元素个数为； （3）因为且，集合 所以 要使， 则=674，又因为，故的最小值为. 科网（北京）股份有限公司 / 学科网（北京）股份有限公司 $$数 学 第 1页（共 6页） 数 学 第 2页（共 6页） 数 学 第 3页（共 6页） 学科网（北京）股份有限公司 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 2025-2026学年高一上学期第一次月考 提高卷 数 学·答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、填空题（本大题共有 12题，满分 54分，第 1-6 题每题 4分，第 7-12 题每题 5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有 4题，满分 18分，第 13-14 题每题 4分，第 15-16 题每题 5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 三、解答题(本大题共有 5题，满分 78分，第 17-19题每题 14分，第 20、 21题每题 18分.) 17．（14分） 18．（14分） 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 数 学 第 4页（共 6页） 数 学 第 5页（共 6页） 数 学 第 6页（共 6页） 学科网（北京）股份有限公司 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 21．（18分） 2025-2026学年高一数学上学期第一次月考提高卷 （上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：沪教版2020必修第一册第一章~第二章。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．用列举法表示《沁园春·长沙》前三句的意象所组成的集合 . 2．已知集合，则集合M的非空真子集有 个． 3．若已知A∩{﹣1，0，1}＝{0，1}，且A∪{﹣2，0，2}＝{﹣2，0，1，2}，则满足上述条件的集合A 共有 个． 4． 若集合{x|ax2+2x+1＝0}＝{b}，则b的值为 ． 5．已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R.若1∉A，2∈A，则实数a的取值范围为 ． 6．若不等式的解集是，则的值为 . 7．已知集合，，若，则实数m的值为 . 8．已知对所有实数x恒成立，则等号成立时x的取值范围为 . 9．若表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是 . 10．设集合，且中任意两数之和不能被5整除， 则的最大值为 11．已知集合满足若且，则，小张同学迅速得出个结论： （1）；（2）集合不可能是单元素集； （3）当取遍可以取的所有数时，集合元素的个数一定是偶数，其中错误结论的序号为 . 12．已知数集A=()具有性质P：对任意的， 与两数中至少有一个属于A，当时，若，则集合A= . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个 正确选项) 13．设不等式的解集为，不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 14．俗话说“不到长城非好汉”，这句话的意思是“到长城”是“好汉”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 15．已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合， 集合，给定下列四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 16．设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，. 现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集： ②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）已知a、b都是有理数，满足，请用反证法证明：. （2）已知、是一元二次方程的两个不同实数根，是否存在实数k， 使得成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 18．（1）已知实数x、y满足，试比较与的值的大小； （2）已知集合，集合，证明：. 19．汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车. 某种算法将报警时间分为4段（如图所示），分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动 时间，相应的距离分别为，，，，当车速为v（单位：m/s），且时，通过大数据 统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且）.    阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 距离 （1） 请写出报警距离d（单位：m）与车速v（单位：m/s）之间的表达式；若汽车达到报警距离时人 和系统均不采取任何制动措施，仍以速度v行驶，求：当时，汽车撞上固定障碍物的最短时间t； （2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80m，则：车辆设计的最高速应小于多少km/h. 20． 已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个 互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1) 试判断集合是否为集合的“期待子集”； （直接写出答案，不必说明理由） (2) 如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数； 那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集， 证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 21． 已知集合为非空数集，对于集合，定义对中任意两个不同元素相加得到一个绝对值，将这些 绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合的1次自相加集合”，再次进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的次自相加集合”，若集合的任意次自相加集合都不相等，则称集合为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“的1次 自相减集合”，集合的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为： . （1）已知有两个集合，集合，集合，判断集合和集合是否 是完美自相加集合并说明理由； （2）对（1）中的集合进行11次自相加操作后，求：集合的11次自相加集合的元素个数； （3）若且，集合，求：的最小值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一上学期第一次月考提高卷 数学·答案及评分参考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第一册第一章~第二章。 5．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．{寒秋，湘江，橘子洲} 2．6 3．4 4．或 5． 6．-8 7． 8． 9．4 10．45 11．（2） 12. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．B 14．B 15．D 16.A 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 注：解答题给出步骤分值 16．（1）证明见解析；（2）存在，. 【分析】（1）先假设a，b中至少有一个不为零，然后分和两种情况说明假设不成立， 即可证明；（2）利用韦达定理列方程求解即可. 【详解】（1）证明：假设a，b中至少有一个不为零……2分， ①当a，b中有一个为零一个不为零时，不妨设，则矛盾舍……2分； ②当时，矛盾舍，综上假设不成立，所以. （2）解：由题意可得……2分，则……2分， ，解得，符合， 所以存在使得成立……2分. 18．（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用作差法比较大小即可；（2）根据集合，的含义证明即可. 【详解】（1） ……4分，所以，……2分； （2）任取，则存在……2分，有……2分，因为，则， 所以，因此.又，但，所以……2分. 19．（1），最短时间为；（2）. 【分析】（1）根据，结合距离、速度、时间的关系，利用基本不等式进行求解即可； （2）由题意得到不等式，结合常变量分离法、一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】（1）……2分， 当时，，因此有，即……2分， 当且仅当时取等号，即当时，汽车撞上固定障碍物的最短时间为； （2）当时，当时，满足题意……2分，当时， 在时恒成立……2分， 由， 于是有……2分， 而，于是有， 综上所述：，而……2分， 所以车辆设计的最高速应小于. 20．（1）是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集”；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据所给定义判断即可； （2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质的定义证明即可； 【详解】（1）因为，对于集合，令， 解得……2分，显然，，，所以是集合的“期待子集”……2分； 对于集合，令，则，……2分 因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集”……2分； （2）先证明必要性：当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的， 使得，不妨设，令，，，则， 即条件中的①成立；又，所以……2分， 即条件中的②成立；因为……2分， 所以为偶数，即条件中的③成立；所以集合满足条件； 再证明充分性：当集合满足条件时，有存在，满足①，②， ③为偶数，记，，，由③得，由①得，由②得……2分，所以，因为，，， 所以，，均属于，即集合是集合的“期待子集”……2分.【点睛】涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 21．（1）是完美自相加集合，不是完美自相加集合，理由见解析；（2）2051；（3）675. 【分析】（1）利用自相加的概念找到一般规律计算即可；（2）连续的的正整数，自相加后，形成的新的 集合元素必然是连续的正整数，且得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和，得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，所以只需要计算进行十一次自相加后集合的最大值和最小值即可，计算元素个数；（3）由第二问的结论，我们很容易得到， 然后利用集合计算公式计算参数范围即可. 【详解】（1）是完美自相加集合，不是完美自相加集合理由如下： 集合 ，由此可知集合自相加后，新的集合的元素中 最小的元素为自相加之前的集合中的最小两个元素之和，所以显然集合的最小两个元素为，所以的最小元素为 对集合进行任意次自相加操作后， 最小值在变大，故不可能有相等集合，所以是完美自相加集合……2分； 集合表示所以奇数构成的集合，任何两个奇数相加都是偶数， 所以，为所有偶数构成集合；所以对再进行一次自相加操作，所有偶数相加还是会是所有偶数，故后面集合不管进行多少次相加都是与相同； 故不是完美自相加集合……2分； （2） 由自相加性质可知，对于集合，进行一次自相加， 得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和，得到的最大值为原来集合的两个最大元素值 之和，且中间必然是连续的整数元素……2分； 所以对集合进行一次自相加之后，得到的集合最小两个元素为， 最大的两个元素为； 进行第二次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第三次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第四次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第五次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第六次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第七次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第八次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第九次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第十次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第十一次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 因为集合元素都是连续的整数， 所以集合进行11次自相加操作后的元素个数为； （3）因为且，集合 所以 要使，则=674，又因为，故的最小值为. 科网（北京）股份有限公司 / 学科网（北京）股份有限公司 $$2025-2026学年高一上学期第一次月考 提高卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页）1 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一上学期第一次月考提高卷 （上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：沪教版2020必修第一册第一章~第二章。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．用列举法表示《沁园春·长沙》前三句的意象所组成的集合 . 2．已知集合，则集合M的非空真子集有 个． 3．若已知A∩{﹣1，0，1}＝{0，1}，且A∪{﹣2，0，2}＝{﹣2，0，1，2}，则满足上述条件的集合A 共有 个． 4． 若集合{x|ax2+2x+1＝0}＝{b}，则b的值为 ． 5．已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R.若1∉A，2∈A，则实数a的取值范围为 ． 6．若不等式的解集是，则的值为 . 7．已知集合，，若，则实数m的值为 . 8．已知对所有实数x恒成立，则等号成立时x的取值范围为 . 9．若表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是 . 10．设集合，且中任意两数之和不能被5整除， 则的最大值为 11．已知集合满足若且，则，小张同学迅速得出个结论： （1）；（2）集合不可能是单元素集； （3）当取遍可以取的所有数时，集合元素的个数一定是偶数，其中错误结论的序号为 . 12．已知数集A=()具有性质P：对任意的， 与两数中至少有一个属于A，当时，若，则集合A= . 2、 选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个 正确选项) 13．设不等式的解集为，不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 14．俗话说“不到长城非好汉”，这句话的意思是“到长城”是“好汉”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 15．已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合， 集合，给定下列四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 16．设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，. 现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集： ②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）已知a、b都是有理数，满足，请用反证法证明：. （2）已知、是一元二次方程的两个不同实数根，是否存在实数k， 使得成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 18．（1）已知实数x、y满足，试比较与的值的大小； （2）已知集合，集合，证明：. 19．汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车. 某种算法将报警时间分为4段（如图所示），分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动 时间，相应的距离分别为，，，，当车速为v（单位：m/s），且时，通过大数据 统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且）.    阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 距离 （1） 请写出报警距离d（单位：m）与车速v（单位：m/s）之间的表达式；若汽车达到报警距离时人 和系统均不采取任何制动措施，仍以速度v行驶，求：当时，汽车撞上固定障碍物的最短时间t； （2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80m，则：车辆设计的最高速应小于多少km/h. 20． 已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个 互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1) 试判断集合是否为集合的“期待子集”； （直接写出答案，不必说明理由） (2) 如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数； 那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集， 证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 21． 已知集合为非空数集，对于集合，定义对中任意两个不同元素相加得到一个绝对值，将这些 绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合的1次自相加集合”，再次进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的次自相加集合”，若集合的任意次自相加集合都不相等，则称集合为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“的1次 自相减集合”，集合的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为： . （1）已知有两个集合，集合，集合，判断集合和集合是否 是完美自相加集合并说明理由； （2）对（1）中的集合进行11次自相加操作后，求：集合的11次自相加集合的元素个数； （3）若且，集合，求：的最小值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$