专题03.线段中的双中点模型（几何模型讲义）数学苏科版2024七年级上册

专题03.线段的双（多）中点模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.线段的双中点模型 4 模型2.线段的多中点模型 6 11 双中点模型源于对中点性质的逆向应用。线段的双中点模型是解决共线线段中点距离问题的几何工具，其核心结论为‌两个中点之间的距离等于共端点的两线段和或差的一半‌。 ‌通用公式‌：在线段AC上任取一点B（点B可以在线段上、延长线或反向延长线），分别取AB、BC的中点为M和N，则。‌ ‌应用技巧‌：在选择题或填空题中，直接利用中点模型可简化计算。该模型还可推广至‌多中点场景‌，如通过多个中点将复杂线段转化为简单比例关系。‌ （2025·河北保定·模拟预测）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 （24-25七年级上·河南·期末）已知：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，； 第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作4 次，则 ． 1）线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 2）线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 模型1.线段的双中点模型 例1（24-25七年级上·江苏·期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点，若，则线段的长度是（　　） A．17 B．18 C．19 D．20 例2（24-25七年级上·湖北·期末）已知线段与在同一直线上，，M为的中点，N为的中点，则的长为 ． 例3（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图，点是线段上的一点且，点是的中点，点是的中点，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 例4（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则 ．（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 例5（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图， 直线上从左到右依次有A， B， C， D四点． M，N分别是线段，的中点， 且，， 则线段的长为 ． 例6（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知点C在直线上，，，点分别是的中点．则线段的长为 ． 模型2.线段的多中点模型 例1（24-25七年级上湖北·阶段练习）点M是线段的中点，点D是线段的一个三等分点，若，则 ． 例2（24-25·山东·七年级统考期末）点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，求线段的长． 例3（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点连续这样操作2024次，则线段的长度为 ． 例4（24-25·江苏淮安·七年级统考期末）线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，依此类推……，线段的长为 ． 例5（24-25七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为，所以， 两式相加，得，所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 例6（24-25·四川成都·七年级统考期末）（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长；    （2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）， ①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长； ②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值． 1．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图，已知线段，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点．下列关于甲、乙的结论判断正确的是（   ） 甲：是线段的中点，且； 乙：在线段的延长线上找一点，使是线段的三等分点，则的长为9或12． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 2．（24-25七年级上·广东东莞·期末）如图，C是的中点，是的中点，下列等式中，错误的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）如图，线段的长为，是的中点，将线段分为和两部分，且，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点在线段上，且，分别是，的中点．则下列结论：①；②是的中点；③；④；⑤若，则图中所有线段之和为50．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（24-25·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·云南丽江·期末）如图，点，在线段上，且，是线段的中点，是线段的中点，，则线段的长为 ． 7．（24-25七年级上·山东·期末）已知：如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，，…，连续这样操作5次，则 ．    8．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 9．（24-25七年级上·河南郑州·期末）若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动．在，出发的同时，点也从出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点为的三等分点时，点恰好为中点，此时的长为 ． 10．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知线段，延长至点，使，点、均在线段的延长线上，且，是线段的中点，当点是线段的中点时，的长为 ．（用含有的式子表示） 11．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图，有公共端点的两条线段、组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长为 ． 12．（24-25·江苏泰州·七年级统考期末）如图，点A、B、C在同一条直线上，点D为的中点，点P为延长线上一动点，点E为的中点，则的值是 ． 13．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知线段上有一点C，点、点分别为、的中点，如果，，(1)求线段的长．(2)求线段的长． 14．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图点C在线段上，线段，点M，N分别是，的中点．(1)若，求的长；(2)若，求的长． 15．（24-25·河北保定·七年级统考期末）如图，已知在线段上． (1)图中共有______条线段；(2)①若，比较线段的长短：______（填：“>”、“=”或“<”）； ②若是的中点，是的中点，求的长度． ③若是的中点，是的中点，直接写出的长度．（用含的代数式表示） 16．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点． (1)若，求线段的长；(2)若C为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？请直接写出你的答案．(3)若C在线段的延长线上，且满足，M、N分别为的中点，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 17．（24-25·江苏南京·七年级校联考期末）如图，线段，延长到点C，D是BC的中点． (1)若，求线段的长；(2)若的长逐渐增大，则的长的变化趋势是 ； ①变小；②变大；③先变小，后变大；④先变大，后变小． (3)若，求线段的长． 18．（24-25·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，，分别是，的中点，则______． ②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长． ③若，分别是，的等分点，即，，则______． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03.线段的双（多）中点模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.线段的双中点模型 4 模型2.线段的多中点模型 6 11 双中点模型源于对中点性质的逆向应用。线段的双中点模型是解决共线线段中点距离问题的几何工具，其核心结论为‌两个中点之间的距离等于共端点的两线段和或差的一半‌。 ‌通用公式‌：在线段AC上任取一点B（点B可以在线段上、延长线或反向延长线），分别取AB、BC的中点为M和N，则。‌ ‌应用技巧‌：在选择题或填空题中，直接利用中点模型可简化计算。该模型还可推广至‌多中点场景‌，如通过多个中点将复杂线段转化为简单比例关系。‌ （2025·河北保定·模拟预测）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】A 【详解】解：①当点C在线段上时，如图所示： ∵，，∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，，∴（）． ②当点C在线段的延长线上时，如图所示： ∵，，∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，，∴（）． 综上所述，线段的长度是8．故选：A． （24-25七年级上·河南·期末）已知：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，； 第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作4 次，则 ． 【答案】1 【详解】解：根据题意可得，∵，∴， ∵线段   和 的中点 ，∴， 同理：，∴，…… 依次类推， ，∴，故答案为：4． 1）线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 2）线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 模型1.线段的双中点模型 例1（24-25七年级上·江苏·期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点，若，则线段的长度是（　　） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】A 【详解】解：∵点M、N分别是的中点，，∴， ∵，∴，∴．故选：A． 例2（24-25七年级上·湖北·期末）已知线段与在同一直线上，，M为的中点，N为的中点，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：①如图1，点A、C在点B的两侧， ∵M为的中点，N为的中点，∴，， ∴，∵，∴； ②如图2，点C在线段上， ∵M为的中点，N为的中点，∴，， ∴，∵，∴； ③如图3，点A在线段BC上， ∵M为的中点，N为的中点，∴，， ∴，∵，∴； 综上所述，的长为．故答案为：． 例3（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图，点是线段上的一点且，点是的中点，点是的中点，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵，∴， ∵点是的中点，∴，∴， ∵点是的中点，∴，∴，故选：B． 例4（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则 ．（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【详解】解：由，得， ，， E、F分别是的中点，，， ， 解得：，，故选：C． 例5（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图， 直线上从左到右依次有A， B， C， D四点． M，N分别是线段，的中点， 且，， 则线段的长为 ． 【答案】10 【详解】解：∵M，N分别是线段，的中点，∴，， ∵，又， ∴，即：，∴，故答案为：10． 例6（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知点C在直线上，，，点分别是的中点．则线段的长为 ． 【答案】或 【详解】分类讨论：点C在线段上，点C在线段的延长线上，根据线段中点的性质，可得的长，根据线段的和差，可得答案． 解：①当点C在线段上时，， 由点M、N分别是的中点，得，， 由线段的和差，得； ②当点C在线段的延长线上时，， 由点M、N分别是的中点，得，． 由线段的和差，得， 综上，MN的长或，故答案为：或． 模型2.线段的多中点模型 例1（24-25七年级上湖北·阶段练习）点M是线段的中点，点D是线段的一个三等分点，若，则 ． 【答案】3 【详解】解：①若点D为靠近点A的三等分点，如图1所示 ∵，点M是线段的中点，点D是线段的一个三等分点， ∴AM=，AD=；∴DM=AM－AD=3； ②若点D为靠近点B的三等分点，如图2所示 ∵，点M是线段的中点，点D是线段的一个三等分点， ∴BM=，BD=；∴DM=BM－BD=3； 综上：DM=3 故答案为：3． 例2（24-25·山东·七年级统考期末）点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，求线段的长． 【答案】线段BD的长为10cm或8cm． 【详解】解：∵C是线段AB的中点，AB=12cm，∴AC=BC=AB=×12=6（cm）， 点D是线段AC的三等分点，①当AD=AC时，如图，BD=BC+CD=BC+AC=6+4=10（cm）； ②当AD′=AC时，如图，BD′=BC+CD′=BC+AC=6+2=8（cm）．所以线段BD的长为10cm或8cm． 例3（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点连续这样操作2024次，则线段的长度为 ． 【答案】 【详解】解：是和的中点，， 是和的中点，， 是和的中点，，， 发现规律：，当时，，故答案为：． 例4（24-25·江苏淮安·七年级统考期末）线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，依此类推……，线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：因为线段，是的中点，所以； 因为是的中点，所以；因为是的中点，所以；， 所以，所以，答案为：． 例5（24-25七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为，所以， 两式相加，得，所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 【答案】(1)①；② (2)(3) 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）因为，所以． 两式相加，得．所以； （3），随着取中点次数的不断增大的长最终接近的值是． 故答案为：． 例6（24-25·四川成都·七年级统考期末）（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长；    （2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）， ①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长； ②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【详解】解：（1）∵M，N分别是，的中点∴ ∵∴ （2）①∵∴ ∵∴； ② ． 1．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图，已知线段，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点．下列关于甲、乙的结论判断正确的是（   ） 甲：是线段的中点，且； 乙：在线段的延长线上找一点，使是线段的三等分点，则的长为9或12． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】C 【详解】解：以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点 ，是线段的中点，故甲正确 点在线段的延长线上，是线段的三等分点 当时，，； 当时，，，故乙错误故选：C． 2．（24-25七年级上·广东东莞·期末）如图，C是的中点，是的中点，下列等式中，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是的中点，是的中点，∴， ∴，A选项正确，不符合题意；，B选项正确，不符合题意； ，C选项正确，不符合题意；，D选项错误，符合题意；故选：D． 3．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）如图，线段的长为，是的中点，将线段分为和两部分，且，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点为中点，∴， ∵，，∴， ∴；故选：C． 4．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点在线段上，且，分别是，的中点．则下列结论：①；②是的中点；③；④；⑤若，则图中所有线段之和为50．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【详解】解：①、由，得：，故正确； ②、由E是的中点，，得，则是的中点，故正确； ③、由D，E分别是的中点，得：，故正确； ④、由上述结论，得：，故正确； ⑤、由，，得到，又，则，，，， ，，， 图中所有线段之和为，故正确，综上所述，正确的结论共有5个，故选：D 5．（24-25·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，分别为的中点， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∵分别为的中点，∴，……由此可得：， ∴， 故选C． 6．（24-25七年级下·云南丽江·期末）如图，点，在线段上，且，是线段的中点，是线段的中点，，则线段的长为 ． 【答案】36 【详解】解：∵，设，∴， ∵M为中点，N为中点，∴，， ∵，∴，解得，∴，故答案为：36． 7．（24-25七年级上·山东·期末）已知：如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，，…，连续这样操作5次，则 ．    【答案】4 【详解】解：根据题意可得，∵，∴， ∴，∴， ∴，……依次类推， ，∴，故答案为：4． 8．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 【答案】40或80 【详解】解：∵，，N是线段的中点，∴，， ①若，如图1所示： ∵，∴，∵，∴∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，，∴； ②若，如图：∴， ∵，∴，∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴；故答案为：40或80． 9．（24-25七年级上·河南郑州·期末）若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动．在，出发的同时，点也从出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点为的三等分点时，点恰好为中点，此时的长为 ． 【答案】或 【详解】解：、两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动，， ①当点靠近点的的三等分点，如图所示： ， 为中点，， ，，， ②当点靠近点的的三等分点，如图所示： 为中点，， ，，， 综上，的长为或，故答案为：或． 10．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知线段，延长至点，使，点、均在线段的延长线上，且，是线段的中点，当点是线段的中点时，的长为 ．（用含有的式子表示） 【答案】 【详解】∵，，∴． ∵，是线段的中点，∴． ∵点是线段的中点，∴． ∵，∴．∴．故答案为：． 11．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图，有公共端点的两条线段、组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长为 ． 【答案】12或28 【详解】解：如图1，点为线段的中点，，，， 点是折线的“折中点”，，，即，解得：； 如图，点为线段的中点，，， 点是折线的“折中点”，，，即， 解得：；故答案为：12或28． 12．（24-25·江苏泰州·七年级统考期末）如图，点A、B、C在同一条直线上，点D为的中点，点P为延长线上一动点，点E为的中点，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：设，，， 当时，如下图： 则，，， ，，则 当时，如下图： 则，，， ，，则故答案为： 13．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知线段上有一点C，点、点分别为、的中点，如果，，(1)求线段的长．(2)求线段的长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵点为的中点，，∴， ∵，∴． （2）解：∵，，∴， ∵点为的中点，∴，由（1）已得：，∴． 14．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图点C在线段上，线段，点M，N分别是，的中点．(1)若，求的长；(2)若，求的长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， 点M，N分别是的中点，， ； （2）设， 点N是的中点，， ，且点M是的中点， 则，即，解得．则． 15．（24-25·河北保定·七年级统考期末）如图，已知在线段上． (1)图中共有______条线段；(2)①若，比较线段的长短：______（填：“>”、“=”或“<”）； ②若是的中点，是的中点，求的长度． ③若是的中点，是的中点，直接写出的长度．（用含的代数式表示） 【答案】(1)；(2)①；②；③． 【详解】（1）解：∵图中有线段∴共有线段条数是，故答案为：6； （2）解：①∵∴∴，故答案为：=； ②∵是的中点。是的中点∴ ∵∴ ∴∴； ③∵∴ ∴ ∴. 16．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点． (1)若，求线段的长；(2)若C为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？请直接写出你的答案．(3)若C在线段的延长线上，且满足，M、N分别为的中点，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)(2)(3)，图形见解析；结论理由见解析 【详解】（1）解∶ ∵M、N分别是的中点，∴， ∵，∴； （2）解∶ ∵M、N分别是的中点，∴， ∵，∴； （3）解∶ ，理由如下∶如图， ∵M、N分别是的中点，∴， ∵，∴． 17．（24-25·江苏南京·七年级校联考期末）如图，线段，延长到点C，D是BC的中点． (1)若，求线段的长；(2)若的长逐渐增大，则的长的变化趋势是 ； ①变小；②变大；③先变小，后变大；④先变大，后变小． (3)若，求线段的长． 【答案】(1)1cm(2)①(3)10cm 【详解】（1）解：∵，，∴． ∵D是的中点，∴．∴． （2）当点D在上时 ∵， ∴若的长逐渐增大，则的长逐渐减小， 当点D在延长线上时， ∵， ∴若的长逐渐增大，则的长逐渐增大， 综上：若的长逐渐增大，则的长的变化趋势是先变小，后变大．故答案为：③． （3）当点D在上时，∵，，∴ ． ∵D是的中点，∴ ． ∴． 当点D在延长线上时，∵ ，，∴ ． ∵D是的中点，∴ ．∴． 18．（24-25·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，，分别是，的中点，则______． ②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长． ③若，分别是，的等分点，即，，则______． 【答案】(1)3(2)①；②；③ 【详解】（1）解：，，， ，分别是，的中点，，， ；故答案为：； （2）解：①，分别是，的中点， ，，， ，；故答案为：； ②，，，，， ，； ③，，，， ， ，，故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$