第一章 三角形　习题课件 2025-2026学年鲁教版（五四制）（2024）数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“三角形及其内角和”，涵盖三角形的概念、基本元素、符号表示及内角和定理。通过“列清单·划重点”梳理核心知识，从定义引入到定理探究，搭建从认识到应用的学习支架，帮助学生衔接前后内容。 其亮点在于融合数学眼光与思维，以“明考点·识方法”呈现典例（如常州中考题）和变式练习（如三角板放置问题），培养几何直观与推理意识。讲练结合助力学生深化理解，教师可高效开展教学，提升课堂效果。

第一章 三角形 1　认识三角形 第1课时　三角形及其内角和 知识点1 三角形的有关概念 1．定义：由不在_____直线上的三条线段首尾_____相接所组成 的图形叫作三角形． 2．基本元素：组成三角形的_____叫作三角形的边，相邻两边的 _____端点叫作三角形的顶点，_____两边组成的角叫作三角形的 内角． 同一 顺次 线段 公共 相邻 3．三角形的符号表示：三角形用符号“△”表示，顶点是A，B， C的三角形，记作“______”，读作“三角形ABC”． △ABC 知识点2 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于______． 180° 考点1 三角形的概念 典例1 图中共有三角形__个，其中以AE为边的三角形有__个． 8 2 思路导析 观察图形，先找出图中基本的三角形：△BDO，△ABO， △AOE，再找出复合组成的三角形即可；利用前面的结论即可得 到以AE为边的三角形． 变式1 [2024·花溪区期中]以下由三条线段组成的图形中是三角形的是( ) 变式2 [2024·确山县期中]观察图形，回答问题． (1)图中共有多少个三角形？ (2)写出其中以EC为边的三角形； (3)若有一个公共角的两个三角形称为一对 “共角三角形”，则以∠B为公共角的 “共角三角形”有哪些？ 解：(1)图中有△BDE，△CDE，△ACE，△BCE，△ABC，共5个三角形； (2)以EC为边的三角形有：△ACE，△DCE，△BCE； (3)以∠B为公共角的“共角三角形”有：△BDE与△BCE，△ABC与△BCE，△BDE与△ABC. 考点2 三角形内角和定理 典例2 [常州中考]如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上， ∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，则∠AED＝____°. 100 思路导析 利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可． 解：设∠A＝x°，则∠B＝2x°，∠C＝3x°， 因为三角形的内角和为180°， 所以x＋2x＋3x＝180， 所以x＝30. 所以∠A＝30°， ∠B＝60°，∠C＝90°. 变式2 [2024·十堰改编]一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，求∠DFC的度数． 解：如图，设AC与DF交于点G， 由题意，得∠BAC＝60°， ∠C＝30°，∠D＝45°， 因为∠EAB＝35°， 所以∠CAD＝180°－∠EAB－∠BAC＝85°， 所以∠AGD＝180°－∠D－∠CAD＝50°， 所以∠CGF＝∠AGD＝50°， 所以∠DFC＝180°－∠C－∠CGF＝100°. 变式1 已知：△ABC中，∠A＝eq \f(1,2)∠B＝eq \f(1,3)∠C，求△ABC各内角的度数． $$3　探索三角形全等的条件 第1课时　“边边边” 知识点1 “ 边边边” _____分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”． 三边 【注意】 在运用此定理时，必须满足三条边对应相等．需要注意的是只有三个内角对应相等的两个三角形不一定全等． 知识点2 尺规作三角形(1) 已知三角形的三边，求作三角形，依据是____． SSS 知识点3 三角形的稳定性 只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的_____和_____就 完全确定了，这个性质叫作三角形的稳定性． 形状 大小 考点1 “ 边边边”的应用 典例1 [2024·南浔区期末]如图， 已知A，D，B，E在一条直线上， 且AD＝BE，BC＝EF，AC＝DF. 求证：BC∥EF. 思路导析 根据题意，先证明△ABC≌△DEF(SSS)，可得∠ABC＝∠DEF，根据同位角相等两直线平行，即可求证． 变式 [2024·林州期中]如图，AB＝CD，CB＝AD，点O为AC上任意一点，过点O作直线分别交AB，CD的延长线于点F，E，试说明：∠E＝∠F. 考点2 已知三角形的三边，求作三角形 典例2 已知：线段a，b，c，求作：△ABC，使AB＝2c，AC＝b，BC＝a.(不写作法，保留作图痕迹) 思路导析 作射线AP，在射线AP上顺次截取AD＝DB＝c.分别以A，B为圆心，以线段b，a的长为半径画弧，两弧交于点c，连接AC，BC，则△ABC即为所求． 解：如图所示，△ABC即为所求作． 变式 [2025·青岛期中]用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC. 求作：△PEF，使PE＝AB，PE＝PF，EF＝BC. 解：如图所示，△PEF即为所求． 考点3 三角形的稳定性 典例3 [2024·长沙期末]如图是长沙的香炉洲大桥，它的桥墩 设计为三角形，这种设计的原理是利用了三角形的_______． 稳定性 思路导析 根据三角形具有稳定性解答即可． 变式 [2024·端州区期中]下列图形中，不是运用三角形的稳定 性的是( ) 证明：因为AD＝BE， 所以AD＋DB＝BE＋DB，即AB＝DE， 在△ABC和△DEF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DE，,AC＝DF，,BC＝EF，)) 所以△ABC≌△DEF(SSS)， 所以∠ABC＝∠DEF， 所以BC∥EF. 证明：在△ABC和△CDA中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CD，,CB＝AD，,AC＝CA，)) 所以△ABC≌△CDA(SSS)， 所以∠BAC＝∠ACD， 所以AB∥CD， 所以∠E＝∠F. $$2　图形的全等 知识点1 全等图形 能够完全_____的两个图形称为全等图形，全等图形的_____和 _____都相同． 重合 形状 大小 【注意】 全等图形的面积、周长均相等，但面积或周长相等的两个图形不一定是全等图形． 知识点2 全等三角形的概念 能够完全_____的两个三角形叫作全等三角形．互相重合的顶点 叫作_________，互相重合的边叫作_______，互相重合的角叫 作_______． △ABC与△DEF全等，我们把它记作“△ABC≌△DEF”．记两个 三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 重合 对应顶点 对应边 对应角 知识点3 全等三角形的性质 全等三角形的对应边_____，对应角_____． 相等 相等 【规律总结】 (1)全等三角形的性质是说明边、角相等的重要依据； (2)由全等图形的性质易知全等三角形的周长相等，面积相等． 考点1 全等图形 典例1 [2024·梁溪区期末]下列4个图形中的全等图形是( ) A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和④ 思路导析 根据全等图形的定义，逐一判断即可解答． 【方法技巧】 运用观察法判定图形全等，一看形状是否相同，二看大小是否相等． 变式 [2024·重庆期中]下列各个选项中的两个图形属于全等图形的是( ) 考点2 确定全等图形的对应边和对应角 典例2 如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，指出全等三角形中的对应边和对应角． 思路导析 全等三角形在书写时对应顶点要对应书写，故可从对应顶点入手找出对应边和对应角． 解：AE与AD，BE与CD，AB与AC是对应边； ∠2与∠1，∠BAE与∠CAD，∠B与∠C是对应角． 变式 如图，将△ABC绕其顶点B顺时针旋转一定角度后得到△DBE，请判断图中△ABC和△DBE是否为全等三角形．若是，写出其对应边和对应角． 解：由旋转可知图中△ABC和△DBE为全等三角形， 对应边为BA与BD，AC与DE，BC与BE； 对应角为∠A与∠BDE，∠C与∠E，∠ABC与∠DBE. 考点3 全等三角形的性质 典例3 [2024·工业园区二模]如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD相交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°. (1)求AE的长度； (2)求∠AED的度数． 思路导析 (1)根据全等三角形的性质解答即可； (2)根据全等三角形的性质解答即可． 解：(1)因为△ABC≌△DEB， 所以BE＝BC＝3， 所以AE＝AB－BE＝6－3＝3； (2)因为△ABC≌△DEB， 所以∠A＝∠D＝25°，∠DBE＝∠C＝55°， 所以∠AED＝180°－∠DEB＝∠DBE＋∠D＝55°＋25°＝80°. 变式1 [2024·成都]如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°， ∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为______． 100° 变式2 [2024·沧县期中]如图，△ABC≌△DEC，BC＝2，CD＝3，点B，C，D在同一直线上，点E在AC上，延长DE交AB于点F. (1)求AE的长； (2)求∠BFD的度数． 解：(1)因为△ABC≌△DEC，BC＝2，CD＝3， 所以AC＝CD＝3，CE＝BC＝2， 所以AE＝AC－CE＝3－2＝1； (2)因为△ABC≌△DEC， 所以∠ACB＝∠ECD，∠A＝∠D， 因为B，C，D共线， 所以∠ACB＝∠ECD＝90°. 因为∠AEF＝∠CED， 所以∠AFE＝∠ECD＝90°，所以∠BFD＝90°. $$第2课时　三角形的分类及直角三角形的性质 知识点1 三角形按角分类 1．___个内角都是锐角的三角形是锐角三角形． 2．有___个内角是直角的三角形是直角三角形． 3．有___个内角是钝角的三角形是钝角三角形． 三 一 一 【规律总结】 在任意一个三角形中，最多有3个锐角，最少有2个锐角，最多有1个直角，最多有1个钝角．判断一个三角形是哪种三角形，只需看该三角形的最大内角是什么角． 知识点2 直角三角形的性质和判定 1．表示：用符号“________”表示“直角三角形ABC　”．如 图所示，把直角所对的边称为直角三角形的_____，夹直角的两 条边称为直角三角形的_______． Rt△ABC 斜边 直角边 2．性质：直角三角形的两个锐角互余． 符号语言：在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则∠A＋∠B＝90°. 3．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 符号语言：在△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，则△ABC为直角三角形，且∠C＝90°. 考点1 三角形按角分类 典例1 在△ABC中，三个内角度数之比为2∶3∶5，则△ABC的形状是( ) A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 思路导析 先根据△ABC的三个内角度数之比为2∶3∶5，设△ABC的三个内角分别为2α，3α，5α，再根据三角形内角和定理求出α＝18°，进而再求出△ABC的三个内角的度数，然后再判断该三角形的形状即可． 变式1 [2024·蓬莱区期中]同学们在玩“猜三角形”的游戏，图中被信封遮住的三角形( ) A．只能是锐角三角形 B．只能是直角三角形 C．只能是钝角三角形 D．可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形 变式2 在△ABC中，∠A＝∠B＋∠C＋10°，则△ABC的形状是 ___________． 钝角三角形 考点2 直角三角形的性质 典例2 [2024·岳塘区期中]如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BCD＝40°，则∠A的度数为( ) A．40° B．38° C．50° D．30° 思路导析 根据直角三角形两锐角的关系解答． 变式 [2023·青原区期末]在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的4倍少10°，求这两个锐角的度数． 解：设另一个锐角为x°，则一个锐角为(4x－10)°， 由题意，得x＋(4x－10)＝90， 解得x＝20， 4x－10＝4×20－10＝70， 所以，这两个锐角的度数分别为20°，70°. $$☆问题解决策略：特殊化 知识点 由特殊到一般 面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略．特殊情形下，问题变得具体、简单、易于解决；同时，它与一般性问题关系密切，特殊问题的解决经验有可能推广到一般性问题的解决中．因此，从特殊情形出发，有助于我们发现解决问题的思路． 考点 由特殊到一般 典例 如图，已知四边形ABCD的面积是m，E，F，G，H分别是AB， BC，CD，DA的中点，点P是四边形ABCD内一点，则图中阴影部 分的面积为____． 思路导析 可以先将点P的位置特殊化，得出结论；再推广到一般，连接AP，BP，CP，DP，根据等底同高的三角形面积相等，可求出结果． 变式 [2024·随州期中]如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D为边AB的中点，且∠EDF＝60°，∠EDF与边AC，BC分别交于点E，F. (1)提出问题：当∠EDF绕着点D运动时，线段DE与DF的数量关系是否发生改变？ (2)探究问题：首先观察点F的特殊位置： ①当点F与点C重合时，如图2所示，此时∠DEC＝_______°，线段DE与DF之间的数量关系：_______； ②当CE＝CF时，如图3所示，此时∠DEC＝_______°，线段DE与DF之间的数量关系：_______； (3)归纳猜想：观察一般情况，当∠EDF绕着点D运动时，通过观察、测量、发现，可以得出结论：_______． 所以∠EDF＝∠DCF＝∠DEF， 所以△EDF为等边三角形， 故DE＝DF. 故答案为：60，DE＝DF； ②连接DC， 因为CE＝CF，AC＝BC，点D为边AB的中点， 即CD为∠ACB的角平分线， 所以∠DCE＝∠DCF，CD＝CD， 所以△DCE≌△DCF(SAS)， 所以DE＝DF， (3)过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分别为M，N， 因为点D为边AB的中点， 所以AD＝BD， 因为DM⊥AC，DN⊥BC， 所以∠DMA＝∠DNB＝90°， 因为AC＝BC， 所以∠A＝∠B， 所以△ADM≌△BDN(AAS)， eq \f(1,2)m 解：(1)根据题意可知，当∠EDF绕着点D运动时，线段DE与DF的数量关系不发生改变； (2)①因为∠ACB＝120°，点D为边AB的中点， 即CD为∠ACB的角平分线， 所以∠ACD＝∠BCD＝eq \f(120°,2)＝60°， 因为∠EDF＝60°， 所以∠DEC＝180°－∠EDF－∠DFE＝60°， 所以∠CDE＝∠CDF＝eq \f(1,2)∠EDF＝30°， 所以∠DCE＝∠DCF＝eq \f(1,2)∠ECF＝60°， ∠DEC＝180°－∠DCE－∠EDC ＝180°－60°－30° ＝90°. 故答案为：90，DE＝DF； 所以DM＝DN， 在四边形DMCN中，∠MDN＝∠EDF＝60°， ∠MDE＋∠EDN＝∠EDN＋∠NDF， 所以∠MDE＝∠NDF， 在△DME和△DNF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DME＝∠DNF，,DM＝DN，,∠MDE＝∠FDN，)) 所以△DME≌△DNF(ASA)， 所以DE＝DF.故答案为：DE＝DF. $$4　利用三角形全等测距离 知识点 利用三角形全等测距离 利用三角形全等测距离实际上就是利用已有的全等三角形，或 构造出全等三角形，通过全等三角形的对应边相等这一性质， 把较难测量的距离转化为_____线段的长度或较容易测量的_____， 从而得出要测线段的长． 已知 距离 考点 利用三角形全等测距离 典例 [2024·上蔡县期中]如图，在湖泊的岸边有A，B两点，难以直接度量出A，B两点间的距离，请你利用全等三角形的知识设计一种量出A，B两点间距离的方案，并说明你这样设计的理由． 思路导析 先在平地上取一个可直接到达A，B两点的点C，连接并分别延长AC，BC至E，D，使EC＝AC，DC＝BC，测出DE的长，即得A，B两点间距离．理由是根据SAS判定△EDC≌△ABC，根据全等三角形的对应边相等可得ED＝AB. 解：设计方案： ①先在平地上取一个可直接到达A，B两点的点C，连接AC，BC； ②分别延长AC至点E，BC至点D，使EC＝AC，DC＝BC； ③连接DE，测出DE的长，即为A，B两点间的距离，如图． 变式 [2024·玉田县期中]如图，在河岸两侧的A，B两点处分别有一个电线塔，嘉淇想要测量这两个电线塔之间的距离，于是他在点B所在河岸一侧的平地上取一点C，使点A，B，C在一条直线上，另取点D，使得CD＝BC＝5 m，然后测得∠DCB＝100°，∠ADC＝65°，在CD的延长线上取一点E，使得∠BEC＝15°，量得CE＝32 m. (1)求∠CBE的度数； (2)请帮嘉淇计算这两个电线塔之间的距离是 多少米． 解：(1)因为∠DCB＝100°，∠BEC＝15°， 所以∠CBE＝180°－∠DCB－∠BEC＝180°－100°－15°＝65°； (2)因为∠ADC＝65°， 所以∠CBE＝∠ADC＝65°. 设计理由： 在△EDC和△ABC中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(EC＝AC，,∠ECD＝∠ACB，,DC＝BC，)) 所以△EDC≌△ABC(SAS)， 所以ED＝AB， 故得A，B两点间的距离等于ED的长． 在△DCA和△BCE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACD＝∠ECB，,CD＝CB，,∠ADC＝∠EBC，)) 所以△DCA≌△BCE(ASA)， 所以CA＝CE＝32 m， 所以AB＝AC－BC＝32－5＝27(m)， 所以这两个电线塔之间的距离是27 m. $$第3课时　“边角边” 知识点1“　边角边” 两边及其_____分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边” 或“SAS”． 夹角 【注意】 全等三角形对应角的平分线相等，对应中线相等，对应高相等． 知识点2 尺规作三角形(3) 已知三角形的两边及其夹角，求作三角形，依据是____． SAS 考点1“ 边角边”的应用 典例1 如图，公园里有一条Z字形道路ABCD, 在AB，BC，CD三段路旁各有一只小石凳E，M，F，且E，M，F恰好在一条直线上，M为EF，BC的中点． (1)求证△MBE≌△MCF； (2)判断AB与CD的位置关系，并说明理由． 思路导析 (1)根据中点得到EM＝FM, BM＝CM，然后利用“SAS” 证明全等即可； (2)根据全等可以得到∠B＝∠C，即可得到AB与CD的位置关系． (2) AB∥CD，理由： 因为△MBE≌△MCF， 所以∠B＝∠C， 所以AB∥CD. 变式1 [2023·凉山州]如图，点E，点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是( ) A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE 变式2 [2024·长沙]如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE. (1)求证：△ABC≌△ADE； (2)若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数． (2)由(1)得△ABC≌△ADE， 所以AC＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， 所以∠AEC＝∠ACE. 因为∠AEC＋∠ACE＝2∠ACE＝180°－∠DAE＝120°， 所以∠ACE＝60°. 变式3 [2024·云南]如图，在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，AC＝AD.求证：△ABC≌△AED. 考点2 已知三角形的两边及夹角，求作三角形 典例2 [2024·青岛期末]已知：线段a和∠α.求作：△ABC，使得AB＝a, BC＝2a，∠ABC＝∠α.(不写作法，保留作图痕迹) 思路导析 先作BC＝2a，再作∠ABC＝∠α，然后截取AB＝a，最后连接AC即可． 解：如图，△ABC即为所求作． 变式 [2024·重庆期末]如图，已知线段a, b和∠α. 求作：△ABC，使得∠A＝∠α，AB＝a＋b, AC＝b. (不写作法，保留作图痕迹) 解：如图，△ABC即为所求作． 解：(1)证明：因为M为EF, BC的中点， 所以EM＝FM，BM＝CM. 在△MBE和△MCF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(EM＝FM，,∠BME＝∠CMF，,BM＝CM，)) 所以△MBE≌△MCF(SAS)； 解：(1)证明：在△ABC和△ADE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝DE，,∠B＝∠D，,AB＝AD，)) 所以△ABC≌△ADE(SAS)； 证明：因为∠BAE＝∠CAD， 所以∠BAE＋∠CAE＝∠CAD＋∠CAE， 即∠BAC＝∠EAD. 在△ABC与△AED中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AE，,∠BAC＝∠EAD，,AC＝AD，)) 所以△ABC≌△AED(SAS)． $$第3课时　三角形的三边关系 知识点1 三角形按边分类 1．有_____相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰， 如图所示． 2．_____都相等的三角形叫作等边三角形，也叫作正三角形． 3．两条直角边_____的直角三角形叫作等腰直角三角形． 两边 三边 相等 知识点2 三角形的三边关系 1．三角形任意两边之___大于第三边． 2．三角形任意两边之___小于第三边． 和 差 考点1 三角形按边分类 典例1 [2025·高邑县期末]下列说法正确的是( ) ①等腰三角形是等边三角形 ②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形 ③等腰三角形至少有两边相等 ④三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②④ 思路导析 根据三角形按角的分类，等腰三角形的定义，等边三角形的定义一一判断即可． 变式 [2024·诸城期末]三角形的三边长a，b，c满足(a－2)2＋|b－2|＋(c－3)2＝0，那么此三角形一定是( ) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 考点2 三角形的三边关系 典例2 [2024·武昌区期末]长为10 cm，7 cm，5 cm，3 cm的四根木条，从中选取三根组成三角形，不同的选法有( ) A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 思路导析 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 解析：选长度是10 cm，7 cm，5 cm的木条，5＋7＞10，能组成三角形； 选长度是10 cm，7 cm，3 cm的木条，3＋7＝10，不能组成三角形； 选长度是10 cm，5 cm，3 cm的木条，5＋3＜10，不能组成三角形； 选长度是5 cm，7 cm，3 cm的木条，5＋3＞7，能组成三角形． 所以从中选取三根组成三角形，不同的选法有2种． 【规律总结】 判断三条线段能否构成三角形，只需将较短的两条线段之和与最长的线段比较大小，如果大于最长边，就能够组成三角形． 变式1 [2024·房山区期末]如图，线段AB和线段AC是三角形ABC 的两条边，点D在线段AB上，点E在线段AC上，将三角形ABC沿DE 所在直线裁去一个角得到四边形DBCE，则四边形DBCE的周长___ ___(填“大于”“等于”或“小于”)三角形ABC的周长，理由 是_____________________________． 小 于 三角形任意两边之和大于第三边 变式2 [新定义]定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，求第三条边的长． 解：1.5或4 $$第2课时　“角边角”和“角角边” 知识点1 “ 角边角” 两角及其_____分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角” 或“ASA”． 夹边 知识点2 “ 角角边” 两角分别相等且其中一组等角的_____相等的两个三角形全等， 简写为“角角边”或“AAS”． 对边 知识点3 尺规作三角形(2) 已知三角形的两角及其夹边，求作三角形，依据是____． ASA 考点1 “ 角边角”的应用 典例1 [轴对称型][2024·潮阳区期末]如图， AC＝AE，∠C＝∠E，∠1＝∠2. 求证：△ABC≌△ADE. 思路导析 求出∠BAC＝∠DAE，根据全等三角形的判定定理“ASA”求证即可． 变式 [益阳中考]如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB.求证：AE＝CD－AB. 所以△CED≌△ABC(ASA)， 所以CD＝AC， 所以AE＝AC－CE＝CD－AB. 考点2 “ 角角边”的应用 典例2 [2024·南昌期中]如图，若AB⊥BC于点B，AE⊥DE于点E，AB＝AE，∠ACB＝∠ADE，∠ACD＝∠ADC＝70°，∠BAD＝60°，求∠BAE的度数． 思路导析 证明△ABC≌△AED(AAS)，得出∠BAC＝∠EAD，根据三角形内角和定理即可得出答案． 因为∠ACD＝∠ADC＝70°， 所以∠CAD＝180°－70°－70°＝40°， 所以∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60°－40°＝20°， 所以∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝∠BAD＋∠BAC＝80°. 【方法技巧】 证明三角形全等时寻找角相等常用的方法： (1)公共角相等、对顶角相等、直角相等； (2)等角加(减)等角，其和(差)相等； (3)同角或等角的余(补)角相等； (4)根据角平分线、平行线得角相等． 变式 [2025·厦门期末]如图，点B，F，C，E在同一条直线上，∠A＝∠D，AB∥DE，BF＝EC.求证：AC＝DF. 证明：因为BF＝EC， 所以BF＋FC＝EC＋FC， 所以BC＝EF. 因为AB∥DE， 所以∠B＝∠E. 考点3 已知三角形的两角及夹边，求作三角形 典例3 [2024·烟台期中]已知：∠α，∠β，线段c，如图所示．求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠ABC＝∠β， AB＝2c.(不写作法，保留作图痕迹) 思路导析 根据尺规作线段和作角的方法，作图即可． 解：如图所示，△ABC即为所求作． 变式 [2024·淄博期末]如图，已知∠α和线段a，用尺规作一 个三角形，使其中一个内角等于∠α，另一个内角等于2∠α， 且这两个内角的夹边等于a. (不写作法，保留作图痕迹) 解：如图，△ABC即为所求作． 证明：因为∠1＝∠2， 所以∠1＋∠EAC＝∠2＋∠EAC， 所以∠BAC＝∠DAE. 在△ABC和△ADE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAC＝∠DAE，,AC＝AE，,∠C＝∠E，)) 所以△ABC≌△ADE(ASA)． 证明：因为DE⊥AC，∠B＝90°， 所以∠DEC＝∠B＝90°. 因为CD∥AB， 所以∠A＝∠DCE. 在△CED和△ABC中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DCE＝∠A，,CE＝AB，,∠DEC＝∠B，)) 解：因为AB⊥BC，AE⊥DE， 所以∠B＝∠E＝90°. 在△ABC和△AED中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACB＝∠ADE，,∠B＝∠E，,AB＝AE，)) 所以△ABC≌△AED(AAS)， 所以∠BAC＝∠EAD，AC＝AD. 在△ABC和△DEF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠D，,∠B＝∠E，,BC＝EF，)) 所以△ABC≌△DEFeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(AAS))， 所以AC＝DF. $$第4课时　三角形的中线、高和角平分线 知识点1 三角形的中线 1．在三角形中，连接一个顶点与它对边_____的线段，叫作这 个三角形的中线． 2．三角形的三条中线交于一点，这个点叫作三角形的_____． 中点 重心 知识点2 三角形的高 1．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作_____，顶点和 垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高． 2．三角形的三条高所在的直线交于一点． 垂线 知识点3 三角形的角平分线 1．在三角形中，一个内角的_________与它的对边相交，这个 角的顶点与交点之间的_____叫作三角形的角平分线． 2．三角形的三条角平分线交于一点． 角平分线 线段 知识点4 三角形高线的画法 考点1 三角形的中线 典例1 [2024·广州期末]如图，在△ABC中，AB＝18，BC＝16，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为41，那么△BCD的周长是( ) A．39 B．41 C．43 D．无法确定 思路导析 根据三角形的中线的定义得到AD＝CD，再根据三角形周长公式计算即可． 【规律总结】 三角形中线的三个重要结论，如典例1图： (1)边相等：AD＝CD＝ AC； (2)面积相等：S△ABD＝S△BCD＝ S△ABC； (3)周长关系：△ABD与△BCD的周长之差为AB与BC的长度差． 变式 [2024·宜都期末]如图，AD是△ABC的边BC上的中线，BE是△ABD的边AD上的中线，若△ABC的面积是16，则△ABE的面积是( ) A．16 B．8 C．4 D．2 考点2 三角形的高 典例2 [2024·南宫期中]如图所示， 在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线， AE是△ABC的高． (1)若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数； (2)若∠B＜∠C，由(1)的计算结果，你能发现∠DAE与∠C－∠B的数量关系吗？写出这个关系式，并加以证明． 思路导析 (1)根据三角形的内角和定理可求得∠BAC＝80°，由角平分线的定义可得∠CAD的度数，利用三角形的高线可求∠CAE的度数，进而求解即可； (2)根据(1)的推理方法可求解∠DAE，∠B，∠C的数量关系． 解：(1)因为∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°， 所以∠BAC＝80°. 因为AD是∠BAC的角平分线， 所以∠CAD＝∠BAD＝ ∠BAC＝40°. 因为AE是△ABC的高， 所以∠AEC＝90°. 因为∠C＝60°， 所以∠CAE＝90°－60°＝30°， 所以∠DAE＝∠CAD－∠CAE＝10°； 【规律总结】 三角形一个角的平分线与这个角的对边上的高所形成的夹角等于另两个角之差的一半． 变式 [2024·栾城区期末]如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数． 解：因为∠CAB＝50°，∠C＝60°， 所以∠ABC＝180°－50°－60°＝70°. 又因为AD是高，所以∠ADC＝90°， 所以∠DAC＝180°－90°－∠C＝30°. 因为AE，BF是角平分线， 所以∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°， 所以∠DAE＝∠DAC－∠EAF＝5°， ∠AFB＝180°－∠CAB－∠ABF＝95°， 所以∠BOA＝180°－∠AOF＝∠EAF＋∠AFB＝25°＋95°＝120°， 所以∠DAE＝5°，∠BOA＝120°. 考点3 三角形的角平分线 典例3 [2025·龙马潭区期中]如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＝60°，∠C＝45°，求∠ADB和∠ADC的度数． 思路导析 根据角平分线的定义和三角形内角和定理求解即可． 解：因为∠B＝60°，∠C＝45°， 所以∠BAC＝180°－60°－45°＝75°. 因为AD为∠BAC的角平分线， 所以∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝37.5°. 在△ABD中，∠ADB＝180°－∠BAD－∠B＝82.5°， 则∠ADC＝180°－∠ADB＝97.5°. 变式 [2024·札达县期中]如图，在△ABC中，∠BAC＝60°， ∠B＝45°，AD是△ABC的一条角平分线，则∠DAC＝___度， ∠ADB＝____度． 30 105 eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) (2)∠DAE＝eq \f(1,2)(∠C－∠B)，证明： 因为∠BAC＋∠B＋∠C＝180°， 所以∠BAC＝180°－∠B－∠C. 因为AD是∠BAC的角平分线， 所以∠CAD＝∠BAD＝eq \f(1,2)∠BAC. 因为AE是△ABC的高， 所以∠AEC＝90°， 所以∠CAE＝90°－∠C， 所以∠DAE＝∠CAD－∠CAE＝eq \f(1,2)∠BAC－(90°－∠C) ＝eq \f(1,2)(180°－∠B－∠C)－90°＋∠C＝eq \f(1,2)∠C－eq \f(1,2)∠B， 即∠DAE＝eq \f(1,2)(∠C－∠B)． eq \f(1,2) $$