第二十七章 相似 单元测试2024-2025学年人教版九年级数学下册

人教版九年级下册 第二十七章 相似 单元测试 一、选择题 1.下列各组四边形中是相似多边形的是（        ） A.一组邻边为厘米和厘米与一组邻边为厘米和厘米的矩形 B.有一个内角为的两个菱形 C.边长分别为厘米和厘米的两个菱形 D.两个高相等的等腰梯形 2.将矩形按照如图所示的方式向外扩张得到新矩形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸，若所得新矩形与原矩形相似，则的值的个数可以是（    ） A.1 B.2 C.3 D.无数个 3.如图，△ABC与△A′B'C′位似，点O为位似中心．已知OA：OA′＝1：3，△ABC的周长为4，则△A′B'C′的周长为（　　） A.8 B.12 C.16 D.20 4.小刚身高180 cm，他站立在阳光下的影子长为90 cm，他把手臂竖直举起，此时影子长为115 cm，那么小刚的手臂超出头顶(　　) A.35 cm B.50 cm C.25 cm D.45 cm 5.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（　　） A.1.25尺 B.56.5尺 C.6.25尺 D.57.5尺 6.如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与△ABC相似的三角形是（　　） A.△ACD B.△ADF C.△BDF D.△CDE 7.如图，为了测量学校旗杆的高度，小芳在地面上水平放置了一面镜子，并向后退，直到刚好在镜子中看到旗杆的顶端，小芳立即记录了相关数据：她的眼睛距地面，她与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为．则旗杆的高度为（ ） A. B. C. D. 8.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，8），B（﹣10，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A.（﹣2，4） B.（﹣8，16） C.（﹣2，4）或（2，﹣4） D.（﹣8，16）或（8，﹣16） 如图，小康利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的长为，则放大后的矩形的面积为（　　） 9.        A. B. C. D. 10.在中，，把的各边进行下列变换：①各边的长度分别扩大为原来的3倍；②各边的长度分别缩小为原来的；③各边的长度分别增加2；④各边的长度分别平方．其中得到的三角形与相似的有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11.如图，线段，，分别表示人，竹竿，楼房的高度，且A，E，C在同一直线上.测得人和竹竿的水平距离为，人和楼房的水平距离为，人的高度为，竹竿的高度为，则楼房的高度是（     ） A. B. C. D. 12.如图，顶角为36°的等腰三角形,其底边与腰之比等于 k，这样的三角形叫做黄金三角形．已知腰长AB=1，△ ABC为第一个黄金三角形，△ BCD为第二个黄金三角形,△ CDE为第三个黄金三角形,以此类推……，第2020个黄金三角形的周长为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题 四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．若∠D=90°，∠B'=108°，∠C'=92°，则∠A=        °． 14.如果两个相似三角形周长的比是2∶3，那么它们的相似比是____________． 15.如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝，BD＝，则AB的长为　     　． 16.如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是    ． 已知菱形的边长为2， =60°，对角线，相交于点O．以点O为坐标原点，分别以，所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以为对角线作菱形∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形，„，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点，，，．．．．．．，，则点的坐标为________． 17.         三、解答题 18.如图，在平行四边形中，点在对角线上，且．           (1)求证：； (2)若，求的长． 19.请在如图的正方形网格纸中，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍．(画一个即可)． 20.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．                    与是位似图形，位似中心是点E，请在图中标出点E的位置， 并写出点E的坐标； (2)以点为位似中心，将放大为原来的2倍得到（其中与A，与B，与C是对应点，并且每对对应点分别在点D的同侧）． 21.如图，平面直角坐标系中点是的边上的任意一点．                (1)以点为位似中心，在M点的右侧把△按放大得，画出；直接写出的边上与点的对应点的坐标． (2)将绕逆时针转90º得，画出，求旋转过程中线段在平面上扫过部分的面积（用表示） 22.已知MN∥EF∥BC，点A、D为直线MN上的两动点，AD＝a，BC＝b，AE：ED＝m：n． （1）当点A、D重合，即a＝0时（如图1），试求EF．（用含m，n，b的代数式表示） （2）请直接应用（1）的结论解决下面问题：当A、D不重合，即a≠0， ①如图2这种情况时，试求EF．（用含a，b，m，n的代数式表示） ②如图3这种情况时，试猜想EF与a、b之间有何种数量关系？并证明你的猜想． 人教版九年级下册 第二十七章 相似 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.下列各组四边形中是相似多边形的是（        ） A.一组邻边为厘米和厘米与一组邻边为厘米和厘米的矩形 B.有一个内角为的两个菱形 C.边长分别为厘米和厘米的两个菱形 D.两个高相等的等腰梯形 【答案】B 【解析】解：B菱形一个内角确定，则每个内角都可以确定下来，同时，菱形四边相等，对应成比例，是相似多边形，则B选项符合题意； A选项边不对应成比例，不是相似多边形，则A选项不符合题意； C选项菱形有不稳定性，形状不固定，不是相似多边形，则C选项不符合题意； D选项等腰梯形形状不固定，不是相似多边形，则D选项不符合题意． 故选：B 2.将矩形按照如图所示的方式向外扩张得到新矩形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸，若所得新矩形与原矩形相似，则的值的个数可以是（    ） A.1 B.2 C.3 D.无数个 【答案】D 【解析】解：新矩形与原矩形相似，因此可得到对应边成比例，对应角相等，与a的取值无关， 故选：D． 3.如图，△ABC与△A′B'C′位似，点O为位似中心．已知OA：OA′＝1：3，△ABC的周长为4，则△A′B'C′的周长为（　　） A.8 B.12 C.16 D.20 【答案】B 【解析】∵△ABC与△A′B'C′位似，∴△ABC∽△A′B'C′，AB∥A′B′， ∴△OAB∽△OA′B′，∴＝＝， ∴△ABC的周长：△A′B'C′的周长＝1：3， ∵△ABC的周长为4， ∴△A′B'C′的周长为12， 故选：B． 4.小刚身高180 cm，他站立在阳光下的影子长为90 cm，他把手臂竖直举起，此时影子长为115 cm，那么小刚的手臂超出头顶(　　) A.35 cm B.50 cm C.25 cm D.45 cm 【答案】B 【解析】设手臂竖直举起时总高度x m，则＝，解得x＝50 cm.故选B. 5.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（　　） A.1.25尺 B.56.5尺 C.6.25尺 D.57.5尺 【答案】D 【解析】依题意有△ABF∽△ADE， ∴AB：AD＝BF：DE， 即5：AD＝0.4：5，解得AD＝62.5，BD＝AD−AB＝62.5−5＝57.5（尺）． 故选：D． 6.如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与△ABC相似的三角形是（　　） A.△ACD B.△ADF C.△BDF D.△CDE 【答案】C 【解析】由网格可知：AB＝2，BC＝4，AC＝2，BD＝1，DF＝，BF＝， 则＝＝＝，故与△ABC相似的三角形是△BDF． 故选：C． 7.如图，为了测量学校旗杆的高度，小芳在地面上水平放置了一面镜子，并向后退，直到刚好在镜子中看到旗杆的顶端，小芳立即记录了相关数据：她的眼睛距地面，她与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为．则旗杆的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：如图，由题意得， 根据镜面反射可知： △ACB~△ECD 即 故选：D． 8.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，8），B（﹣10，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A.（﹣2，4） B.（﹣8，16） C.（﹣2，4）或（2，﹣4） D.（﹣8，16）或（8，﹣16） 【答案】C 【解析】∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小， ∴点A的对应点A′的坐标是（﹣4×，8×）或[﹣4×（﹣），8×（﹣）]， 即点A′的坐标为（﹣2，4）或（2，﹣4）． 故选：C． 如图，小康利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的长为，则放大后的矩形的面积为（　　） 9.        A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：设放大后的宽是， ∵放大前后的两个矩形相似， ∴， ∴， ∴放大后的宽是， 放大后的矩形的面积． 故选：． 10.在中，，把的各边进行下列变换：①各边的长度分别扩大为原来的3倍；②各边的长度分别缩小为原来的；③各边的长度分别增加2；④各边的长度分别平方．其中得到的三角形与相似的有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】解：①各边的长度分别扩大为原来的3倍，新三角形与△ABC三边对应之比为3:1，相似，故选项符合题意； ②各边的长度分别缩小为原来的，新三角形与△ABC三边对应之比为1:3，相似， 故选项符合题意； ③各边的长度分别增加2，新三角形与△ABC三边对应之比不相等，不相似， 故选项不符合题意； ④各边的长度分别平方，新三角形与△ABC三边对应之比不相等，不相似， 故选项不符合题意； ∴只有①②满足， 故选B． 11.如图，线段，，分别表示人，竹竿，楼房的高度，且A，E，C在同一直线上.测得人和竹竿的水平距离为，人和楼房的水平距离为，人的高度为，竹竿的高度为，则楼房的高度是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：过点作，交于点， 由题意得：，，，，，，， 由题意可知，， ∴， ∴ ∴． 故选：B． 12.如图，顶角为36°的等腰三角形,其底边与腰之比等于 k，这样的三角形叫做黄金三角形．已知腰长AB=1，△ ABC为第一个黄金三角形，△ BCD为第二个黄金三角形,△ CDE为第三个黄金三角形,以此类推……，第2020个黄金三角形的周长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解;∵AB=AC=1， ∴△ABC的周长为2+k； △BCD的周长为k+k+k2=k（2+k）； △CDE的周长为k2+k2+k3=k2（2+k）； 依此类推，第2020个黄金三角形的周长为； 故答案为：C． 二、填空题 四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．若∠D=90°，∠B'=108°，∠C'=92°，则∠A=        °． 【答案】70 【解析】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'， ∴， ∵∠D=90°，∠B'=108°，∠C'=92°， ∴∠A=360°-90°-108°-92°=70°， 故答案为：70． 14.如果两个相似三角形周长的比是2∶3，那么它们的相似比是____________． 【答案】2∶3 【解析】∵两个相似三角形周长的比是2∶3，∴两个相似三角形相似比是2∶3. 15.如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝，BD＝，则AB的长为　     　． 【答案】3 【解析】由垂径定理得HD＝，由勾股定理得HB＝1， 设圆O的半径为R，在Rt△ODH中， 则R2＝（ ）2+（ R﹣1）2，由此得2R＝3， 或由相交弦定理得（ ）2＝1×（ 2R﹣1），由此得2R＝3， 所以AB＝3． 16.如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是    ． 【答案】4 【解析】解：由图可知，点在直尺的0刻度上，点在直尺的3刻度上，直尺的5刻度表示的数为8，图中的虚线相互平行， 点在数轴上表示的数是， 设点在数轴上表示的数为， ，即， 解得：，即点在数轴上表示的数为4， 故答案为：4． 【解析】解：由图可知，点在直尺的0刻度上，点在直尺的3刻度上，直尺的5刻度表示的数为8，图中的虚线相互平行， 点在数轴上表示的数是， 设点在数轴上表示的数为， ，即， 解得：，即点在数轴上表示的数为4， 故答案为：4． 已知菱形的边长为2， =60°，对角线，相交于点O．以点O为坐标原点，分别以，所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以为对角线作菱形∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形，„，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点，，，．．．．．．，，则点的坐标为________． 17.         【答案】（3n－1，0）． 【解析】解：∵菱形的边长为2， =60°，∴=2，∴=1，∴点A1的坐标为（1，0），∵=1，∴=，∴=3，点A2的坐标为（3，0）， 即（32－1，0）， 同理可得： 点A3的坐标为（9，0），即（33－1，0）， 点A4的坐标为（27，0），即（34－1，0）， ……… ∴点An的坐标为（3n－1，0）．故答案为（3n－1，0）． 三、解答题 18.如图，在平行四边形中，点在对角线上，且．           (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∴（负值已舍去）． 【解析】 19.请在如图的正方形网格纸中，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍．(画一个即可)． 【答案】解：如图所示：(只要做对一个即可) 【解析】 20.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．                    与是位似图形，位似中心是点E，请在图中标出点E的位置， 并写出点E的坐标； (2)以点为位似中心，将放大为原来的2倍得到（其中与A，与B，与C是对应点，并且每对对应点分别在点D的同侧）． 【答案】 解：（1）点E的位置如下图所示：             由图知，点E的坐标为． （2）得到如图所示：         【解析】 21.如图，平面直角坐标系中点是的边上的任意一点．                (1)以点为位似中心，在M点的右侧把△按放大得，画出；直接写出的边上与点的对应点的坐标． (2)将绕逆时针转90º得，画出，求旋转过程中线段在平面上扫过部分的面积（用表示） 【答案】 解：（1）如图所示，即为所求； 由位似图形的性质可得点的对应点的横坐标为， 纵坐标为， ∴；           （2）解：如图所示，即为所求； 由旋转的性质得到，， ∴旋转过程中线段在平面上扫过部分的面积 ．             【解析】 22.已知MN∥EF∥BC，点A、D为直线MN上的两动点，AD＝a，BC＝b，AE：ED＝m：n． （1）当点A、D重合，即a＝0时（如图1），试求EF．（用含m，n，b的代数式表示） （2）请直接应用（1）的结论解决下面问题：当A、D不重合，即a≠0， ①如图2这种情况时，试求EF．（用含a，b，m，n的代数式表示） ②如图3这种情况时，试猜想EF与a、b之间有何种数量关系？并证明你的猜想． 【答案】解：（1）∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC，∴ ∵，∴， 又BC＝b， ∴，∴EF＝； （2）①解：如图，连接BD，与EF交于点H， 由（1）知，HF＝，EH＝， ∵EF＝EH+HF， ∴EF＝； ②猜想：EF＝， 证明：连接DE，并延长DE交BC于G， 由已知得：BG＝，EF＝， ∵GC＝BC﹣BG， ∴EF＝（BC﹣BG）＝． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$