2.3.2 三角不等式（教学课件）数学沪教版必修第一册

该高中数学课件聚焦沪教版必修第一册“三角不等式”，核心内容包括绝对值三角不等式定理及推论，通过小明家到学校路线距离的现实情境导入，衔接前期不等式求解知识，为后续复杂不等式应用构建学习支架。 其特色是结合绝对值几何意义与代数证明，培养数学眼光（几何直观）和数学思维（推理能力），题型覆盖最值、恒成立等，如|x+3|+|x-4|≥7的求解实例。课堂小结提炼数学思想，助力学生提升问题解决能力，教师可高效备课轻松教学。

2.3.2 三角不等式 第二章 等式与不等式 沪教版2020必修第一册·高一 章节导读 2.1等式与不等式性质 2.2不等式求解 2.3基本不等式及其应用 一元二次不等式的求解 一元一次不等式及 一元一次不等式组的求解 等式的性质与方程的解集 一元二次方程的解集根与系数的关系 不等式的性质 含绝对值不等式的求解 分式不等式的求解 三角不等式 平均值不等式及其应用 学 习 目 标 1 2 3 理解三角不等式的概念和基本形式，掌握三角不等式的推导过程 引导学生自主探究三角不等式的形成过程，培养学生数学思维能力 体会三角不等式的应用价值，提高学生分析问题和解决问题的能力 读教材 阅读课本P50-P53，5分钟后完成下列问题： 1. 什么是三角不等式？请用文字语言和数学符号分别表述。 我们一起来探究“三角不等式”吧！ 2. 三角不等式中的 “三角” 与三角形有什么关联？在三角 形中，三角不等式是如何体现的？？ 3.对于任意实数a和b，∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣恒成立吗？ 请举例说明当等号成立时，a和b满足什么条件。？ 学习过程 01 02 目录 1 三角不等式 2 三角不等式的推论 03 3 题型训练 大家请看大屏幕上的这个例子：小明家在 A 点，学校在 B 点，书店在 C 点，小明从家到学校可以直接走 A 到 B，也可以先到书店再去学校，也就是 A 到 C 再到 B。大家思考一下，这两条路线的距离哪一个更长呢？​ 其实，在数学中也有类似的关系，这就是我们今天要学习的内容——三角不等式。通过学习三角不等式，我们可以更深入地理解数学中的距离关系，并且能够运用它解决一些实际问题。 新知探究 绝对值的几何意义 实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离： O a A |a| 　　任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离。 x A B a b |a-b| 新知探究 绝对值的几何意义 联系绝对值的几何意义，从“运算”的角度研究 |a|, |b|, |a+b|, |a-b|等之间的关系： 分ab>0和ab<0两种情形讨论： (1)当ab>0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b| O x a b a+b O a b a+b x 新知探究 绝对值的几何意义 (2)当ab<0时，也分为两种情况：如果a>0, b<0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b| O b a x a+b 如果a<0, b>0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b| a+b a b x O (3)如果ab=0，则a=0或b=0，易得：|a+b|=|a|+|b| 新知1 绝对值三角不等式 定理1：如果a, b是实数，则 |a+b|≤|a|+|b| 当且仅当ab≥0时，等号成立。 这个不等式称为绝对值三角不等式。 绝对值的和 和的绝对值 新知1 绝对值三角不等式——定理1的证明 典例分析 典例分析 学习过程 01 02 目录 1 三角不等式 2 三角不等式的推论 03 3 题型训练 新知2 绝对值三角不等式——定理1的拓展 探究： 你能根据定理1的研究思路，探究一下|a|, |b|, |a+b|, |a-b|等之间的其他关系吗？例如：|a|-|b|与|a+b|, |a|+|b|与|a-b|, |a|-|b|与|a-b|等之间的关系。 |a|-|b|≤|a+b|, |a|+|b|≥|a-b|, |a|-|b|≤|a-b|. 如果a, b是实数，那么|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| 新知2 绝对值三角不等式——定理1的拓展 如果a, b是实数，那么 |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| 绝对值的差 绝对值的和 和/差的绝对值 定理2：如果a, b, c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|当且仅当 (a-b)(b-c)≥0时，等号成立。 证明：根据绝对值三角不等式有|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c| 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。 学习过程 01 02 目录 1 三角不等式 2 三角不等式的推论 03 3 题型训练 应用三角不等式求最值 题型1 题型探究 绝对值三角不等式中的恒成立问题 题型2 题型探究 转化：变量最值 绝对值三角不等式中的恒成立问题 题型2 题型探究 绝对值三角不等式中的恒成立问题 题型2 题型探究 绝对值三角不等式中的恒成立问题 题型2 题型探究 绝对值三角不等式中的有解（成立）问题 题型3 题型探究 绝对值三角不等式中的有解（成立）问题 题型3 题型探究 含绝对值不等式的证明问题 题型4 题型探究 根据结构拆分、配凑 含绝对值不等式的证明问题 题型4 题型探究 绝对值三角不等式中的解集 题型5 题型探究 绝对值三角不等式中的解集 题型5 题型探究 课堂小结 绝对值三角不等式 一、核心知识点回顾 二、常见题型及解题方法 三、易错点提醒 四、数学思想提炼 基本定理 取等条件 推广形式 应用三角不等式求最值 含绝对值不等式的证明问题 绝对值三角不等式中的恒成立 忽略等号成立的条件 对不等式的方向把握不准确 推广到多个数时 数形结合思想 转化与化归思想 分类讨论思想 绝对值三角不等式中的解集 绝对值三角不等式中的有解（成立）问题 感谢聆听! 1．三角不等式中， 等号当且仅当 成立． 2．通过三角不等式可知 ，则等号成立的条件为 . 3．函数 的最小值等于 ． 4．函数 的最小值为 . 【答案】1. 2. 3.4 4.4 【解析】（1）当 时， ，当 时， ， 故当且仅当 时，等号成立，故答案为： 【解析】（2）解：由三角不等式可知 ， 当且仅当 ，即 时，取等号， 所以等号成立的条件为为 ，故答案为： . 【解析】（3）因为 , 当 时，取等号，所以 的最小值为4，故答案为：4 【解析】（4）由绝对值三角不等式得： 所以函数 的最小值是4，故答案为：4 【例1】（1）已知 写出不等式 等号成立的所有条件 （2）通过三角不等式可知 ，则等号成立的条件为 . 【解析】（1） （2）运用绝对值的三角不等式可得， ，所以 ． 则 或 . � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� 【例2】（1） 对所有实数 恒成立，则 的取值范围是 （2）若 对 恒成立，求实数 的取值范围. 【解析】（1）因为 ， 当且仅当 时等号成立，即 ， 故不等式 对所有实数 恒成，则 【例2】（1） 对所有实数 恒成立，则 的取值范围是 （2）若 对 恒成立，求实数 的取值范围. 【解析】（2）∵ 对 恒成立， ∴ 对 恒成立． ∵ ，当且仅当 取等号， ∴当 时， ．又 ，∴ ，即 的取值范围为 ． 【例2】(3)对任意x∈R，求使不等式|x＋1|＋|x＋2|≥m恒成立的m的取值范围. 【解析】法一：对x∈R，|x＋1|＋|x＋2|≥|(x＋1)－(x＋2)|＝1， 当且仅当(x＋1)(x＋2)≤0时， 即－2≤x≤－1时取等号. ∴t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1. ∴实数m的取值范围是(－∞，1]. 法二：t＝|x＋1|＋|x＋2|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2x＋3，x<－2，,1，－2≤x≤－1，,2x＋3，x>－1.)) ∴t≥1，则t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1. 因此实数m的取值范围是(－∞，1]. 1.本题也可利用绝对值的几何意义求解. 2.对于含有两个绝对值以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质求函数最值. 【例2】(3)对任意x∈R，求使不等式|x＋1|＋|x＋2|≥m恒成立的m的取值范围. 【例3】（1）运用三角不等式证明： ， ，并指出等号取到的充要条件； 【解析】（1）因为 ， 所以 ， 当 时等号成立， 即 时等号成立； 【例3】（2）已知关于x的不等式 有实数解，求实数m的取值范围. 【解析】（2）关于x的不等式 有实数解， 即 有实数解，只需 即可， 因为 ，所以 ， 即实数m的取值范围是 . 【例4】（1）已知 ， ，求证： ． 【解析】证明： EMBED Equation.DSMT4 ， 又因为 ， 所以 ， ，所以 所以 成立． 【例4】（2）设m等于|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|>m时，求证：eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,x2)))<2. 【解析】依题意m≥|a|，m≥|b|，m≥1， 又|x|>m，∴|x|>|a|，|x|>|b|，|x|>1，从而|x|2>|b|. 因此eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,x2)))≤eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,x2)))＝eq \f(|a|,|x|)＋eq \f(|b|,|x2|)<eq \f(|x|,|x|)＋eq \f(|x|2,|x2|)＝2， 即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,x2)))<2. 【例5】（1）设 ，求方程 的解集． � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� 【解析】因为 ，当且仅当 时，等号成立， 即当 或 时，等号成立，所以原方程的解集为 ． 【例5】（2）方程 的解集为 . 【解析】由绝对值三角不等式可得： ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 故 的解集为 . 故答案为： . $$