山东省日照市莒县第一中学2025-2026学年高三清北班开学考试模拟（二）数学试题

清北班高三开学考试模拟题数学（二） 一、单选题 1.已知集合A= 可，B=-3<以，则4UB=（） A.{x≤2或x23} B.-2<x<3}C.{0<x≤2}D.dx≤-2或x≥3) 2.设函数f(x)=a叫(a>0且a≠1)在区间1，+n)上单调递增，则a的取值范围是() A.(L2] B.[2,+∞) D.+) 3.已知等差数列和，}前”项和为3，若二=是 a13·则是=() B号 c.5 D 4.已知函数f(x)=log(x-a,aeR,则“a≤2”是“函数f(x)在L,+n)上单调递增”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.设函数f)=a--L8)=co受2，若函数)=f-8)在区间-上存在专点，则实数a的取 值范围是() A.a≤2B. sas1c.2<a≤2D.1<as2 6.函数f-（cos)血时在xe[元，0U(0,利的图象大致为（) 2x+sinx 7.若(x)的图象上存在两点A,B关于原点对称，则点对[A,B]称为函数∫(x)的友情点对（点对[A,B]与[B,A视 为同一个“友情点对.)若f(x)= x'Inx.x>0 恰有两个“友情点对”，则实数a的取值范围是() ar2,x≤0 A.(1,0) B.(0,1 C D.0. 8。已知等比数列和}的公比为子其前u项和为S,且4，马十4， ,a成等差数列，若对任意的n∈N”,均有 3 AsS-- ≤B恒成立，则B-A的最小值为() A.2 B. 10 6 c D 二、多选题 9.下列说法正确的是() A.命题p:xeR,x2-2x+1>0,则命题P的否定为3r∈R,x2-2x+1≤0 B.“ac2>bc2"是“a>b"成立的充要条件 试卷第1页，共4页 C.函数fx)=VR+2+ 的最小值是3巨 x2+2 2 D.“0<a<1”是“函数f(x)=d-log.寸的零点个数为2”成立的充要条件 10.直角△MBC中，斜边A=2,P为△MBC所在平面内-点，亚-如0丽+cos04C(其中9eR).则(） A.ABAC的取值范围是(0,4) B.点P经过△ABC的外心 C.点P所在轨迹的长度为2 D.PC(PA+PB)的取值范围是 1.已知函数f()及其导函数了四的定义域均为R,若(：)是偶函数，了0)=0/得)01)-1，且 Vx.yER.f(x+y)=f(x)f(y)-f'(x)f(y),( A.f(0)=2 B.[x)]+f']-1 C.fx+2π)=f(x) D.r+-2m4 三、填空题 12.曲线y=e在x=0处的切线恰好是曲线y=h(c+a)的切线，则实数a=一 13.若方程sin 2：一哥引言在@，司上的解为，则血5+5)的值为 14.函数f(x)的定义域为(-n,+o),其导函数为f'(x),若f(x)=f(-x-2sinx,且当x≥0时，f"(x)>-cosx, 则不等式fx+》+mx-c0s的解集为 四、解答题 1收定义城为R的酒数)产格是奇福数 (1)求实数ab的值： (②诺存在1(20)，使得+)+}0成立，求实数k的取值范围。 试卷第2页，共4页 16.记△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin(A+B)=csinB+C 2 (1)求A: (2)已知c=3,b=1,边BC上有一点D满足SAsD=3SAc,求AD. 17.已知数列{a},也}，a=(1)”+2”,b.=a1-a(2>0),且{b}为等比数列. (1)求元的值： (2)记数列bn}的前n项和为T.若T,T:=15T∈N),求1的值， 试卷第3页，共4页 18.已知函数f(x)=e+m2-3m+1,a∈R. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在x=1处切线的方程： (2)当a>1时，试判断f(x)在L,+)上零点的个数，并说明理由： (3)当x≥0时，f()≥0恒成立，求a的取值范围. 19.设函数)-=h+xe0, (1)试判断∫(x)的单调性： (2)证明：对任意∈(0,1)，有f(x)2f"()(x-x)+f(:),当且仅当x=x时等号成立 8泥知x,eR0=22=1,证明：3+（其中a=444a) 试卷第4页，共4页 《清北班高三开学考试模拟题数学（二）》参考答案 1-4BA085-8cD089hAc10.A8D11Bc12.213.2/05 8.B【详解】等比数列红的公比为子因为4，马于兰，马成等差数列，所以2x+4 —十￥寻之 -( 所以S 1-3 当n为奇数时， 223 易得单调减，且号所8双-2 当”为偶数时，8=； 223 所以S,的最大值与最小值分别为2， 3 42_1 11.BC【详解】法一、由题意可知f'(x)为R上奇函数，即f'(0)=0,f(x)+f(-x)=0, 令x=y=0→f(0)=f(0)f(0)-f'(0)f(0)=f(0)f(0)→f(0)=1 或0（舍去），故A错误；令y=-x→f0)=f()八-习-（八-9[í订[八打=， 故B正确：由条件可知+分-/引了"y{月了)， x+引fr月f(). 则有/小+月引-x+到引，所以+对=-八-寸，则/x+闭=，故c正确 由C:f(x+2)=f(x)→f(r+2r)=f(x),即f'(x)的一个周期为2n, 所以三/仔2%-2025/{-2025，故D错误 14.（F网 【详解】令h(x)=f(x)+inx,则h(-x)=f(-x)-imx, 又f(x)=f(-x)-2sinx,所以得f(x)+s血x=f(x)-si血x, 即h(-x)=h(c),所以h(x)为R上的偶函数， 答案第1页，共4页 又x≥0时，h()=f"()+cox>0,所以h(x)在[0，+n)上单调递增， 又h(x)为R上的偶函数，所以h(x)在(-n,O]上单调递减， 由fr+}f+血-cos,得/*到}am>+m,所以+}+》+a, 即+引6)，所以得+州，解得：子所以不等式/x+》f+血x-c0sx的解集为（年 15.(1)a=2,b=1(2)1<k<2 【详解】(2)由1)细)=号- 21+222+1 则由复合函数单调性可知f(x)在R上为减函数， 又（倒是奇函数.由+）+/什0得：0+)<-日-》 :t+3k>-},即t+>2-3k在1e(-2.0)上有解， 1(201+片-+}-2子2当且仅当1子，即1=-1时等号成立 y=t+在1e(←2,0)上的最大值为-2，-2>k-3k,即(k-1)(k-2)<01<k<2. 16.(①A=7aAD=35 4 【详解】(2)设∠8A=a,ADC=-a,由(1)知4-于 在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA,可知 aC=9+1-231分BC=V万又Sm=384m,可知BD=3DC.3 4 在△4BD中，AB'=BD+AD-2BDAD.cosa,即9=g+AD-3ADc0m,① 2 m山.1e2+AD-AD.cos(9’甲1162 21 24D-cosa. 联立①②解得AD-3E 4 17.(1)2(2)2【详解】(1)因为a=(-1)”+2”,则a=1,4=5,a,=7,4=17. 又b=am-a.,则b=a-1a=5-2,b=4-元g=7-5元，b=a-a=17-72. 因为也}为等比数列，则b=b·b,所以(7-5)=(5-)07-7)： 整理得2-1-2=0，解得2=-1或2. 因为2>0，故2=2.当2=2时，b,=a4-2a=(-1)+21-2[(-1)°+2] 0C042m2(-2”-36则会-。-1.放物为等比数所以A-2符合验 答案第2页，共4页 (2)b.·n2=-3×←）"n2, 当n为偶数时，T=-3×[-+2-3+4-52+6--0m-2+r]=-3×0+2++m）=弓n0+0: 3 当u为商数时，工=了。-点a+时=-+D0+3+0+-0+0. [3 0u+1),n=2k-1keN" 综上，T= 3 n(n+1).n=2kkEN' 12 因为TT2>0,又TT2=15T,故T>0,所以t为偶数 所以0+0+20+列-15×20+0+2，整理得产+3-10=0，解得1=2或i=-5(会).所以=2 18.(1)y=0(2)1个，理由见解析(3)(-m,] 【详解】(2)f①=e--2a+1,令m(x)=f'(x)=e+2m-3a,则f"①=ea-a, 当a>1时，m(x)=e+2a>0,则f(x)在1，+∞)上单调递增. 因为f")=ea-a<e-1=0,f"(a@=1+2a2-3a=(2a-10(a-1)>0,所以存在唯一的xe1,a,使得f(x)=0. 当xe(Lx。)时，f(x)<0,所以f(x)在[L,x)上单调递减：当xe(x,+o)时，f'(x)>0,所以fx)在(x,+n)上单 调递增.又f①)=e-2a+1<e°-2+1=0，所以f(x)<f0)<0,又f(3)=e+1>0, 所以当a>1时，f(x)在L,+∞)上有且只有一个零点. (3)①当a>1时，f0)=e-2a+1<e°-2+1=0，与当x≥0时，f()≥0矛盾，a>1不满足题意。 ②当a≤1时，f(0)=e+1>0,f"(x)=e+2-3a, 令m(c)=f(x),则m(x)=ea+2a,(0)=e+2a.记函数q(x)=e*+2x,xs1,则g(x)=-e*+2, 当x∈(-血2,1)时，q(x)>0,所以q(x)在(h2,1)单调递增： 当x∈(-，-ln2)时，q(x)<0,所以q()在(-n,-h2)单调递减，所以qx)≥q(-n2)=2-2ln2>0,所以(0)>0。 又因为m(x)在[0，+∞)上单调递增，所以m'(x)≥M(O)>0,所以∫(x)在[0，+)上单调递增. (i)若f"(0)=e-3a≥0，则'(x)≥f'(0)20,所以f(x)在[0，+)上单调递增，则f(x)≥f(0)>0,符合题意： (ii)若f"(0)=e°-3a<0,可得a>0,则0<as1.因为f"①)=e--a≥0，且f'(x)在[0，+o)上单调递增， 所以存在唯一的5∈(0，刂，使得∫(5)=0.当xe(0,x)时，f(x)<0,所以f(x)在(0，x)上单调递减， 当x∈(：，+n)时，f"(x)>0,所以f(x)在(5，+o)上单调递增， 答案第3页，共4页 其中x∈(0,1]，且e+2a-3a=0.所以fx)≥f(x)=e+a,2-3,+1 =3a-2m,+m2-3a,+1=m2-51+3a+1=a2-5x,+3}1, 因为x∈(0,1]，所以x2-5x+3e[-1,3).又因为a∈(0，，所以a(x-5x,+3)2-1, 所以f(x)≥0，满足题意结合①②可知，当a≤1时，满足题意.综上，a的取值范围为(-0， 19.(1)∫(x)在(0,1)上单调递增.(2)证明见解析(3)证明见解析 【详解】(2)令g(x)=f(x)-[f"(x)(x-x)+f(x], 则8()=f()-[f()-)+f(s]=0,g()=f(x)-f() 又：f'(x)在(0,1)上单调递增，.当0<x<x。<1时，f'(x)<f"()→g'(x)=f"(x)-f(x)<0: 当0<x。<x<1时，f()f(x)→g()=f(x)"(,)》0: 当x=x时，g'(x)=f(x)-f'(x)=0:所以函数g(x)在(0，x)上单调递减，在(x。,)上单调递增， 故g(x)在x=x处取最小值g(。),即g(x)≥g(x)=0, 从而f(x)-[f”()-x)+f(x]≥0，即f(x)2f(x)(x-x)+f(x) 6)0,要匹}小只满证别 即E空n}nh如+月四显监，当2时不等式四中等号立 令e)=+}e@1).由2)可知：o)≥月成立， 即：wr}n+月立，即：2}别 rw-++旧(}ma周 =r2x-n动ar}a+ 2g+ma动废立，从+度立 答案第4页，共4页