精品解析：上海市华东师范大学第二附属中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试题

华东师范二附中2025-2026学年第一学期高一年级数学月考 2026.1 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 设全集，集合，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的定义可求. 【详解】由题设有， 故答案为： 2. 不等式的解集为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由等价于，即可求解. 【详解】由，得， 解得， 所以不等式解集为， 故答案为： 3. 与角终边重合的角的集合是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据终边相同的角的定义求解. 【详解】由终边相同的角的定义得： 与角终边重合的角是， 所以与角终边重合的角的集合是. 故答案为： 【点睛】本题主要考查终边相同的角的定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 4. 已知扇形的圆心角为,面积为,则扇形的半径是________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式可以直接求解. 【详解】设扇形圆心角为,半径为,扇形的面积公式为： . 故答案为：2 【点睛】本题考查了扇形的面积公式的应用,考查了数学运算能力. 5. 已知，则____. 【答案】 【解析】 【分析】 利用对数与指数的互化以及指数的运算性质可求得的值. 【详解】，，因此，. 故答案为：. 6. 已知，，则等于________． 【答案】 【解析】 【分析】 利用同角三角函数的基本关系可求得的值，进而利用商数关系可求得的值. 【详解】，，因此，． 故答案为：． 7. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由诱导公式化简即可计算求解. 【详解】 所以. 故答案为： 8. 已知为偶函数，若，则负数______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据偶函数的性质，求得，将代入，整理得，解方程即可. 【详解】已知为偶函数，根据偶函数定义，， 则当时，，，而， 因此，当时，， 又，则，且，整理得， 设，，方程变为， 令函数， 因为函数在单调递增，函数在单调递增， 所以函数在单调递增，且， 所以方程有唯一解，即， 所以，即时，. 故答案为： 9. 已知方程的两根分别是，求的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可. 【详解】由可得：， ， 因为， 所以， 因此， 根据一元二次方程根与系数关系，得. 故答案为： 10. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】运用与的关系，结合角的范围以及立方差公式，即可得解. 【详解】由，得， 得， 故， 因为，所以， 又因为，所以， 所以， ， 故 . 故答案为：. 11. 现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出的报价，根据的报价低于的报价列式，分离参数，可得，再设，利用函数的单调性求其最小值，进而可得的取值范围. 【详解】若有窗墙体的长为米，则左右宽度为， 则A的报价为（元）， B给出的总价为元. 由 . 因为，所以函数在上单调递增， 且当时，， 故， 由，所以实数的取值范围是. 故答案为： 12. 已知函数的定义域为.若非空集合满足：对于任意，任意，均有，则称函数为伸缩增函数，其中表示不超过的最大整数.若函数在区间上为增函数是“函数为伸缩增函数”的必要条件，则的最小值______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意先说明符合题意，再说明不符合题意，即可求得的最小值. 【详解】我们首先说明：符合题意. 当时，我们证明：对于任意，均有， 令，则. 由题设知，即得证. 对于任意，取正整数使得，则. ， 即，故在上单调递增. 其次，我们说明不合题意. 令，我们以下证明是伸缩增函数. 对于任意，①若，则，故符合题意； ②若则故. ③若，则，故，符合题意. 综上所述，是伸缩增函数.但对于任意，在上均不是增函数，此时必要性不成立. 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，满分18分.第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. ，，，，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】ACD举反例；B选项由不等式的可加性可判断. 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确； 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误． 故选：B． 14. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A为单位圆上一点，以原点O为顶点，轴正半轴为始边，为终边的角为，且终边不在坐标轴上.若将绕点顺时针旋转至，则点的坐标为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由题意得为终边的角为，再由角的定义以及诱导公式即可求解点B. 【详解】由题可得为终边的角为， 又， 所以. 故选：C 15. 已知点在曲线P：上，若定点和点的连线线段中点在曲线上，则称N为这两个曲线的一个广义中点，请问广义中点有（ ）个. A. 无数 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先明确点与定点的中点坐标，根据点在曲线上，得到.构造函数，根据函数零点存在性判定定理，结合函数的单调性判断函数的零点个数即可. 【详解】设点N的坐标为，则线段的中点为， 由题意可知，点在曲线：上， 所以，即. 构造函数，其中，函数在上为增函数， 且，. 由零点存在性判定定理知函数存在唯一零点. 故选：C 16. 函数定义域为，若，且满足只要，均有，称为这个函数卓越点． 判断下列两个命题： 命题：若对任意，均有，则存在卓越点： 命题：若和任意一条平行于轴的直线都有无数个交点，则一定不存在卓越点． 则下列说法正确的是（ ） A. 命题正确，命题正确 B. 命题错误，命题正确 C. 命题正确，命题错误 D. 命题错误，命题错误 【答案】D 【解析】 【分析】卓越点的定义要求存在某个，使得对于任意 都有 ，即该点左右两侧函数值呈下降关系，命题中，由条件可推出函数值整体递增，与卓越点的下降特征矛盾，故命题不成立，命题中，即使函数与每条水平直线都有无穷个交点（值域振荡），仍可构造出在某点两侧满足左高右低的特例，因此该命题也不成立. 【详解】对于命题：若存在卓越点，不妨设为，取， 此时，即， 与卓越点要求的不等号方向相反，矛盾，错误. 对于命题：我们考虑到上的函数图象左右平移不影响交点个数，故可构造0为卓越点. 按照下面方法构造与正切函数相关的函数： 把正切函数的图象在轴左侧，轴下方的部分全部翻上去，在轴右侧，轴上方的部分翻下来， 最后函数进行简单微调，把左边的零点和无定义点函数值全部改成，右边无定义点函数值改成，零点不变， 这样子左边函数值都是正的，右边函数值非正，就是卓越点，错误. 故选： 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知集合，集合 （1）若集合，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出且，解方程，得到或，再检验得解； （2）由题得或或或，再分类讨论得解. 【小问1详解】 若集合，则且， 将代入方程可得， 解得：或； 当时，原方程可化为，解得：或， 此时，满足， 当时，原方程可化为，解得：或， 此时，满足， 所以或； 【小问2详解】 若，则，所以或或或； 当时，方程无解，所以， 解得：， 若，则方程有两个相等的实根， 所以此时无解， 若，则方程有两个相等的实根， 所以此时无解， 若，则方程有两个不相等的实根， 所以此时无解， 综上所述：实数的取值范围为. 18. 已知角是第三象限角，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据tanα，以及 sin2α+cos2α＝1，结合范围求得sinα、cosα的值； （2）利用诱导公式与同角的三角函数关系，把正弦、余弦的比值化为正切tanα，代入正切值即求得结果． 【详解】解：（1）tanα，sin2α+cos2α＝1， ∴或，而角是第三象限角，则， 故； （2） . ∵， ∴原式. 【点睛】方法点睛： 已知正切值化简求值时，通过整理式子使其分子分母弦的次数相同，通过同时除以同次的余弦，进行弦化切的转化，代入计算即可. 19. 已知. （1）是否存在实数，使得函数是奇函数？若存在，求实数的值，若不存在，请说明理由； （2）若且，解关于的不等式. 【答案】（1）不存在，理由见解析； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义可求解； （2）先根据对数函数的单调性和定义域列出不等式组；再结合且，分类讨论即可求解. 【小问1详解】 要使函数有意义，须满足，即， 显然，即，则函数的定义域. 当时，函数定义域不关于原点对称，此时函数不是奇函数； 当时，此时函数定义域关于原点对称，， 且， 因此函数是一个偶函数，不是奇函数. 综上所述，不存在实数，使得函数是奇函数. 【小问2详解】 由，得， 所以，故， 且，整理得. ①当时，， 此时不等式解得，即； ②当时，， 此时不等式解得，即. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 20. 已知函数，定义域为. （1）若，求； （2）若，且只有一个实数根，求的值； （3）是否存在实数，使函数在内具有单调性？若存在，求出的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件，即被开方数非负来确定即可； （2）先通过化简转化为关于新变量的方程，再结合函数的性质求解； （3）先对函数进行分段讨论，再根据函数单调性的定义来确定的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 因为，解得或， 所以函数的定义域为. 【小问2详解】 因为，即， 所以， 因为，所以，且，即， 当时，，则方程， 即，所以， 两边同时平方可得，即， 因为方程只有一个实数根， 所以一元二次方程在的条件下只有一个解， 因为， 因为方程只有一个解，所以，即，解得， 当 时，方程 变为， 整理得，解得 ，满足 ， 综上. 【小问3详解】 当时，，函数是由两个严格减函数之和， 所以在上此函数严格递减， 所以为了要在定义域内保持单调性一致，另一段也要严格递减. 当时， 因为在上严格递减，在上严格增，又函数在定义域内严格增， 所以由复合函数的性质可知此函数在上严格递减，上严格增， 此时需要满足，即，函数在上递减； 所以时，函数在内具有单调性. 21. 对于函数，定义，其中是包含在定义域中的非空区间. （1）若，求和 （2）设且，不是单元素集合，求的取值范围. （3）设函数在上是减函数，，且.若对任意，均存在，使. ①请写出函数的解析式并说明理由. ②判断当时，最多有几个交点，并给出此时的值（无需说明理由，只需给出答案） 【答案】（1），. （2） （3）①，理由见解析；②最多5个，此时 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性求解即可. （2）根据二次函数的性质及求出的范围，结合图象及不是单元素集合，得到关于的不等式，取交集即可. （3）①根据函数在上是减函数且，得到为单元素集合，根据等式，取特殊值，结合集合的性质求出，再分区间求出函数值，写出分段函数即可. ②作出函数图象，将等式问题转化为交点问题，判断交点个数即可. 【小问1详解】 . 该函数在上单调递减，在单调递增. 区间包含（最小值点），； 端点值，，， 因此. 时，单调递增，，， 因此. 【小问2详解】 作出函数的图象如下： 在上单调递增，在上单调递减， 因为，故，所以. 又，故交集至少1个元素， 所以若非单元素，必有，此时， 故，即，解得. 综上. 【小问3详解】 ①首先证明和是单元素集. 不妨设存在，且 则使，又，与是减函数矛盾. 故是常数），即和是单元素集. 令，故，因为且是最大的， 故，即，又是最小的，故只能， 令，故，但且， 故常数只能是0（即此时，这是因为不管或，均会与减函数矛盾）， 故，. 对，此时， 又，结合时， 对，同理可得出时，且， 故在上解析式为， ②画出上的图象 相当于函数和一条斜率为-1的直线的交点个数， 由图可知交点个数最多5个，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师范二附中2025-2026学年第一学期高一年级数学月考 2026.1 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 设全集，集合，则______． 2. 不等式的解集为_____. 3. 与角终边重合的角的集合是________ 4. 已知扇形圆心角为,面积为,则扇形的半径是________． 5. 已知，则____. 6. 已知，，则等于________． 7. 已知，则______. 8. 已知为偶函数，若，则负数______. 9. 已知方程的两根分别是，求的值为______. 10. 已知，则______. 11. 现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 12. 已知函数的定义域为.若非空集合满足：对于任意，任意，均有，则称函数为伸缩增函数，其中表示不超过的最大整数.若函数在区间上为增函数是“函数为伸缩增函数”的必要条件，则的最小值______. 二、选择题（本大题共4题，满分18分.第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. ，，，，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A为单位圆上一点，以原点O为顶点，轴正半轴为始边，为终边的角为，且终边不在坐标轴上.若将绕点顺时针旋转至，则点的坐标为（ ）. A. B. C. D. 15. 已知点在曲线P：上，若定点和点的连线线段中点在曲线上，则称N为这两个曲线的一个广义中点，请问广义中点有（ ）个. A. 无数 B. 0 C. 1 D. 2 16. 函数定义域为，若，且满足只要，均有，称为这个函数的卓越点． 判断下列两个命题： 命题：若对任意，均有，则存在卓越点： 命题：若和任意一条平行于轴的直线都有无数个交点，则一定不存在卓越点． 则下列说法正确是（ ） A. 命题正确，命题正确 B. 命题错误，命题正确 C. 命题正确，命题错误 D 命题错误，命题错误 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知集合，集合 （1）若集合，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知角是第三象限角，. （1）求的值； （2）求值. 19 已知. （1）是否存在实数，使得函数是奇函数？若存在，求实数的值，若不存在，请说明理由； （2）若且，解关于的不等式. 20. 已知函数，定义域为. （1）若，求； （2）若，且只有一个实数根，求的值； （3）是否存在实数，使函数在内具有单调性？若存在，求出的取值范围. 21. 对于函数，定义，其中是包含在定义域中的非空区间. （1）若，求和 （2）设且，不是单元素集合，求的取值范围. （3）设函数在上是减函数，，且.若对任意，均存在，使. ①请写出函数的解析式并说明理由. ②判断当时，最多有几个交点，并给出此时的值（无需说明理由，只需给出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $