专题03 线段中的双中点模型（几何模型讲义）数学北师大版2024七年级上册

专题03.线段的双（多）中点模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.线段的双中点模型 4 模型2.线段的多中点模型 6 11 双中点模型源于对中点性质的逆向应用。线段的双中点模型是解决共线线段中点距离问题的几何工具，其核心结论为‌两个中点之间的距离等于共端点的两线段和或差的一半‌。 ‌通用公式‌：在线段AC上任取一点B（点B可以在线段上、延长线或反向延长线），分别取AB、BC的中点为M和N，则。‌ ‌应用技巧‌：在选择题或填空题中，直接利用中点模型可简化计算。该模型还可推广至‌多中点场景‌，如通过多个中点将复杂线段转化为简单比例关系。‌ （2025·河北保定·模拟预测）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 （24-25七年级上·河南·期末）已知：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，； 第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作4 次，则 ． 1）线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 2）线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 模型1.线段的双中点模型 例1（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，点在线段上，点、分别是、的中点，设，则的长度是（   ） A． B． C． D． 例2（24-25七年级上·成都·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是；②点P到达点B时，；③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 例3（24-25七年级上·北京海淀·期末）如图，是线段的中点，是线段的中点，若，则线段的长度为（    ）    A． B． C． D． 例4（24-25七年级上·河北沧州·期末）如图，、是线段上两点，、分别是线段，的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③．其中正确的结论是（   ） A．① B．② C．①③ D．①②③ 例5（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知线段上有两点C，D，且，E，F分别为的中点，，，则（    ） A．6 B．4 C． D． 例6（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）如图，线段，在直线上作线段，使得，若是线段的中点，是线段的中点，则线段的长为 ． 模型2.线段的多中点模型 例1（24-25七年级上·广东广州·期末）已知点为线段的中点，且，若点是线段的三等分点，则（    ）． A． B． C． D． 例2（24-25·湖北武汉·七年级统考期末）已知点C是线段AB的一个三等分点，M是线段AB的中点，N是线段BC的中点，，则AB= ． 例3（24-25七年级上·四川成都·期末）已知点在线段上，、分别为线段、的中点，分别为线段的中点，分别为线段的中点，，分别为线段的中点．若线段，则线段的值是 ． 例4（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，点P从距原点2个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此不断跳动下去，则第12次跳动后，该点到A点的距离为（    ） A． B． C． D． 例5（24-25七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为，所以， 两式相加，得，所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 例6（24-25·四川成都·七年级统考期末）（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长；    （2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）， ①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长； ②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值． 1．（2025·河北沧州·模拟预测）有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是(    ) A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对 2．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）已知在一直线上有A、B、C三个点，且线段，，点M是线段的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（   ） A．4 B．20或10 C．10 D．20或4 4．（24-25河南信阳·七年级期末）若线段AB＝12cm，点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点，则线段BD的长为（　　） A．2cm或4cm B．8cm C．10cm D．8cm或10cm 5．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点在线段上，且，分别是，的中点．则下列结论：①；②是的中点；③；④；⑤若，则图中所有线段之和为50．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6.（24-25七年级上·上海·阶段练习）一条直线上依次有、、、四个点，如果，，和分别是和的中点，那么 ； 7．（24-25七年级上·山东·期末）已知：如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，，…，连续这样操作5次，则 ．    8．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 9．（24-25七年级上·河南郑州·期末）若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动．在，出发的同时，点也从出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点为的三等分点时，点恰好为中点，此时的长为 ． 10．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点． ①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；④当时，运动时间为．  以上说法正确的是 ． 11．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）线段，C为直线上一点,，E 为线段上一点， F 为线段 上一点,， (1)如图1，当点C在线段上时，求线段的长； (2)如图2，当点C在线段的延长线上时，求线段的长． 12．（24-25七年级上·重庆·期末）已知，，，四点在同一直线上，线段，点在线段上． (1)如图1，点是线段的中点，，求线段的长度； (2)若点是直线上一点，且满足，，求线段的长度． 13．（24-25七年级下·四川泸州·开学考试）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点． (1)若，求；(2)若，求． 14．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）已知线段，点C为线段上的一个动点（点C不与A、B重合），点D、E分别是和的中点 (1)若，求的长；(2)若点C恰好是的中点，且，求的长． 15．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）【问题背景】 如图，已知线段，点是线段的中点，点是线段的中点． 【问题探究】（1）如图1，求线段的长；（2）如图2，点是线段上的一点，且满足， ①求线段的长；②若点是线段上的一点，，求的长． 16．（24-25七年级上·成都·期末）如图所示，点C在线段上，，，点分别是的中点．(1)求的长度；(2)求的长度；(3)若点P在直线上，且，点为的中点，求的长度． 17．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长；(3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 18．（24-25七年级上·四川巴中·期末）【实例】求值： 解：设① 将等式两边同时乘2，得：② 将②式减去①式，得：， 即 【运用】（1）_______________﹔ 【拓展】（2）计算：； 【迁移】（3）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点、；第三次操作：分别取线段和的中点、；连续这样操作次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和的值为多少 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03.线段的双（多）中点模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.线段的双中点模型 4 模型2.线段的多中点模型 6 11 双中点模型源于对中点性质的逆向应用。线段的双中点模型是解决共线线段中点距离问题的几何工具，其核心结论为‌两个中点之间的距离等于共端点的两线段和或差的一半‌。 ‌通用公式‌：在线段AC上任取一点B（点B可以在线段上、延长线或反向延长线），分别取AB、BC的中点为M和N，则。‌ ‌应用技巧‌：在选择题或填空题中，直接利用中点模型可简化计算。该模型还可推广至‌多中点场景‌，如通过多个中点将复杂线段转化为简单比例关系。‌ （2025·河北保定·模拟预测）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】A 【详解】解：①当点C在线段上时，如图所示： ∵，，∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，，∴（）． ②当点C在线段的延长线上时，如图所示： ∵，，∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，，∴（）． 综上所述，线段的长度是8．故选：A． （24-25七年级上·河南·期末）已知：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，； 第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作4 次，则 ． 【答案】1 【详解】解：根据题意可得，∵，∴， ∵线段   和 的中点 ，∴， 同理：，∴，…… 依次类推， ，∴，故答案为：4． 1）线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 2）线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 模型1.线段的双中点模型 例1（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，点在线段上，点、分别是、的中点，设，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点、分别是、的中点，， 故选：C． 例2（24-25七年级上·成都·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是；②点P到达点B时，；③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【详解】∵A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且， ∴B对应的数为，故①正确； ∵，∴点P到达点B时，，故②是正确的； 当点P在点B右边时，∵，∴，∴； 当点P在点B左边时，∵，∴，∴， ∴时，或，故③错误； 在点P的运动过程中，当点P在点B右边时，； 在点P的运动过程中，当点P在点B左边时，； ∴在点P的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故④错误；∴正确结论有①②，故选：A． 例3（24-25七年级上·北京海淀·期末）如图，是线段的中点，是线段的中点，若，则线段的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：是线段的中点，，， 是线段的中点，，，故选：C． 例4（24-25七年级上·河北沧州·期末）如图，、是线段上两点，、分别是线段，的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③．其中正确的结论是（   ） A．① B．② C．①③ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：，，， 是线段的中点，，，，故①正确； ，，， 、分别是线段，的中点，，，，故②正确； 、分别是线段，的中点，，， ， ，故③正确； 综上所述，正确的有①②③．故选：D． 例5（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知线段上有两点C，D，且，E，F分别为的中点，，，则（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴， ∵E，F分别为的中点，∴， ∴．故选：D． 例6（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）如图，线段，在直线上作线段，使得，若是线段的中点，是线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】1或5 【详解】解：如图所示，当点C在线段上时， ∵，是线段的中点，∴； ∵，是线段的中点，∴，∴； 如图所示，当点C在的延长线上时， ∵，是线段的中点，∴； ∵，是线段的中点，∴，∴； 综上所述，的长为1或5；故答案为：1或5． 模型2.线段的多中点模型 例1（24-25七年级上·广东广州·期末）已知点为线段的中点，且，若点是线段的三等分点，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点为线段的中点，且，， 点是线段的三等分点，如图， 当点在线段内，，； 当点在线段内，，．故选D． 例2（24-25·湖北武汉·七年级统考期末）已知点C是线段AB的一个三等分点，M是线段AB的中点，N是线段BC的中点，，则AB= ． 【答案】或/12或6 【详解】解：如图1，∵点C是线段上的三等分点，∴， ∵M，N是线段，的中点，∴，， ∴，∴； 如图2，∵点C是线段上的三等分点，∴， ∵M，N是线段，的中点，∴，， ∴，∴；故答案为或． 例3（24-25七年级上·四川成都·期末）已知点在线段上，、分别为线段、的中点，分别为线段的中点，分别为线段的中点，，分别为线段的中点．若线段，则线段的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵、分别为线段、的中点，，∴， ∵分别为线段的中点，∴， ∵分别为线段的中点，∴，， ∴，故答案为：． 例4（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，点P从距原点2个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此不断跳动下去，则第12次跳动后，该点到A点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵A表示的数是2，原点表示的数是0， ∴表示的数是，表示的数是，表示的数是，由此得到表示的数是， 故第12次跳动后，该点到A点的距离为，故选C． 例5（24-25七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为，所以， 两式相加，得，所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 【答案】(1)①；② (2)(3) 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）因为，所以． 两式相加，得．所以； （3），随着取中点次数的不断增大的长最终接近的值是． 故答案为：． 例6（24-25·四川成都·七年级统考期末）（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长；    （2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）， ①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长； ②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【详解】解：（1）∵M，N分别是，的中点∴ ∵∴ （2）①∵∴ ∵∴； ② ． 1．（2025·河北沧州·模拟预测）有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是(    ) A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对 【答案】A 【详解】解：①“延长线段到，使”，则点是线段中点，故嘉嘉说法正确； ②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”，如图，如果线段，那么线段或，故淇淇说法错误．故选：A．           2．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）已知在一直线上有A、B、C三个点，且线段，，点M是线段的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：如图，当点在点左侧时，可有， ∵点是线段的中点，∴； 如图，当点在点右侧时，可有， ∵点是线段的中点，∴； 综上：的长为或；故选：C． 3．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（   ） A．4 B．20或10 C．10 D．20或4 【答案】D 【详解】解：当点在线段上时，如图： 由题意，得：，，∴，∴； 当点在线段上时，如图：则，， ∵，∴，∴；综上，线段的长是20或4．故选：D． 4．（24-25河南信阳·七年级期末）若线段AB＝12cm，点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点，则线段BD的长为（　　） A．2cm或4cm B．8cm C．10cm D．8cm或10cm 【答案】D 【详解】解：∵C是线段AB的中点，AB＝12cm， ∴AC＝BC＝AB＝×12＝6（cm），点D是线段AC的三等分点， ①当AD＝AC时，如图，BD＝BC+CD＝BC+AC＝6+4＝10（cm）； ②当AD＝AC时，如图，BD＝BC+CD′＝BC+AC＝6+2＝8（cm）． 所以线段BD的长为10cm或8cm，故选：D． 5．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点在线段上，且，分别是，的中点．则下列结论：①；②是的中点；③；④；⑤若，则图中所有线段之和为50．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【详解】解：①、由，得：，故正确； ②、由E是的中点，，得，则是的中点，故正确； ③、由D，E分别是的中点，得：，故正确； ④、由上述结论，得：，故正确； ⑤、由，，得到，又，则，，，， ，，， 图中所有线段之和为，故正确，综上所述，正确的结论共有5个，故选：D 6.（24-25七年级上·上海·阶段练习）一条直线上依次有、、、四个点，如果，，和分别是和的中点，那么 ； 【答案】 【详解】解：如图， ∵在一条直线上且依次排列∴， ∵，，∴，即， ∵M、N分别是、的中点，∴，． ∴ ．故答案为：6． 7．（24-25七年级上·山东·期末）已知：如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，，…，连续这样操作5次，则 ．    【答案】4 【详解】解：根据题意可得，∵，∴， ∴，∴， ∴，……依次类推， ，∴，故答案为：4． 8．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 【答案】40或80 【详解】解：∵，，N是线段的中点，∴，， ①若，如图1所示： ∵，∴，∵，∴∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，，∴； ②若，如图：∴， ∵，∴，∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴；故答案为：40或80． 9．（24-25七年级上·河南郑州·期末）若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动．在，出发的同时，点也从出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点为的三等分点时，点恰好为中点，此时的长为 ． 【答案】或 【详解】解：、两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动，， ①当点靠近点的的三等分点，如图所示： ， 为中点，， ，，， ②当点靠近点的的三等分点，如图所示： 为中点，， ，，， 综上，的长为或，故答案为：或． 10．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点． ①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；④当时，运动时间为．   以上说法正确的是 ． 【答案】②③④ 【详解】解：运动后，，∴， ∵为的中点， ∴，∴，故①错误； 设运动，则，， ∵为的中点，为的中点，∴，， ∴∴的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ∵，， ∴，∴的值不变，故③正确； ∵，， 当时，则， 解得，故④正确； 综上，说法正确的是②③④，故答案为：②③④． 11．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）线段，C为直线上一点,，E 为线段上一点， F 为线段 上一点,， (1)如图1，当点C在线段上时，求线段的长； (2)如图2，当点C在线段的延长线上时，求线段的长． 【答案】(1)41(2)49 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴； （2）∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴． ∵，∴． 12．（24-25七年级上·重庆·期末）已知，，，四点在同一直线上，线段，点在线段上． (1)如图1，点是线段的中点，，求线段的长度； (2)若点是直线上一点，且满足，，求线段的长度． 【答案】(1)5(2)线段的长度为或 【详解】（1）解：，点是线段的中点，， 又，，，； （2）解：①当点在线段上时，如图， ，，，； ②当点在点的右侧时，如图， ，，，； ③当点在点的左侧时，此时，不存在符合题意的点．综上，线段的长度为或． 13．（24-25七年级下·四川泸州·开学考试）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点． (1)若，求；(2)若，求． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：点、分别是、的中点，，， ，，； （2）解：点、分别是、的中点，，， ，． 14．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）已知线段，点C为线段上的一个动点（点C不与A、B重合），点D、E分别是和的中点 (1)若，求的长；(2)若点C恰好是的中点，且，求的长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图：∵点D、E分别是和的中点，∴，， ， ∵，∴； （2）解：∵点C恰好是的中点，∴， ∵点D、E分别是和的中点，∴，， ∴，∴． 15．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）【问题背景】 如图，已知线段，点是线段的中点，点是线段的中点． 【问题探究】（1）如图1，求线段的长；（2）如图2，点是线段上的一点，且满足， ①求线段的长；②若点是线段上的一点，，求的长． 【答案】（1）4；（2）①10，②7或1 【详解】解：（1），点是的中点，． 点是线段的中点，． （2）①，，，，． ②，，． 当点在点左边时，，，． 当点在点右边时，，，．综上可得的长为7或1． 16．（24-25七年级上·成都·期末）如图所示，点C在线段上，，，点分别是的中点．(1)求的长度；(2)求的长度；(3)若点P在直线上，且，点为的中点，求的长度． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵点是的中点，∴． （2）解：∵点是的中点，，∴， 由（1）已得：，∴． （3）解：①如图，当点在线段上时，∵，，∴， ∵点为的中点，∴，由（1）已得：，∴； ②如图，当点在线段的延长线上时， ∵，，∴， ∵点为的中点，∴，由（1）已得：， ∴；综上，的长为或． 17．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长；(3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 【答案】(1)(2)5厘米(3) 【详解】（1）解：∵M，N分别是，的中点，， ∴， ∴，故答案为：； （2）解：∵，∴； （3）解：∵， ∴． 18．（24-25七年级上·四川巴中·期末）【实例】求值： 解：设① 将等式两边同时乘2，得：② 将②式减去①式，得：， 即 【运用】（1）_______________﹔ 【拓展】（2）计算：； 【迁移】（3）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点、；第三次操作：分别取线段和的中点、；连续这样操作次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和的值为多少 【答案】（1）；（2）；（3） 或 【详解】解：（1）设① 将等式①的两边同时乘以2得： ② 将②式减去①式，得：，∴．故答案为：． （2）设① 将等式两边同时乘3，得：② 将②式减去①式，得 ∴，即 （3）∵，、是线段和的中点， ∴，同理可得…… ∴ 设① ∴② 将①式减去②式，得 ∴ 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$