非对称圆锥曲线问题 微专题复习学案-2025届高三数学二轮复习

非对称圆锥曲线问题微专题复习学案 班级：________ 学号：________ 姓名：________ 学习目标 1. 明晰非对称圆锥曲线问题中的运算对象，掌握联立直线与圆锥曲线方程、运用韦达定理等基本运算方法。 1. 学会对非对称形式的运算对象进行转化，掌握减少变量、利用图形特征和几何性质等运算技巧，提高解题效率。 1. 能够构建知识网络，将不同数学知识融会贯通，探索更简便的运算路径，提升在综合情境中解决问题的能力。 核心素养 · 数学运算：在解决非对称圆锥曲线问题中，理解运算对象、掌握运算法则、探索运算思路、求得运算结果。 · 逻辑推理：通过对问题的分析、转化和推理，形成解题思路，得出正确结论。 · 直观想象：结合图形特征和几何性质，辅助分析问题，理解运算对象之间的关系。 【知识梳理】 一、核心知识框架梳理 （1）相关问题涉及的基本概念：椭圆的标准方程、直线的方程、斜率的定义、韦达定理等。 （2）关键公式：椭圆（）的性质相关公式，直线斜率公式等。 （3）常见问题模型：直线与椭圆相交形成的斜率关系定值问题等。 （4）重要数学思想方法：转化与化归思想（将非对称形式转化为对称形式）、设而不求思想（借助韦达定理简化运算）等。 二、解题思路步骤 ①针对非对称圆锥曲线问题的具体解题步骤1：明晰问题中的运算对象，如本题中，联立直线与椭圆方程，得到关于交点坐标的方程，运用韦达定理表示出根与系数的关系。 ②针对非对称圆锥曲线问题的具体解题步骤2：当遇到非对称形式时，尝试进行转化，如通过变形将式子向韦达定理靠拢、减少变量、利用图形特征和几何性质等，找到简便的运算路径，进而求解。 【提出问题】 问题：已知椭圆的左、右顶点分别为、，右焦点为。过点的直线与椭圆交于、（点在轴上方），设直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。 【变式训练】 1．已知椭圆经过点，点为椭圆的上顶点，且直线与直线相互垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若不垂直轴的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点在轴上方)，直线分别与轴交于两点，为坐标原点，求证：. 2．已知椭圆：（）过点，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程. 3．已知点，动点M满足，动点的轨迹记为. (1)求的方程； (2)若不垂直于轴的直线过点，与交于两点（点在轴的上方），分别为在轴上的左、右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 【课堂总结】 1. 解题方法： · 基本方法：联立直线与椭圆方程，得到一元二次方程，利用韦达定理表示出交点纵坐标的和与积；明确斜率表达式，根据斜率关系确定运算对象，进而求解。 · 转化方法：当运算对象为非对称形式时，可通过变形向韦达定理靠拢、减少变量（如利用韦达定理转化消元）、利用图形特征和几何性质（如椭圆上点与顶点连线斜率的关系）等方式将其转化为便于计算的形式。 1. 解题思路：首先剖析问题，确定运算对象；然后根据运算对象的特点选择合适的运算方法，若遇到非对称形式则进行转化；最后通过计算得出结果。 1. 解题步骤： · 第一步：分析题目条件，确定椭圆的顶点、焦点坐标，设出直线方程和交点坐标。 · 第二步：联立直线与椭圆方程，得到一元二次方程，利用韦达定理求出交点纵坐标的和与积。 · 第三步：根据直线斜率公式表示出相关斜率，结合斜率关系确定运算对象。 · 第四步：针对运算对象的形式，选择合适的方法进行计算或转化，如直接代入求根、向韦达定理靠拢、减少变量、利用图形性质等，进而求出常数的值。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 问题解答： 前期准备 由椭圆方程，可得，，，则右焦点，左顶点，右顶点。 设直线的方程为，设，。 联立直线与椭圆方程，消去可得： 由韦达定理得：，，且恒成立。 直线，的斜率分别为，。假设存在满足，即，则。 进一步推导可得：（*） 解法一：直接求根代入 根据一元二次方程求根公式，对于方程，有： 因为点在轴上方，所以，。 将、代入（*）式可得：，则，即。 解法二：向韦达定理靠拢化简 对（*）式进行变形： 将，代入上式： 所以，即。 解法三：减少变量，双参变单参 由韦达定理，可得，即，则。 将代入（*）式： 因此，即。 解法四：利用图形特征和几何性质转化 因为在椭圆上，所以，即。 则，即。 所以。 又因为，，所以，。 代入上式可得： 故，即。 解法五：运用极点、极线相关知识 椭圆，焦点对应的极线为，即。 设，则，。 所以，则，即。 综上，存在常数，使得。 变式训练答案 1．（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）依题意求得，由直线与直线垂直求得，进而得椭圆方程； （2）依题意设直线，与椭圆方程联立，进而得，结合韦达定理可得结果. 【详解】（1）由，得. 直线与直线相互垂直，则，解得. 所以椭圆的方程为. （2）依题意设直线， 联立和椭圆的方程得：， 设，则有. ，令，则，同理：. 所以. 则， 分子，所以. 2．(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）利用椭圆过点，离心率，结合，即可得解； （2）由题意得直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理及求根公式可求得，联立直线的方程与直线的方程，化简可求得直线与的交点在定直线上． 【详解】（1）由椭圆过点，且离心率为，所以， 解得， 故所求的椭圆方程为． （2）由题意得，， 直线的方程，设， 联立，整理得， 由，即， 所以，. 由求根公式可知，不妨设，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立，得， 代入，得， 解得，即直线与的交点在定直线上.    【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键点是求出直线、直线的方程，然后方程联立利用韦达定理求出答案. 3．(1) (2)是定值， 【分析】（1）利用椭圆的定义即可得解； （2）联立直线与椭圆的方程得到，从而将转化为关于的表达式，进而整理化简即可得解. 【详解】（1）因为， 所以的轨迹是以为焦点，且长轴长为4的椭圆， 设的轨迹方程为，则，可得． 又，所以，所以的方程为． （2）依题意，设直线， 联立，消去得． 易知，且． 由， 得． （方法一） 因为，所以， 所以， 所以为定值，且定值为． （方法二） 因为， 所以， 所以为定值，且定值为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$