精品解析：北京市部分学校2025-2026学年新高三入学定位考试数学试卷

2025~2026学年度开学定位考 高三数学试卷 2025.8 （考试时间120分钟 满分150分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解出集合中的不等式，再根据集合交运算即可求解. 【详解】， 即且， 即且， 得或， 则， 所以. 故选：. 2. 已知，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求，再求，即可求解. 【详解】根据已知， 所以. 故选：. 3. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数以及对数的单调性即可求解. 【详解】由于，，， 所以， 故选：B 4. 在平面直角坐标系中，动点在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点的初始位置坐标为，则运动到分钟时，动点所处位置的坐标是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算出运动分钟时动点转动的角，再利用诱导公式可求得结果. 【详解】每分钟转动一周，则运动到分钟时，转过的角为. 设点的初始位置的坐标为，则，， 运动到3分钟时动点所处位置的坐标是. 由诱导公式可得，， 所以，点的坐标为. 故选：C. 【点睛】本题考查点的坐标的求解，考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 5. 已知向量满足与的夹角为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对等式进行变形得，再运算数量积的运算求解即可. 【详解】设，由题得， 所以， ，所以， 所以，又， 所以， 故选:D. 6. 国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ） A. 3.8小时 B. 4小时 C. 4.4小时 D. 5小时 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，再令，解出可得，即可得解. 【详解】由题意可知，即有， 令，则有，解得， ，故还需要4小时才能消除至最初的. 故选：B. 7. 若两个正实数满足，若至少存在一组使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得，即求，利用基本不等式，可解得，进而得到，进而可求解. 【详解】至少存在一组使得成立，即， 又由两个正实数满足，可得 ， 当且仅当，即时，等号成立，， 故有，解得，故，所以实数的取值范围是 故选：C. 8. 函数在区间内只有一个极值点的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合正弦型函数极佳点的意义列出不等式组求解即可. 【详解】由且，得，显然， 由函数在区间内只有一个极值点，则，解得， 结合选项，所以函数在区间内只有一个极值点的充分不必要条件是. 故选：A 9. 如图，某校数学兴趣小组为了测量某古塔的高度，在地面上共线的三点C，D，E处测得点A的仰角分别为，且，则古塔高度约为（ ）（结果保留整数）（参考数据：） A. 69m B. 70m C. 73m D. 75m 【答案】C 【解析】 【分析】先设，由题意求出，再由结合余弦定理即可计算求解. 【详解】由题可设，则， 又，， 所以由余弦定理得， 所以， 整理得， 所以古塔高度约为. 故选：C. 10. 已知函数若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分，，三种情况讨论，将恒成立问题分参转化为最值问题，借助导数及函数的性质计算即可. 【详解】当时，不等式恒成立； 当时，此时，即， 即对任意恒成立， 令在上单调递减，则，故. 当时，此时，即， 即，对任意恒成立， 令，其中，则， 令，则， 所以在上单调递减， 又，要使在恒成立， 则在恒成立， 即在恒成立， 令，则在上单调递减，， 所以. 综上所述：的取值范围为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：利用参变分离，再运用函数的思想研究不等式，并结合导数研究函数的单调性与最值. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的性质及指数对数恒等式计算可得. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且当时，， 所以. 故答案为： 12. 写出一个同时具有下列性质的函数的解析式：__________. ①不是常函数 ②的最小正周期为2 ③不存在对称中心 【答案】（不唯一） 【解析】 【分析】根据函数所具有的性质，结合正弦函数的性质，即可确定答案. 【详解】根据题中函数需满足的条件，可取函数为正弦型函数， 即可取，其图象为： 结合图象可知满足题意， 故答案为：（不唯一） 13. 在中，为中线，，作，则等于__________. 【答案】7 【解析】 【分析】在三角形中利用向量的加、减法的几何意义，将长度、垂直问题转化为向量数量积问题求解可得. 【详解】在 中，由 ,则， 由 三点共线， 则 , 设， 则 ，且， 则 . 故，即. 所以. 故答案为：7 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 14. 设函数. （1）若，求的值； （2）已知在区间上单调递增，，，求，的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）借助两角和的正弦公式化简后代入计算即可得； （2）由题意可得函数周期，即可得，而后借助正弦函数性质代入计算即可得. 【小问1详解】 ， ，故， 又，故； 【小问2详解】 由题意可得， 故，又，故， 由，则， 解得，又，故. 15. 如图，在中，为边上一点，且. （1）求； （2）若，求. 【答案】（1）6； （2）3. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理列式解方程即得. （2）由（1）的信息，利用正弦定理、余弦定理求解即得. 【小问1详解】 设，则， 由余弦定理可得， 即，得， 所以. 【小问2详解】 由，得，则. 由正弦定可得，解得. 由余弦定理得， 即，而，所以. 16. 设函数． （1）求函数的最小正周期T和单调递减区间． （2）在锐角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，求的取值范围． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式将函数化简，再利用周期公式可求周期，利用正弦函数的单调递减区间整体代入，解不等式即可得解； （2）利用正弦定理边化角求出，再利用三角形的内角和性质求出的范围，代入解析式，根据三角函数的性质即可求解. 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期为， 令，得，， 所以函数的单调递减区间是. 【小问2详解】 由，得，即得， 又在锐角中，所以， ，解得， ， ， 所以的取值范围是. 17. 在中，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分． 【答案】（1） （2） 由（1）知， 若选①②：，， 由，可得， 由正弦定理，可得，解得，则， 又由余弦定理，可得， 即，解得或（舍去）， 所以的面积为. 若选①③：且， 由，可得， 因为，可得， 由正弦定理，可得，解得， 所以的面积为. 若选：②③：且， 因为，可得，整理得， 解得，不符合题意，（舍去）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用余弦定理求得，即可求解； （2）根据题意，若选择①②，求得，由正弦定理求得，再由余弦定理求得，结合面积公式，即可求解； 若①③：先求得，由，利用正弦定理求得，结合面积公式，即可求解； 若选择②③，利用余弦定理，列出方程求得，不符合题意. 【小问1详解】 因为，由余弦定理得， 又因为，所以. 【小问2详解】 略 18. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线斜率和切点坐标，即得切线方程； （2）函数求导分解因式后，对参数分类讨论导函数的符号即得原函数的单调性； （3）根据（2）的结论，对参数分类，分析函数的单调性，极值以及图象变化趋势，结合特殊值，即得函数的零点情况. 【小问1详解】 当时，函数， 又，则. 所以在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由题意知，的定义域为， 显然恒成立， ①若，则，此时在上单调递减； ②若，令，解得. 当时，，当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 若，由（2）知，至多有一个零点； 若，由（2）知，当时，取得最小值为. 设，则， 故在上单调递增，又. （i）当时，，故此时没有两个零点； （ii）当时，， 又， 故在上有一个零点； 当，由可得即，得，则 故，即，又易知 则，即 因此在上也有一个零点. 综上，若有两个零点，实数的取值范围为. 19. 设，且都是奇数，行列的数表满足：对任意的，都有.记，若，则称第行为“正行”，若，则称第列为“负列”，记中正行与负列的数目之和为. （1）设，直接写出的值； （2）求证：； （3）求的最大值. 【答案】（1）， （2）证明如下： 用反证法证明.由数目之和，假设，即数表没有“正行”，也没有“负列”. 即任意，则数表中所有数和； 且任意，则数表中所有数的和； 故数表中所有数的和为0， 由题意任意的， 即数表中1的个数与的个数相同，所以数表中必有偶数个数， 但由于均为奇数，数表中共有个数，为奇数， 这与数表中必有偶数个数矛盾. 故假设错误，不成立.故成立. （3） 当时，最大值为； 当时，最大值为； 当，且时，的最大值为. 【解析】 【分析】（1）分别计算数表中各行之和与各列之和，根据“正行”与“负列”条件判断即可； （2）用反证法，从行与列两个角度求数表总和则可推出矛盾； （3）用反证法证明 ，从行列两个角度分析-1，1的个数可推出矛盾，再举出的数表即可. 【小问1详解】 数表，由题意可得，故只有第3行是“正行”； ，故第2，3列是“负列”，第1列不是“负列”，故； 数表由题意可得，故只有第2行是“正行”； ，故第3，4列是“负列”，第1，2，5列不是“负列”. 故. 综上所述，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，数表包含行1列数， 若，则各行都为1，则这1列所有数的和为，不可能为“负列”； 由数表，， 故当时，最大为； 同理可知当时，最大为， 当时，. 下面用反证法证明. 假设，则满足条件的数表分三类： ，即行都是“正行”且列都是“负列”； 或，其中行都是“正行”，列是“负列”； 或，其中行是“正行”，列都是“负列”. ①若，行都是“正行”且列都是“负列”； 即任意，则数表中所有数和； 且任意，则数表中所有数的和； 故产生矛盾，此类情况不可能； ②若，行都是“正行”且列是“负列”； 由行都是“正行”，由题意可知，每行各数之和都为正数， 由题意任意的， 则每行个数中1的个数必大于的个数，即至少有个1， 故数表中所有数中至少有个1； 由列是“负列”，由题意可知这列中每列各数之和都为负数， 则每列个数中的个数必大于1的个数，即至少有个， 故数表中所有数中至少有个，则至多有个1； 又，故产生矛盾，此类情况也不可能； ③若，其中行是“正行”，列都是“负列”. 由列都是“负列”，由题意可知，每列各数之和都为负数， 由题意任意的， 则每列个数中的个数必大于1的个数，即至少有个， 故数表中所有数中至少有个； 由行是“正行”，由题意可知这行中每行各数之和都为正数， 则每行个数中1的个数必大于的个数，即至少有个1， 故数表中所有数中至少有个1， 则至多有个； 又， 故产生矛盾，此类情况也不可能；综上所述，假设错误， 故. 如下图给出的数表： 如上图，各行除第行外，其余都是“正行”；各列除第列外，其余都是“负列”； 故正行与负列的数目之和为. 故当，且时，的最大值为. 综上所述，当时，最大值为；当时，最大值为； 当，且时，的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度开学定位考 高三数学试卷 2025.8 （考试时间120分钟 满分150分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. 0 C. D. 3. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，动点在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点的初始位置坐标为，则运动到分钟时，动点所处位置的坐标是 A. B. C. D. 5. 已知向量满足与的夹角为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ） A. 3.8小时 B. 4小时 C. 4.4小时 D. 5小时 7. 若两个正实数满足，若至少存在一组使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 函数在区间内只有一个极值点的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，某校数学兴趣小组为了测量某古塔的高度，在地面上共线的三点C，D，E处测得点A的仰角分别为，且，则古塔高度约为（ ）（结果保留整数）（参考数据：） A. 69m B. 70m C. 73m D. 75m 10. 已知函数若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则______. 12. 写出一个同时具有下列性质的函数的解析式：__________. ①不是常函数 ②的最小正周期为2 ③不存在对称中心 13. 在中，为中线，，作，则等于__________. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 14. 设函数. （1）若，求的值； （2）已知在区间上单调递增，，，求，的值. 15. 如图，在中，为边上一点，且. （1）求； （2）若，求. 16. 设函数． （1）求函数的最小正周期T和单调递减区间． （2）在锐角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，求的取值范围． 17. 在中，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分． 18. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求实数的取值范围. 19. 设，且都是奇数，行列的数表满足：对任意的，都有.记，若，则称第行为“正行”，若，则称第列为“负列”，记中正行与负列的数目之和为. （1）设，直接写出的值； （2）求证：； （3）求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $