提优微专题 概率与函数、导数的综合问题 导学案 - 2025届高三数学二轮复习

2025届高三第二轮微专题复习讲义 朴·实·沉·毅 【二轮复习 提优微专题】 概率与函数、导数的综合问题 导学案 授课班级：G22xx班 授课老师：刘老师 1、 学习目标 1. 理解概率模型与函数、导数的内在关联，能分析多变量概率问题中的数据关系与约束条件. 2. 掌握构建概率均值最值问题的数学模型方法，熟练运用函数表达式描述概率分布特征. 3. 提升通过导数工具求解概率极值问题的能力，能结合不等式优化复杂情境下的决策方案. 2、 重点难点 重点：建立概率事件与函数关系的数学模型，明确变量间的依赖性与约束条件转化路径; 难点：多知识融合下复杂概率最值问题的动态分析，尤其是高维数据或非线性约束的优化处理. 3、 学习过程 1. 例题分析 角度一：利用作商法求概率的最值问题 例题1. 某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35，时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”． (1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率． (2)若该市所有教师的学习时长近似地服从正态分布，其中为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五人到整数）； ②若从该市随机抽取的名教师中恰有名教师的学习时长在内，则为何值时，的值最大？ 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 角度二：利用导数求概率的最值问题 例题2. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得分，出现两次音乐获得分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得分，设备次击鼓出现音乐的概率为.且各次击鼓出现音乐相互独立. (1)若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为，求的最大值点； (2)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.设每盘游戏的得分为随机变量；请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 角度三：利用二项式定理的估算（放缩法）求概率的最值问题 例题3. 某电子工厂生产一种电子元件，产品出厂前要检出所有次品.已知这种电子元件次品率为0.01，且这种电子元件是否为次品相互独立.现要检测3000个这种电子元件，检测的流程是：先将这3000个电子元件分成个数相等的若干组，设每组有个电子元件，将每组的个电子元件串联起来，成组进行检测，若检测通过，则本组全部电子元件为正品，不需要再检测；若检测不通过，则本组至少有一个电子元件是次品，再对本组个电子元件逐一检测. （1）当时，估算一组待检测电子元件中有次品的概率； （2）设一组电子元件的检测次数为，求的数学期望； （3）估算当为何值时，每个电子元件的检测次数最小，并估算此时检测的总次数（提示：利用进行估算）. 角度四：求解二项分布的概率的最值问题 例题4. 某社区100名居民参加2019年国庆活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按，，，，分组，得到的频率分布直方图如图所示. (1)求a的值，并估计该社区参加2019年国庆活动的居民的年龄中位数； (2)现从年龄在，的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X表示参与座谈的居民的年龄在的人数，求X的分布列和数学期望； (3)若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地30岁至80岁之间的市民中抽取20名进行调查，其中有k名市民的年龄在的概率为（，1，2，…，20），当最大时，写出k的值.（不用说明理由） 角度五：函数建模与概率统计的综合问题 例题5. 某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产万件的该种产品所需要的总成本（万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在，，，，，，（单位：）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示. 产品的品质情况和相应的价格（元/件）与年产量之间的函数关系如下表所示. 产品品质 立品尺寸的范围 价格与产量的函数关系式 优 中 差 以频率作为概率解决如下问题： （1）求实数的值； （2）当产量确定时，设不同品质的产品价格为随机变量，求随机变量的分布列； （3）估计当年产量为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值. 2. 提升练习 (1) 某家畜研究机构发现每头成年牛感染H型疾病的概率是，且每头成年牛是否感染H型疾病相互独立． （1）记头成年牛中恰有头感染H型疾病的概率是，求当概率取何值时，有最大值？ （2）若以（1）中确定的值作为感染H型疾病的概率，设头成年牛中恰有头感染H型疾病的概率是，求当为何值时，有最大值？ (2) 为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域.现随机抽取了某阅读区500本图书的分类归还情况，数据统计如下（单位：本）. 文学类专栏 科普类专栏 其他类专栏 文学类图书 100 40 10 科普类图书 30 200 30 其他图书 20 10 60 （1）根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率； （2）根据统计数据估计图书分类错误的概率； （3）假设文学类图书在“文学类专栏”、“科普类专栏”、“其他类专栏”的数目分别为，，，其中，，，当，，的方差最大时，求，的值，并求出此时方差的值. (3) 台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得： 44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? (3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）. 附：①相关系数， 回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，，. (4) 2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到颗番石榴（不妨设颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前颗番石榴，自第颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为. (1)若，求； (2)当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值. （取） (5) 某地政府为了帮助当地农民脱贫致富,开发了一种新型水果类食品,该食品生产成本为每件8元.当天生产当天销售时,销售价为每件12元,当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂,每件只能卖5元.每天的销售量与当天的气温有关,根据市场调查,若气温不低于,则销售5000件;若气温位于,则销售3500件;若气温低于,则销售2000件.为制定今年8月份的生产计划,统计了前三年8月份的气温范围数据,得到下面的频数分布表: 气温范围 (单位:) 天数 4 14 36 21 15 以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率. (1)求今年8月份这种食品一天销售量(单位:件)的分布列和数学期望值; (2)设8月份一天销售这种食品的利润为(单位:元),当8月份这种食品一天生产量(单位:件)为多少时,的数学期望值最大,最大值为多少 (6) 教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立． （1）若，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率； （2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应的值． 4、 课堂小结 5、 课后作业 作业一：更正、总结今天课堂上的例题和练习题 作业二：完成配套的《概率与函数、导数的综合问题的作业小卷》 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高三第二轮微专题复习讲义 朴·实·沉·毅 【二轮复习 提优微专题】 概率与函数、导数的综合问题 导学案 授课班级：G22xx班 授课老师：刘老师 1、 学习目标 1. 理解概率模型与函数、导数的内在关联，能分析多变量概率问题中的数据关系与约束条件. 2. 掌握构建概率均值最值问题的数学模型方法，熟练运用函数表达式描述概率分布特征. 3. 提升通过导数工具求解概率极值问题的能力，能结合不等式优化复杂情境下的决策方案. 2、 重点难点 重点：建立概率事件与函数关系的数学模型，明确变量间的依赖性与约束条件转化路径; 难点：多知识融合下复杂概率最值问题的动态分析，尤其是高维数据或非线性约束的优化处理. 3、 学习过程 1. 例题分析 角度一：利用作商法求概率的最值问题 例题1. 某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35，时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”． (1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率． (2)若该市所有教师的学习时长近似地服从正态分布，其中为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五人到整数）； ②若从该市随机抽取的名教师中恰有名教师的学习时长在内，则为何值时，的值最大？ 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1) (2)①841；②14 【详解】（1）设事件“抽取的3名教师中恰有2名教师是研修先进个人”为． 由题知样本中学习时长不低于80小时的人数为3，时长低于80小时的人数为7， 则， 所以这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率为． （2）①由样本数据知，． 因为， 所以， 所以，学习时长不低于50小时的教师人数为841. ②每名教师的学习时长在内的概率为， 由题意可知，则， 设，则． 令，得，所以当时，， 令，得，所以当时，， 所以当时，最大，即使最大的的值为14． 角度二：利用导数求概率的最值问题 例题2. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得分，出现两次音乐获得分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得分，设备次击鼓出现音乐的概率为.且各次击鼓出现音乐相互独立. (1)若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为，求的最大值点； (2)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.设每盘游戏的得分为随机变量；请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题可知，一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为 ， ，由得，或(舍)， 当时，；当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，有最大值，即的最大值点； （2）由题可设每盘游戏的得分为随机变量，则的可能值为， ， ， 所以 ， 令，则， 所以在单调递增； ∴，故有， 这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知： 许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少. 角度三：利用二项式定理的估算（放缩法）求概率的最值问题 例题3. 某电子工厂生产一种电子元件，产品出厂前要检出所有次品.已知这种电子元件次品率为0.01，且这种电子元件是否为次品相互独立.现要检测3000个这种电子元件，检测的流程是：先将这3000个电子元件分成个数相等的若干组，设每组有个电子元件，将每组的个电子元件串联起来，成组进行检测，若检测通过，则本组全部电子元件为正品，不需要再检测；若检测不通过，则本组至少有一个电子元件是次品，再对本组个电子元件逐一检测. （1）当时，估算一组待检测电子元件中有次品的概率； （2）设一组电子元件的检测次数为，求的数学期望； （3）估算当为何值时，每个电子元件的检测次数最小，并估算此时检测的总次数（提示：利用进行估算）. 【答案】（1）0.05   （2）   （3）   600次 【详解】（1）设事件：一组待检测电子元件中由次品，则事件表示一组待检测电子元件中没有次品； 因为 所以 （2）依题意，的可能取值为 分布列如下： 1 所以的数学期望为： （3）由（2）可得：每个元件的平均检验次数为： 因为 当且仅当时，检验次数最小 此时总检验次数（次） 角度四：求解二项分布的概率的最值问题 例题4. 某社区100名居民参加2019年国庆活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按，，，，分组，得到的频率分布直方图如图所示. (1)求a的值，并估计该社区参加2019年国庆活动的居民的年龄中位数； (2)现从年龄在，的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X表示参与座谈的居民的年龄在的人数，求X的分布列和数学期望； (3)若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地30岁至80岁之间的市民中抽取20名进行调查，其中有k名市民的年龄在的概率为（，1，2，…，20），当最大时，写出k的值.（不用说明理由） 【答案】(1)，；(2)分布列见解析，期望为；(3) 【详解】（1）由题意，， 年龄在间的频率为，而间的频率为， 设中位为，则，． 所以年龄中位数为， （2）由频率分布直方图知，年龄在，的人员比为，因此抽取的8人中，年龄在的有6人，在的有2人，从这8人中抽取3人，X表示参与座谈的居民的年龄在的人数，则的可能值是， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 ； （3）用样本的频率代替概率，从中任取1名人员，年龄在的概率为， 则， 由，解得，，所以， 所以时，最大． 角度五：函数建模与概率统计的综合问题 例题5. 某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产万件的该种产品所需要的总成本（万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在，，，，，，（单位：）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示. 产品的品质情况和相应的价格（元/件）与年产量之间的函数关系如下表所示. 产品品质 立品尺寸的范围 价格与产量的函数关系式 优 中 差 以频率作为概率解决如下问题： （1）求实数的值； （2）当产量确定时，设不同品质的产品价格为随机变量，求随机变量的分布列； （3）估计当年产量为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值. 【答案】（1）；（2）见解析（3）年产量时，该公司年利润取得最大值，最大利润为138万. 【详解】解：（1）由题意得，解得； （2）当产品品质为优时频率为，此时价格为； 当产品品质为中时频率为，此时价格为； 当产品品质为差时频率为，此时价格为； 以频率作为概率，可得随机变量的分布列为： 0.5 0.2 0.3 （3）设公司年利润为，则 整理得， 显然当时，，时，， ∴当年产量时，取得最大值. 估计当年产量时，该公司年利润取得最大值，最大利润为138万. 2. 提升练习 (1) 某家畜研究机构发现每头成年牛感染H型疾病的概率是，且每头成年牛是否感染H型疾病相互独立． （1）记头成年牛中恰有头感染H型疾病的概率是，求当概率取何值时，有最大值？ （2）若以（1）中确定的值作为感染H型疾病的概率，设头成年牛中恰有头感染H型疾病的概率是，求当为何值时，有最大值？ 【答案】（1）当概率时，有最大值；（2）当时，有最大值． 【详解】（1）依题意，头成年牛中恰有头感染H型疾病的概率是 ，且． 则有 ， 令，结合，解得． 则当时，；当时，． 即函数在上单调递增，在上单调递减， 故当概率时，有最大值． （2）头成年牛中恰有头感染H型疾病的概率是 （）， 由（1）知， 所以 ， 所以当，即时，，， 当，即（，且）时，， 于是， 所以当时，有最大值． (2) 为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域.现随机抽取了某阅读区500本图书的分类归还情况，数据统计如下（单位：本）. 文学类专栏 科普类专栏 其他类专栏 文学类图书 100 40 10 科普类图书 30 200 30 其他图书 20 10 60 （1）根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率； （2）根据统计数据估计图书分类错误的概率； （3）假设文学类图书在“文学类专栏”、“科普类专栏”、“其他类专栏”的数目分别为，，，其中，，，当，，的方差最大时，求，的值，并求出此时方差的值. 【答案】（1）（2）（3）当，时，取最大值 【详解】解： （1）由题意可知，文学类图书共有本，其中正确分类的有100本 所以文学类图书分类正确的概率 （2）图书分类错误的共有本，因为图书共有500本， 所以图书分类错误的概率 （3），，的平均数 所以方差 ∵，，∴当，时，取最大值. (3) 台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得：    44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? (3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）. 附：①相关系数， 回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，，. 【答案】(1)模型②的拟合程度更好 (2)，当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆） (3)0.3 【详解】（1）解：设模型①和②的相关系数分别为，. 由题意可得：， . 所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好. （2）因为， 又由，， 得， 所以，即回归方程为. 当时，， 因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）. （3）净利润为，， 令， 所以. 可得在上为增函数，在上为减函数. 所以， 由题意得：，即， ， 即该公司年净利润大于1000（百万元）的概率为0.3. (4) 2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到颗番石榴（不妨设颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前颗番石榴，自第颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为. (1)若，求； (2)当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值. （取） 【答案】(1)；(2)的最大值为，此时的值为. 【详解】（1）依题意，4个番石榴的位置从第1个到第4个排序，有种情况， 要摘到那个最大的番石榴，有以下两种情况： ①最大的番石榴是第3个，其它的随意在哪个位置，有种情况； ②最大的番石榴是最后1个，第二大的番石榴是第1个或第2个，其它的随意在哪个位置，有种情况， 所以所求概率为. （2）记事件表示最大的番石榴被摘到，事件表示最大的番石榴排在第个，则， 由全概率公式知：， 当时，最大的番石榴在前个中，不会被摘到，此时； 当时，最大的番石榴被摘到，当且仅当前个番石榴中的最大一个在前个之中时，此时， 因此， 令，求导得，由，得， 当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 则，于是当时，取得最大值， 所以的最大值为，此时的值为. (5) 某地政府为了帮助当地农民脱贫致富,开发了一种新型水果类食品,该食品生产成本为每件8元.当天生产当天销售时,销售价为每件12元,当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂,每件只能卖5元.每天的销售量与当天的气温有关,根据市场调查,若气温不低于,则销售5000件;若气温位于,则销售3500件;若气温低于,则销售2000件.为制定今年8月份的生产计划,统计了前三年8月份的气温范围数据,得到下面的频数分布表: 气温范围 (单位:) 天数 4 14 36 21 15 以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率. (1)求今年8月份这种食品一天销售量(单位:件)的分布列和数学期望值; (2)设8月份一天销售这种食品的利润为(单位:元),当8月份这种食品一天生产量(单位:件)为多少时,的数学期望值最大,最大值为多少 【答案】（1）见解析，； （2）当时，的数学期望达到最大值，最大值为. 【详解】(1)今年8月份这种食品一天的销量的可能取值为2000、3500、5000件, 于是的分布列为: 2000 3500 5000 0.2 0.4 0.4 的数学期望为. (2)由题意知,这种食品一天的需求量至多为5000件,至少为2000件, 只需要考虑, 当时, 若气温不低于30度,则; 若气温位于,则; 若气温低于25度,则; 此时, 当时, 若气温不低于25度,则; 若气温低于25度,则; 此时; 时,的数学期望达到最大值,最大值为. (6) 教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立． （1）若，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率； （2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应的值． 【答案】(1) (2) 最高费用为万元．对应． 【详解】（1）因为一篇学术论文初评被认定为“存在问题学术论文”的概率为， 一篇学术论文复评被认定为“存在问题学术论文”的概率为， 所以一篇学术论文被认定为“存在 问题学术论文”的概率为 ． ∴时， 所以抽检一篇的学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为． （2）设每篇学术论文的评审费为元，则的可能取值为900，1500． ，， 所以． 令，，． 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以的最大值为． 所以评审最高费用为（万元）．对应． 4、 课堂小结 5、 课后作业 作业一：更正、总结今天课堂上的例题和练习题 作业二：完成配套的《概率与函数、导数的综合问题的作业小卷》 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$