第2章 有理数的运算 习题课件　2025-2026学年青岛版（2024）数学七年级上册

2.2　有理数的乘法与除法 第1课时　有理数的乘法 1．[2024·铁岭县期中]有2 024个有理数相乘，如果积为0， 那么在这2 024个有理数中，说法正确的是 ( )　　　　　　　　　 A．全部为0 B．只有一个为0 C．至少有一个为0 D．有两个互为相反数 2．[2024·通许县期中]在运用分配律计算3.96×(－99)时， 下列变形较合理的是 ( ) A．(3＋0.96)×(－99) B．(4－0.04)×(－99) C．3.96×(－100＋1) D．3.96×(－90－9) 3．[2024·武汉期中]数轴上A，B(A在B的左侧)两点表示的有理 数分别为a，b，若a＋b＜0，ab＜0，下列关于原点说法正确的 是 ( ) A．原点O在点A的左侧 B．原点O在A，B之间，且|a|＜|b| C．原点O在点B的右侧 D．原点O在A，B之间，且|a|＞|b| 4．[2024·凉州区期中]如果4个数的乘积为负数，那么这4个数 中负数有 ( ) A．1个或2个 B．1个或3个 C．2个或4个 D．3个或4个 5．已知abc＜0，a＞0，ac＜0，则下列结论正确的是 ( ) A．b＜0，c＜0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＞0 D．b＞0，c＞0 6．(多选)[2024·洛宁县期中]下列乘积的结果，符号为负的 是 ( ) A．0×(－3)×(－4)×(－5) C．－2×(－12)×(＋2) D．－1×(－5)×(－3) 7．(多选)[2024·秀英区期中]下列计算正确的是 ( ) A．－1.5×(－3)＝4.5 B．(－1.2)×(－7)＝－8.4 C．－8×(－1.3)＝10.4 D．0×(－1.6)＝0 8．(多选)[2024·本溪期中]下列说法不正确的是 ( ) A．5个有理数相乘，当负因数为3个时，积为负 B．绝对值大于1的两个数相乘，积比这两个数都大 C．正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，任何数都有倒数 D．任何有理数乘以－1一定等于这个数的相反数 _____ －10 10．[2024·泉港区期中]计算：(－6)×(－1 )＝___． 10 11．[2024·如东县期中]计算|－ |×(－4)的结果为____． －3 12．[2024·潍坊期中]如图，现有5张写着不同数字的卡片，请 你从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的积最小，则积最小 是_____． －48 14．如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式： ①ab＞0　②a＋b＜0　③(a－1)(b－1)＞0.其中正确式子的序号 是 ( ) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 15．[2024·竞秀区期中]在数－6，2，－3，5，－2中任取三 个数相乘，其中最小的积是a，最大的积是b，则a＋b的结果 是 ( ) A．54 B．30 C．24 D．0 16．[2024·乐清期中]绝对值大于2而小于5的所有整数的积 是____． 144 17．如图，是一个简单的数值运算程序，当输入的数值x为3时， 其输出的结果为____． －9 19. [新定义]若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab， 如2*3＝4×2×3＝24. (1)求3*(－4)的值； (2)求(－2)*(6*3)的值． 解：(1)3*(－4)＝4×3×(－4)＝－48； (2)(－2)*(6*3)＝(－2)*(4×6×3)＝(－2)*72＝4×(－2)× 72＝－576. 20．[2024·福州期中]在学习了有理数的乘法之后，张老师出 了两道例题，下面是小明的计算过程，请认真阅读并完成相应 任务： 利用运算律有时能进行简便计算： 例1：98×12＝(100－2)×12＝1 200－24＝1 176； 例2：－16×233＋17×233＝(－16＋17)×233＝233. (1)任务一：例1，例2都用到的运算律是________； (2)任务二：请你参照上述例1，例2，用运算律简便计算下列 式子： 解：(1)乘法分配律； B．(－6)×(－15)×(－eq \f(1,2))×eq \f(1,3) 9．[2024·曹县期中]计算：(－eq \f(3,4))×5×eq \f(4,3)×2＝ ． eq \f(2,3) eq \f(3,4) 13．计算： (1)314×(－8)×(－125)； (2)(－8)×12×(－0.125)×(－eq \f(5,6))． 解：(1)原式＝314×[(－8)×(－125)] ＝314×1 000＝314 000； (2)原式＝[(－8)×(－0.125)]×[12×(－eq \f(5,6))]＝1×(－10)＝ －10. 18．运用乘法运算律进行简便运算： (1)－35×12.5×(－8)； (2)(－eq \f(8,9))×(－eq \f(5,22))×(－1eq \f(3,8))； (3)(eq \f(3,5)＋eq \f(1,2)－eq \f(7,10))×(－60)； (4)(－eq \f(2,3))×eq \f(3,7)＋(－eq \f(2,3))×eq \f(11,7). 解：(1)原式＝－35×(－100)＝3 500； (2)原式＝(－eq \f(8,9))×(－eq \f(11,8))×(－eq \f(5,22))＝eq \f(11,9)×(－eq \f(5,22))＝－eq \f(5,18)； (3)原式＝eq \f(3,5)×(－60)＋eq \f(1,2)×(－60)－eq \f(7,10)×(－60)＝－36－30＋42＝－24； (4)原式＝(－eq \f(2,3))×(eq \f(3,7)＋eq \f(11,7))＝(－eq \f(2,3))×2＝－eq \f(4,3). ①(99eq \f(8,9))×(－9)；②999×(118eq \f(4,5))＋999×(－eq \f(1,5))－999×(118eq \f(3,5))． (2)①(99eq \f(8,9))×(－9)＝(100－eq \f(1,9))×(－9) ＝－100×9＋eq \f(1,9)×9＝－900＋1＝－899； ②999×(118eq \f(4,5))＋999×(－eq \f(1,5))－999×(118eq \f(3,5)) ＝999×(118eq \f(4,5)－eq \f(1,5)－118eq \f(3,5))＝999×0＝0. $$第2课时　有理数的加法运算律 A．只用了加法交换律 B．既用了加法交换律，又用了加法结合律 C．只用了加法结合律 D．没有运用运算律 3．下列变形中，运用运算律正确的是 ( ) A．2＋(－1)＝1＋2 B．3＋(－2)＋5＝(－2＋5)－3 C．[6＋(－3)]＋5＝[6＋(－5)]＋3 4．若x的相反数是2，|y|＝5，则x＋y的值是 ( ) A．3 B．3或－7 C．－3或－7 D．－7 5．[2024·双辽期中]设a为最小的正整数，b是最大的负整数， c是绝对值最小的数，d是倒数等于自身的有理数，则a＋b＋c＋ d的值为 ( ) A．1 B．3 C．1或－1 D．2或－1 6．(多选)如图，将数轴上－6与6两点间的线段六等分，这五个 等分点所对应的数依次为a1，a2，a3，a4，a5，则下列结论错误的 是 ( ) A．a3>0 B．|a1|＝|a4| C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0 D．a2＋a5<0 7．绝对值小于2 025的所有整数的和为__． 0 8．如图，小明设计了一个计算程序，并按此程序进行了计算， 若开始输入的数为－7，则最后输出的数为_____． －18 9．小明在写作业时不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据如图所示的 数轴，请你计算墨迹盖住的所有整数的和为_____． －10 ___________ ___________ 加法交换律 加法结合律 ＝ ． (运算依据：异号的两个数相加，取_________________的符号， 并用_____________________________) 绝对值较大的加数 较大的绝对值减去较小的绝对值 11．计算： (1)5.6＋4.4＋(－8.1)； (2)(－7)＋(－4)＋(＋9)＋(－5)； 解：(1)原式＝10－8.1＝1.9； (2)原式＝(－7)＋[(－4)＋(－5)＋(＋9)] ＝－7＋0＝－7； 12．[2024·双辽期中]小花猫从某点O出发在一直线上来回跑动， 假定向右跑的路程记为正数，向左跑的路程记为负数，跑动的 各段路程依次为(单位：米)： ＋4，－2，＋10，－7，－6，＋9，－10，＋12. (1)小花猫最后在出发点的哪一边？离出发点O相距多少米？ (2)在跑动过程中，如果每跑过10米奖励一条小鱼，则小花猫一共 得到多少条小鱼？ 解：(1)由题意，得向右跑的路程记为“＋”，向左跑的路程 记为“－”，则小猫离O点的距离为 (＋4)＋(－2)＋(＋10)＋(－7)＋(－6)＋(＋9)＋(－10)＋(＋12) ＝＋10(米)， 答：小花猫最后在出发点的右边，离出发点O相距10米； (2)小猫一共跑动的距离为 |＋4|＋|－2|＋|＋10|＋|－7|＋|－6|＋|＋9|＋|－10|＋ |＋12|＝60(米)， 60÷10＝6(条)； 答：小花猫一共得到6条小鱼． 13．(多选)关于“三个有理数的和为0”这个话题，数学活动小 组的四位成员甲、乙、丙、丁发表了下列看法：甲：这三个有理 数可能都是0；乙：这三个数中最多有两个正数；丙：这三个数 中最少有两个数是负数；丁：这三个有理数互为相反数．则正确 的看法是 ( ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 14．[2024·东昌府区期中]计算(－1)＋(＋2)＋(－3)＋(＋4) ＋…＋(－2 023)＋(＋2 024)的结果是 ( ) A．2 023 B．－2 023 C．－1 012 D．1 012 15．如图的一串号码是由12位数字组成的，每一位数字写在下面 的方格中，若任何相邻的三个数字之和都等于12，则被墨迹覆盖 的“■”的值为 ( ) A．3 B．5 C．12 D．14 解析：设“■”表示的数为x， 因为任何相邻的三个数字之和都等于12， 所以－2左边的两个空格中的数字之和为14， 所以x右边的数字为－2， 因为任何相邻的三个数字之和都等于12， 所以9右边的两个空格中的数字之和为12－9＝3， 所以可得x左边的空格中的数为9， 故x＋9＋(－2)＝12，解得x＝5，即“■”的值为5. 16. [数学传统文化] 【问题情境】 “幻圆”是组合数学的一个分支，将自然数排列在多个同心圆或 多个连环圆上，使各圆周上数字之和相同，几条直径上的数字和 也相同. 著名的同心幻圆有南宋数学家杨辉的攒九图(如图1)和 丁易东的太衍五十图． 【实践应用】以下是“幻圆”游戏，现在将－1，2，－3，4， －5，6，－7，8分别填入图2中的圆圈内，使横、竖以及内外两 圈上的4个数字之和都相等，小明同学已经完成了部分填空，求 图中a＋b的值． 解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d， －1＋2＋(－3)＋4＋(－5)＋6＋(－7)＋8＝4， 因为横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， 所以两个圈的和是2，横、竖的和也是2， 则－7＋6＋b＋8＝2，得b＝－5， 6＋4＋b＋c＝2，得c＝－3， a＋c＋4＋d＝2，a＋d＝1， 因为当a＝－1时，d＝2，则a＋b＝－1＋(－5)＝－6， 当a＝2时，d＝－1，则a＋b＝2＋(－5)＝－3. 17．如图，这是武汉市地铁2号线行程表的一部分．国庆节期间， 学生小波从虎泉站出发，在地铁上参加志愿服务活动．如果规定 向东为正，向西为负，当天小波的乘车站数按先后顺序依次记录 如下：＋4，－3，＋6，－8，＋9，－2，－7，＋1，－5.当小波 从A站出站时，结束本次志愿服务活动． (1)请通过计算说明A站是哪一站； (2)若相邻两站之间的平均距离为1.2千米，问这次小波志愿服务 期间乘坐地铁行进的总路程约为多少千米？ 解：(1)＋4＋(－3)＋6＋(－8)＋9＋(－2)＋(－7)＋1＋(－5) ＝(4＋6＋9＋1)＋[(－3)＋(－8)＋(－2)＋(－7)＋(－5)] ＝20＋(－25) ＝－5. 所以A站是洪山广场站； (2)|＋4|＋|－3|＋|＋6|＋|－8|＋|＋9|＋|－2|＋|－7|＋ |＋1|＋|－5| ＝4＋3＋6＋8＋9＋2＋7＋1＋5 ＝45. 45×1.2＝54(千米)． 答：小波这次志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约为54千米． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； 1．计算3eq \f(1,4)＋(－2eq \f(3,5))＋5eq \f(3,4)＋(－8eq \f(2,5))时，运算律用得最为恰当的 是( ) A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\f(1,4)＋（－2\f(3,5)）))＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5\f(3,4)＋（－8\f(2,5)）)) B．(3eq \f(1,4)＋5eq \f(3,4))＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2\f(3,5)＋（－8\f(2,5)）)) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\f(1,4)＋（－8\f(2,5)）))＋(－2eq \f(3,5)＋5eq \f(3,4)) D．(3eq \f(1,4)＋5eq \f(3,4))＋(2eq \f(3,5)＋8eq \f(2,5)) 2．[2024·永定区期中]若eq \f(2,3)＋(－2.5)＋3.5＋(－eq \f(2,3))＝[eq \f(2,3)＋(－eq \f(2,3))]＋[(－2.5)＋3.5]，则这个算式 ( ) D.eq \f(1,3)＋(－2)＋(＋eq \f(2,3))＝(eq \f(1,3)＋eq \f(2,3))＋(－2) 10．[2024·房山区期中]完成计算，并补全相应步骤的运算依据． (－eq \f(3,7))＋(－eq \f(2,5))＋(－eq \f(2,7))＋(＋1eq \f(2,5)) ＝(－eq \f(3,7))＋(－eq \f(2,7))＋(－eq \f(2,5))＋(＋1eq \f(2,5))(运算依据： ) ＝[(－eq \f(3,7))＋(－eq \f(2,7))]＋[(－eq \f(2,5))＋(＋1eq \f(2,5))](运算依据： ) ＝(－eq \f(5,7))＋(＋1) eq \f(2,7) (3)eq \f(1,4)＋(－eq \f(2,3))＋eq \f(5,6)＋(－eq \f(1,4))＋(－eq \f(1,3))； (4)(－9eq \f(5,12))＋15eq \f(3,4)＋(－3eq \f(1,4))＋(－22.5)＋(－15eq \f(7,12))． (3)原式＝[eq \f(1,4)＋(－eq \f(1,4))]＋[(－eq \f(2,3))＋(－eq \f(1,3))]＋eq \f(5,6)＝0＋(－1)＋eq \f(5,6)＝－eq \f(1,6)； (4)原式＝[(－9eq \f(5,12))＋(－15eq \f(7,12))]＋[15eq \f(3,4)＋(－3eq \f(1,4))]＋(－22.5) ＝－25＋12eq \f(1,2)＋(－22eq \f(1,2))＝－25＋(－10)＝－35. 18．阅读下面文字： 对于(－3eq \f(3,10))＋(－1eq \f(1,2))＋2eq \f(3,5)＋2eq \f(1,2)可以进行如下计算： 原式＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3＋（－\f(3,10)）))＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1＋（－\f(1,2)）))＋(2＋eq \f(3,5))＋(2＋eq \f(1,2)) ＝[(－3)＋(－1)＋2＋2]＋ ＝0＋ ＝ ． (2)类比上面的方法计算：(－2 024eq \f(2,3))＋2 023eq \f(3,4)＋(－2 022eq \f(5,6))＋ 2 021eq \f(1,7). 解：(1)原式＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3＋（－\f(3,10)）))＋[－1＋(－eq \f(1,2))]＋(2＋eq \f(3,5))＋(2＋eq \f(1,2)) ＝[(－3)＋(－1)＋2＋2]＋[－eq \f(3,10)＋(－eq \f(1,2))＋eq \f(3,5)＋eq \f(1,2)] ＝0＋(－eq \f(3,10)＋eq \f(3,5)) ＝eq \f(3,10). 故答案为：[－eq \f(3,10)＋(－eq \f(1,2))＋eq \f(3,5)＋eq \f(1,2)]；(－eq \f(3,10)＋eq \f(3,5))；eq \f(3,10)； (2)(－2 024eq \f(2,3))＋2 023eq \f(3,4)＋(－2 022eq \f(5,6))＋2 021eq \f(1,7) ＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2 024＋（－\f(2,3)）))＋(2 023＋eq \f(3,4))＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2 022＋（－\f(5,6)）))＋2 021＋eq \f(1,7)＝[－2 024＋2 023＋(－2 022)＋2 021]＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)＋\f(3,4)＋（－\f(5,6)）＋\f(1,7)))＝－2＋(－eq \f(17,28))＝－2eq \f(17,28). $$第2课时　科学记数法 1．[2024·湖南]据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023 年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专 利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400 万件的国家．将401.5万用科学记数法表示应为 ( ) A．0.4015×107 B．4.015×106 C．40.15×105　 D．4.015×107 2．[2024·北京]为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共 算力中心的建设．北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试 的设备的算力为4×1017Flops(Flops是计算机系统算力的一种度 量单位)，整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和 调试的设备的算力的5倍，达到mFlops，则m的值为 ( ) A．8×1016 B．2×1017 C．5×1017 D．2×1018 3．[2024·珠海一模]习近平总书记指出“善于学习，就是善于 进步”．“学习强国”平台上线的某天，全国大约有1.263×108 人在此平台上学习，用科学记数法表示的数1.263×108的原数 为 ( ) A．126 300 000 B．12 630 000 C．1 263 000 000 D．1 263 000 4．[2024·瑶海区期末]超越数主要有自然常数(e)和圆周率(π)． 自然常数的知名度比圆周率低很多，但实际上自然数e是数学中的 一个重要常数，它在指数函数、对数函数、复利增长、概率统计、 微积分以及物理学和工程学等领域有着广泛的应用． e的出现使得我们能够更好地描述和理解自然界和现实世界中的 增长、衰减和变化过程．其数值约为：e＝2.718 281 828 459 045 235 360 287 471 352……，下列对自然常数e取近似数正 确的是 ( ) A．2.7(精确到十分位) B．2.71(精确到0.01) C．2.719(精确到千分位) D．2.718 2(精确到0.000 1) 5．[2024·长泰区期中]把数a精确到百分位得到的近似数是 6.88，则a的值不可能是 ( ) A．6.878 B．6.883 C．6.889 D．6.875 6．(多选)[2024·新安县期末]下列说法不正确的是 ( ) A．数2.995 1精确到千分位是3.00 B．将数60 340精确到千位是6.0×104 C．按科学记数法表示的数6.05×105，其原数是60 500 D．近似数8.1750精确到0.001 7．[2024·济宁]我国自主研发的500 m口径球面射电望远镜 (FAST)有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为250 000 m2. 将数250 000用科学记数法表示为________． 2.5×105 8．[2024·东营]从2024年一季度GDP增速看，东营市增速位居 山东16市“第一方阵”，一季度全市生产总值达到957.2亿元， 同比增长7.1%，957.2亿用科学记数法表示为___________． 9.572×1010 9．[2024·玄武区期末]整数73880…0用科学记数法表示为 7.388×1011，则原数中“0”的个数为____． 8个 10．中国首艘航母“辽宁舰”满载排水量约达6.8×104吨，则这 个近似数它精确到___位． 千 11．按括号里的要求用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)579.56(精确到十分位)； (2)0.004 078 3(精确到0.000 1)； (3)8.973(精确到0.1)； (4)692 547(精确到十位)； (5)48 378(精确到千位)； (6)8.03×104(精确到千位)． 解：(1)579.56≈5.796×102(精确到十分位)； (2)0.004 078 3≈0.004 1(精确到0.000 1)； (3)8.973≈9.0(精确到0.1)； (4)692 547≈6.925 5×105(精确到十位)； (5)48 378≈4.8×104(精确到千位)； (6)8.03×104≈8.0×104(精确到千位)． 12．指出下列各近似值精确到哪一位． (1)56.3；　　　 (2)5.630； (3)5.63×106; (4)5.630万； (5)0.017; (6)3 800. 解：(1)56.3精确到十分位； (2)5.630精确到千分位； (3)5.63×106精确到万位； (4)5.630万精确到十位； (5)0.017精确到千分位； (6)3 800精确到个位． 13．[2024·河北模拟]河北省物产丰富，土地辽阔，土地面积 约为19万平方千米．将19万用科学记数法表示为1.9×10m，关于 m的描述，下列说法正确的是 ( ) A．m为负数 B．m＝4 C．m等于19万的整数位数 D．当m增加1时，原数扩大为原来的10倍 14．[2024·邯山区一模]如图所示的是琳琳作业中的一道题目， “ ”处都是0但发生破损，琳琳查阅后发现本题答案为1， 则破损处“0”的个数为 ( ) A．4 B．5 C．6 D．7 15．[2024·铁岭县期中]一粒米微不足道，有时总会在饭桌上不 经意地掉下几粒，甚至有挑食的同学会倒掉整碗米饭．针对这种 浪费现象，数学老师领同学们进行了实际测算，已知称得500粒大 米重约10克，请你来计算： (1)一粒大米重约多少克？ (2)按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每 人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？(用科学记 数法表示) (3)假若我们把一年节约的大米卖成钱，按2元/千克计算，可 卖多少钱？(用科学记数法表示) (4)对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖 得的钱可供多少名失学儿童上一年学？ 解：(1)10÷500＝0.02(克)， 答：一粒大米重约0.02克； (2)0.02×1×3×365×1.4×109÷1 000＝3.066×107(千克)， 答：一年大约能节约大米3.066×107千克； (3)2×3.066×107＝6.132×107(元)， 答：可卖6.132×107元； (4)6.132×107÷500＝122 640(名)， 答：可供122 640名失学儿童上一年学． 16．[2023·苏州期中]光在真空中的传播速度约是3×108 m/s， 光在真空中传播一年的距离称为光年． (1)1光年约是多少千米？(一年以3×107 s计算) (2)银河系的直径达10万光年，约是多少千米？ (3)如果一架飞机的飞行速度为1 000 km/h，那么光的速度是这 架飞机速度的多少倍？(1 m/s＝3.6 km/h) 解：(1)3×108×3×107＝9×1015(米)， 9×1015米＝9×1012千米， 答：1光年约是9×1012千米； (2)100 000×9×1012＝9×1017(千米)， 答：银河系的直径约是9×1017千米； (3)3×108×3.6＝1.08×109 km/h， 1．08×109÷1 000＝1.08×106， 答：光的速度是这架飞机速度的1.08×106倍． $$第4课时　有理数的加减混合运算 1．[2024·沈丘县期末]下列交换加数的位置的变形中，正 确的是 ( )　　　　　　　　　　　　　 A．1－4＋5－4＝1－4＋4－5 B．4.5－1.7－2.5＋1.8＝4.5－2.5＋1.8－1.7 C．1－2＋3－4＝2－1＋4－3 2．[2024·石家庄二模]式子－2－1＋6－9有下面两种读法； 读法一：负2，负1，正6与负9的和； 读法二：负2减1加6减9. 则关于这两种读法，下列说法正确的是 ( ) A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都正确 D．两种读法都不正确 3．[2024·富县期中]不改变原式的值，省略算式中的括号和加 号后，可以写成－7＋4－5的是 ( ) A．－(＋7)－(－4)－(＋5) B．(－7)－(＋4)－(－5) C．－(＋7)＋(＋4)－(－5) D．(－7)－(＋4)＋(－5) 4．[2024·招远期中]微信零钱是人们日常支付的便捷工具，可以 清晰地记录日常消费明细．如图是十一假期期间，王叔叔10月1日 至5日的微信零钱消费明细，其中正数表示收款，负数表示付款． 王叔叔于10月5日18：59扫二维码付款给超市后的余额为 ( ) A．122.63 B．121.73 C．121.63 D．122.73 5．[2024·渭南期末]如图，这是一个正方体的展开图，每个面 上都标有一个有理数，且相对面上的两个有理数互为相反数， 则x＋y－z的值为 ( ) A．－10 B．1 C．0 D．10 6．根据图中程序计算，若输入的数是－6，则输出的结果 是 ( ) A．2 B．0 C．4 D．1 7．甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断 正确的是 ( ) 甲：11＋(－14)＋19－(－6)＝11＋19＋[(－14)＋(－6)]＝10. A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 8．(多选)下列各题中，运用结合律变形正确的是 ( ) A．1＋(－0.25)＋(－0.75)＝1＋[(－0.25)＋(－0.75)] C．1－2＋3－4＋5－6＝(1－2)＋(3－4)＋(5－6) D．7－3－8＋6＋2＝(7－3)＋[(－8)＋(6＋2)] 9．[2024·泌阳县期中]将式子(＋16)＋(－29)－(－7)－(＋11) ＋(＋9)写成省略加号的和的形式，并交换加数的位置，使正负号 相同的加数结合在一起_____________________________________ ______． 16＋7＋9＋(－29－11)(或－29－11＋16＋ 7＋9) 10．若a的相反数等于它本身，b是到原点的距离等于2的负数， c是最大的负整数，则a－b＋c的值为__. 1 11．规定图形 表示运算a－b＋c，图形 表示运算x＋ z－y－w，则 ＋ ＝__．(直接写出答案) 0 13．小明在计算1－3＋5－7＋9－11＋13－15＋17时，不小心把 八个运算符号中的一个写错了(“＋”错写成“－”或“－”错 写成“＋”)，结果算成了－17，则原式从左往右数，第 个 运算符号写错了 ( ) A．6 B．8 C．4 D．2 14．[2024·沙河口区期末]七名同学为了测量一栋高楼的实际高 度时，需要在若干个观测点，测量两个相邻可视观测点的相对高 度．如A－C为9米表示观测点A比观测点C高9米，然后用这些相对 高度计算出楼的高度．如表是某次测量数据的部分记录，根据这 次测量的数据，可得A－B是_____米． 18.5 A－C C－D E－D F－E G－F B－G 9米 7.5米 －5米 4米 －7米 6米 15.[2024·柯桥区期中]世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守 门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数， 返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下 (单位：m)：＋10，－2，＋5，－6，＋12，－9，＋4，－14.(假 定开始计时时，守门员正好在球门线上) (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过10米(不包括10米)，则对 方球员挑射极可能造成破门．请问在这一时间段内，对方球员有 几次挑射破门的机会？ 解：(1)＋10－2＋5－6＋12－9＋4－14＝0， 答：守门员最后正好回到球门线上； (2)第一次10，第二次10－2＝8，第三次8＋5＝13，第四次13－ 6＝7，第五次7＋12＝19，第六次19－9＝10，第七次10＋4＝14， 第八次14－14＝0， 19＞14＞13＞10＞8＞7， 答：守门员离开球门线的最远距离达19米； (3)第一次10＝10，第二次8＜10，第三次13＞10，第四次7＜10， 第五次19＞10，第六次10＝10，第七次14＞10，第八次0＜10， 答：对方球员有三次挑射破门的机会． D．－eq \f(1,3)＋eq \f(3,4)－eq \f(1,6)－eq \f(1,4)＝eq \f(1,4)＋eq \f(3,4)－eq \f(1,3)－eq \f(1,6) 乙：(－eq \f(2,3))－(＋eq \f(1,5))＋(－eq \f(1,3))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－\f(2,3)）＋（－\f(1,3)）))＋(－eq \f(1,5))＝－eq \f(6,5). B.eq \f(3,4)－eq \f(1,6)－eq \f(1,2)＋eq \f(2,3)＝(eq \f(3,4)－eq \f(1,6))－(eq \f(1,2)＋eq \f(2,3)) 12. 计算： (1)23－17－(－7)＋(－16)； (2)(－26.54)－(－6.4)＋18.54－6.4； (3)(－0.5)－(－3eq \f(1,4))＋2.75－(＋7eq \f(1,2))； (4)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－2\f(1,2)))－(－2.5)＋1－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－2\f(1,2))). 解：(1)23－17－(－7)＋(－16) ＝23－17＋7－16＝(23＋7)＋(－17－16)＝30－33＝－3； (2)(－26.54)－(－6.4)＋18.54－6.4 ＝(－26.54＋18.54)＋(6.4－6.4)＝－8＋0＝－8； (3)(－0.5)－(－3eq \f(1,4))＋2.75－(＋7eq \f(1,2)) ＝eq \b\lc\ (\a\vs4\al\co1(－0.5－7.5))＋eq \b\lc\ (\a\vs4\al\co1(3.25＋2.75))＝－8＋6＝－2； (4)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－2\f(1,2)))－(－2.5)＋1－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－2\f(1,2))) ＝2.5＋2.5＋1－1.5＝6－1.5＝4.5. $$第2课时　有理数的除法 1．计算2÷4÷(－4)，结果为 ( ) 2．[2024·东平县期中]下列叙述中错误的个数是 ( ) ①任何有理数都有倒数　②互为倒数的两个数的积为1　③若a＞ 0，b＜0，则ab＜0 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．[2024·青浦区期末]如果两个有理数的商是－1，那么说法 正确的是 ( ) A．这两个数相等 B．这两个数互为倒数 C．这两个数互为相反数 D．这两个数中一个数是另一个数的相反数的倒数 4．小亮有5张卡片，上面分别写有－1，3，－5，0，6，他想 从这5张卡片中取出2张，使得这2张卡片上的数字相除的商最 小，商的最小值是 ( ) A．－3 B．－5 C．－6 D．－8 5．(多选)[2024·河北区期中]下列运算步骤正确的是 ( ) A．(－15)÷3＝－(15÷3) ____ －2 __ 8 (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第 步，错误原因是 ； 第二处是第 步，正确步骤的依据是 ； (2)请写出正确的结果． 解：(1)二，运算顺序错误；三，两数相除同号得正，并把 绝对值相除； 11．老师设计了计算接力游戏，规则是每名同学只能利用前面一 个同学的式子进一步计算，将计算的结果传给下一个同学，最后 解决问题．过程如下，自己负责的那一步错误的是 ( ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 12．[2024·南岗区期末]若有理数a，b在数轴上表示的点的位置 如图所示，下列结论：①－a＞b　②ab＞0　③a－b＜0　④|a|＞ |b|　⑤a＋b＞0　⑥ ＜0.其中正确结论的个数是 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ____ －1 14．[2025·抚州期中]如图，这是5张写着不同数的卡片，请你 按照题目要求抽出卡片，解答下列问题． (1)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上数的乘积最大，如何抽取？ 最大值是多少？ (2)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上数相除的商最小，如何抽 取？最小值是多少？ 解：(1)因为抽取的两张卡片上数的乘积最大，所以抽取的两 张卡片是－7，－5，此时－7×(－5)＝35最大； (2)因为抽取的两张卡片上数的商最小，所以抽取的两张卡片 是－7，1，此时－7÷1＝－7最小． A．－2 B.eq \f(1,2) C．－eq \f(1,8) D.eq \f(1,4) ④若a＋b＝0，则eq \f(a,b)＝－1　⑤若eq \f(a,b)＞0，则a，b同号 B．(－eq \f(1,2))÷(－eq \f(1,15))＝(－eq \f(1,2))×(－15) C.eq \f(1,3)÷1.2÷eq \f(3,4)＝eq \f(1,3)×eq \f(6,5)×eq \f(4,3) D．(－eq \f(1,3))÷0.5＝(－eq \f(1,3))×eq \f(1,2) 6．(1)[2024·南开区期中]计算(－125eq \f(5,6))÷(－5)的结果为_____； (2)[2024·徐汇区期末]计算：1eq \f(3,5)÷(－eq \f(4,5))＝ ． eq \f(151,6) 7．[2024·凉州期中]两数的商是－eq \f(5,16)，被除数是－2eq \f(1,2)，则除数 是 ． 8．计算：(1)[2024·闵行区期末](－eq \f(3,2))÷eq \f(2,3)×(－eq \f(3,2))； (2)[2024·济南期末]－25÷eq \f(5,8)×(－eq \f(1,4))； (3)[2024·松江区期末](－81)÷2eq \f(1,4)×eq \f(4,9)÷(－16)； (4)[2024·吉林期末]eq \f(7,6)÷(－eq \f(1,6))×eq \f(3,14). 解：(1)原式＝(－eq \f(3,2))×eq \f(3,2)×(－eq \f(3,2))＝eq \f(27,8)； (2)原式＝25×eq \f(8,5)×eq \f(1,4)＝10； (3)原式＝81×eq \f(4,9)×eq \f(4,9)×eq \f(1,16)＝1； (4)原式＝eq \f(7,6)×(－6)×eq \f(3,14)＝－eq \f(3,2). 9．[2024·介休期中]阅读下面解题过程并解答问题： 计算：(－15)÷(－eq \f(1,2)×eq \f(25,3))÷eq \f(1,6). 解：原式＝(－15)÷(－eq \f(25,6))×6(第一步) ＝(－15)÷(－25)(第二步) ＝－eq \f(3,5)(第三步) (2)原式＝(－15)÷(－eq \f(25,6))×6＝(－15)×(－eq \f(6,25))×6 ＝eq \f(108,5). 故答案为：eq \f(108,5). 10. [新定义]每个假分数都可以写成一个自然数与一个最简真分数的和(例如eq \f(36,11)＝3＋eq \f(3,11))，真分数的倒数又可以写成一个自然数与一个真分数的和(eq \f(11,3)＝3＋eq \f(2,3))，反复进行同样的过程，直到真分数的倒数是一个自然数为止(eq \f(3,2)＝1＋eq \f(1,2)，eq \f(2,1)＝2)，我们把用这种方法得到的自然数，按照先后顺序写成一个数组{3，3，1，2}，那么这个数组叫作由这个假分数生成的自然数组． 例如：对于假分数eq \f(36,11)，则eq \f(36,11)＝3＋eq \f(3,11)，eq \f(11,3)＝3＋eq \f(2,3)，eq \f(3,2)＝1＋eq \f(1,2)，eq \f(2,1)＝2， 所生成的自然数组为{3，3，1，2}． 请根据上述阅读材料填空： (1)由假分数eq \f(44,13)生成的自然数组是{ }；(请写出解题过程) (2)已知某个假分数所生成的自然数组为{3，1，3}，那么这个假分数是 ．(直接写出答案) 解：(1)因为eq \f(44,13)＝3＋eq \f(5,13)，eq \f(13,5)＝2＋eq \f(3,5)，eq \f(5,3)＝1＋eq \f(2,3)，eq \f(3,2)＝1＋eq \f(1,2)，eq \f(2,1)＝2， 所以eq \f(44,13)所生成的自然数组为{3，2，1，1，2}， 故答案为：3，2，1，1，2； (2)因为{3，1，3}， 所以3＝eq \f(3,1)，1＋eq \f(1,3)＝eq \f(4,3)，3＋eq \f(3,4)＝eq \f(15,4). 故答案为：eq \f(15,4). eq \f(a,b) 13．对于有理数x，y，若eq \f(x,y)<0，则eq \f(|xy|,xy)＋eq \f(y,|y|)＋eq \f(|x|,x)的值是 . 15．定义新运算“※”：对于有理数a，b(a，b都不为0)，a※b＝eq \f(1,a)÷(－eq \f(b,2))．例如：4※3＝eq \f(1,4)÷(－eq \f(3,2))＝－eq \f(1,6).求(－eq \f(2,3)※9)※2的值． 解：因为a※b＝eq \f(1,a)÷(－eq \f(b,2))， 所以(－eq \f(2,3)※9)※2＝[－eq \f(3,2)÷(－eq \f(9,2))]※2 ＝eq \f(1,3)※2＝3÷(－eq \f(2,2)) ＝－3. $$第3课时　有理数的减法 1．[2024·天津]计算3－(－3)的结果等于 ( )　　　　　　　　　　　　　　 A．－6 B．0 C．3 D．6 2．[2024·淄博期中]下列算式正确的是 ( ) A．0－(－5)＝5 B．(－14)－3＝－11 C．－5－(－5)＝－10 D．|5－3|＝－(5－3) 3．[2024·合阳县期中]－9－|－14|的计算结果是 ( ) A．－23 B．－5 C．5 D．23 4．[2024·陇县期中]下面是宝鸡市陇县2023年12月连续四天的天 气预报信息，其中日温差最大的一天是 ( ) A.12月14日 B．12月15日 C．12月16日 D．12月17日 7．a，b，c三个数的位置如图所示，下列结论不正确的是 ( ) A．a＋b<0　 B．b＋c<0 C．b－a>0 D．c－a>0 8．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为(25± 0.1)kg，(25±0.2)kg，(25±0.3)kg的字样，从中任意拿出 两袋，它们的质量最多相差 ( ) A．0.8 kg B．0.6 kg C．0.5 kg D．0.4 kg 9．(多选)[2024·茂名期末]已知|a|＝3，b＝7，则a－b的值 为 ( ) A．4 B．－4 C．10 D．－10 10．(多选)[2024·上杭县期中]下列说法错误的是 ( ) A．零减去一个数仍得这个数 B．零减去一个数等于加上这个数的相反数 C．互为相反数的两个数差为零 D．减去一个数，差一定大于被减数 11．[2024·金水区期中]如表列出了国外几个城市与北京的时差. 2024年巴黎奥运会网球女单决赛时间为当地时间8月3日13：30， 小红在北京观看电视直播的时间为_______.(甲城市与乙城市的时 差为两城市同一时刻的时数之差，如当北京时间为8：00，东京 时间为9：00，那么东京与北京的时差为9－8＝＋1 h) 20：30 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/h －13 －7 ＋1 －14 14．[2024·洛宁县期中]如表是某水库一周内水位高低的变化情 况(用正数记水位比前一日上升数，用负数记水位比前一日下降 数)(单位：m)： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位 变化 0.12 －0.02 －0.13 －0.20 －0.08 －0.02 0.32 则下列说法正确的有 ( ) ①这个星期的水位总体下降了0.01 m ②本周中星期一的水位最高 ③本周中星期六的水位比星期二下降了0.43 m. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 15．[2024·太原期中]小明用1个“ ”表示“＋1”，用1个 “ ”表示“－1”，借助图1解释了算式“4－(－3)＝7”的运 算过程与结果．类似地，借助图2可以解释算式“_____________ ____”的运算过程与结果． －5－(－2)＝ －3 16．李明在计算－6－a时，误将“－a”看成了“＋a”，求得结 果为3，则－6－a＝_____． －15 17．用符号(a，b)表示a，b两数中较小的一个数，用符号[a，b] 表示a，b两数中较大的一个数，则[－2，1]－(－1，－2.5)＝ ____． 3.5 18．小明做这样一道题：“计算：(－2)＋2×□”．其“□”处 被污渍覆盖，他翻开后面的答案得知该题的计算结果是8.那么 “□”表示的数是__． 5 19．[2024·萧县期中]数轴上线段的长度可以用线段端点表示的 数进行减法运算得到，如图，线段AB＝0－(－1)＝1；线段BC＝ 2－0＝2；线段AC＝2－(－1)＝3. (1)数轴上点M，N代表的数分别为－9和1，则线段MN＝ ； (2)数轴上点E，F代表的数分别为－6和－3，则线段EF＝ ； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2， 则另一个点表示的数为 ． 解：(1)由题意，得线段MN＝1－(－9)＝1＋9＝10， 故答案为：10； (2)由题意，得线段EF＝－3－(－6)＝－3＋6＝3， 故答案为：3； (3)由题意，得 m－2＝5或2－m＝5，解得m＝7或－3， 故答案为：7或－3. 20. [数学传统文化][2024·虹口区期中]阅读下列素材，完成 探究任务： 解：任务1：(1)此“二阶幻圆”的幻和是2×(－2＋4－6＋8－ 10＋12－14＋16 )÷4＝4，x处所填的数字是 4－(－14＋12＋16) ＝－10， 故答案为：4，－10； (2)因为x＋y＝4－(12＋8)＝－16， 所以y＝－16－(－10)＝－6，所以z＝－2或4， 所以y＋z的值为－8或－2， 故答案为：－8或－2； 任务2：(3)此“六角幻星”的幻和是2×(－5－4－3－2－1＋0＋ 1＋2＋3＋4＋5＋6)÷6＝2， 故答案为：2； (4)“六角幻星”如图： 5．计算－|－1|－(－eq \f(1,3))，结果为 ( ) A．－eq \f(2,3)　　 B．－eq \f(4,3)　　 C.eq \f(4,3)　　 D.eq \f(2,3) 6．现规定一种运算“*”：a*b＝a－eq \f(1,b)，如3*2＝3－eq \f(1,2)＝eq \f(5,2)，则 (－eq \f(1,2))*(－3)＝ ( ) A．－eq \f(1,6) B．－eq \f(5,6) C.eq \f(1,6) D.eq \f(5,2) 12.计算： (1)eq \f(15,16)－(－7eq \f(1,16))； (2)－|－6－14|－(－20)； (3)(－41)－28－(－19)－24； (4)(－3eq \f(2,3))－(－2eq \f(3,4))－(＋1eq \f(2,3))－(＋1.75)． 解：(1)原式＝eq \f(15,16)＋7eq \f(1,16)＝8； (2)原式＝－20＋20＝0； (3)原式＝－41－28＋19－24＝－74； (4)原式＝－3eq \f(2,3)＋2eq \f(3,4)－1eq \f(2,3)－1eq \f(3,4) ＝－(3eq \f(2,3)＋1eq \f(2,3))＋(2eq \f(3,4)－1eq \f(3,4))＝－5eq \f(1,3)＋1＝－4eq \f(1,3). 13．列式计算： (1)－1eq \f(1,6)与－3eq \f(5,6)的差； (2)－4减去－3与5的和所得的差． 解：(1)－1eq \f(1,6)－(－3eq \f(5,6))＝－1eq \f(1,6)＋3eq \f(5,6)＝2eq \f(2,3)； (2)－4－(－3＋5)＝－4－2＝－6. $$第2章 有理数的运算 2.1　有理数的加法与减法 第1课时　有理数的加法 1．[2024·广东]计算－5＋3的结果是 ( )　　　　　　　　　　　　　 A．－8 B．－2 C．2 D．8 2．[2024·兰州模拟]如图是安安某天微信账单的收支明细(正数 表示收入，负数表示支出，单位：元)，安安当天微信收支的最终 结果是 ( ) A．收入19元 B．收入9元 C．支出9元 D．支出10元 3．[西宁中考]中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在 其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹(小棍形状的记数 工具)分别(－2)，根据这种表示法，可推算出图2所表示的算式 是 ( ) A．(＋3)＋(＋6) B．(＋3)＋(－6) C．(－3)＋(＋6) D．(－3)＋(－6) 4．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中 正确的是 ( ) A．a＋b>0 B．|a|>|b| C．－a<b D．a>b 5. [数形结合]如图所示，有理数a，b，c，d在数轴上的对应点 分别是A，B，C，D，若a＋c＝0，则b＋d的值 ( ) A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不确定 6. [数学传统文化][2024·淅川县期中]我国是最早认识负数，并 进行相关运算的国家．在古代数学名著《九章算术》里，就记载 了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算3＋(－4)的 过程．按照这种方法，图2表示的过程计算结果应为 ( ) A．－6 B．－2 C．2 D．6 7．(多选)下列运算错误的是 ( ) A．(－2)＋(－2)＝0 B．(－6)＋(＋4)＝－10 C．0＋(－3)＝3 8．(多选)在计算|(－5)＋□|的□中填上一个数，使结果等于11， 这个数是 ( ) A．16 B．6 C．－16 D．－6 9．(多选)对于有理数a，b以下说法正确的是 ( ) A．若a＋b＝0，则a与b互为相反数 B．若a＋b<0，则a与b异号 C．若|a|>|b|，且a与b异号，则a＋b>0 D．若|a|<b，则a＋b>0 10．(多选)[2024·交城县期中]如果两数相加的和小于每一个加 数，那么下列判断错误的是 ( ) A．这两个加数一定有一个数是0 B．这两个加数一定都是负数 C．这两个加数一正一负，且负数绝对值较大 D．这两个加数的符号不能确定 11．[2024·浦东新区期中]飞机在12 000 m高空飞行时，机舱外 的温度为－56 ℃，机舱内的温度比机舱外高80 ℃，机舱内的温 度为___℃. 24 解：(1)原式＝－(21＋39)＝－60； (2)原式＝－(45－32)＝－13； 15．[2024·乐清期末改编]一辆玩具赛车在一条水平直线上先 向东行驶15 m，再向西行驶20 m，规定向东行驶为正，向西行 驶为负，下列算式能表示起点相对于赛车现在位置的是 ( ) A．(＋15)＋(＋20) B．(＋15)＋(－20) C．(－15)＋(＋20) D．(－15)＋(－20) 16．(多选)[2024·汉阳区期末]已知|m|＝4，|n|＝5，且m＞n， 则m＋n的值是 ( ) A．1 B．－9 C．－1 D．9 17．从图1中找出规律，并按规律从图2中找出a，b，c的值，计 算a＋b＋c的值是__. 6 18. [新定义]我们给出如下规定：如果两个有理数的和是8，那 么称这两个有理数互为“吉祥数”． (1)下列各数对：①5和3　②－5和13③－54和46中，互为“吉 祥数”的数对有 ；(填序号) (2)在数轴上，点A到原点O的距离是8，请直接写出点A表示的数 的“吉祥数”． 解：(1)5＋3＝8，－5＋13＝8，－54＋46＝－8， 所以①②是互为“吉祥数”的数对，故答案为：①②； (2)因为点A到原点O的距离是8， 所以点A为±8，所以点A为8时，“吉祥数”为0； 点A为－8时，“吉祥数”为16. 19．[2023·沈阳期中]如图，这是流花河的水文资料(单位：m)． 如表所示是2023年雨季流花河一周内的水位变化情况(上周末的水 位达到警戒水位，正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比 前一天下降)． (1)本周哪一天河流的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？ 与警戒水位的距离是多少米？ (2)与上周末相比，本周末河流水位是上升了还是下降了？请 说明理由． 解：(1)星期一：33.4＋(－0.3)＝33.1 (m)， 星期二：33.1＋(＋0.51)＝33.61 (m)， 星期三：33.61＋(－0.36)＝33.25 (m)， 星期四：33.25＋(＋0.05)＝33.3 (m)， 星期五：33.3＋(＋0.38)＝33.68 (m)， 星期六：33.68＋(－0.36)＝33.32 (m)， 星期日：33.32＋(－0.01)＝33.31 (m)， 所以星期五河流的水位最高，位于警戒水位之上，与警戒水位 的距离是33.68－33.4＝0.28 m； (2)因为33.31<33.4， 所以与上周末相比，本周末河流水位下降了． 20．综合与实践活动： (1)横行、竖列、对角线上的三个数之和分别是多少？你还能发现 哪些相等的关系？ (2)如果把和相等的每一组数分别连线，这些线段会构成一个怎样 的图形？描述你得到的图形有什么特点？ 4 9 2 3 5 7 8 1 6 (3)你能改变上述幻方中数字的位置，使它们仍然满足你发现的 那些相等关系吗？ (4)在你构造的幻方中，最核心的位置是什么？有没有“成对”的 数？ 归纳总结：三阶幻方的性质：每一 、每一 和 的 三个数的和都相等； 【实践应用】 “九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”(图2所示)，是世 界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来， “洛书”就是一个三阶“幻方”(图3所示)． 在新“幻方”(图4所示)中，将－3，－2，－1，0，1，2，3，4， 5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之 和相等，现在a，b，c分别表示其中的一个数，则b＋a＋c的值 为 ． 解：(1)横行：4＋9＋2＝15，3＋5＋7＝15，8＋1＋6＝15， 竖列：4＋3＋8＝15，9＋5＋1＝15，2＋7＋6＝15， 对角线：4＋5＋6＝15，2＋5＋8＝15， 相等关系为：每一横行、每一竖列和对角线上的三个数的和都 相等； (2)如果把和相等的每一组数分别连线，这些线段会构成一个 “米”字形， 该图形是中心对称图形，也是轴对称图形； (3)能．如图所示： (4)最核心的位置是5，有成对的数，“9和1”“8和2”“7和3” “6和4”，其中“9和1”“7和3”，只能在核心位置的“上下” 或“左右”出现； 6 7 2 1 5 9 8 3 4 【归纳总结】三阶幻方的性质：每一横行、每一竖列和每条对 角线上的三个数的和都相等． 故答案为：横行、竖列、每条对角线上； 【实践应用】因为使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相 等，所以最核心的位置是1，成对的数有“5和－3”“4和－2” “3和－1”“2和0”， 所以a＝－3，b＝0，c＝－2，所以b＋a＋c＝0＋(－3)＋(－2)＝ －5，故答案为：－5. D．(＋eq \f(5,6))＋(－eq \f(1,6))＝eq \f(2,3) 12．[2024·浦东新区期中]计算：2eq \f(3,4)＋(－1eq \f(1,2))＝__． 13．[2023秋·射阳县期末]eq \f(3,5)的相反数与－eq \f(2,5)的绝对值的和是___． eq \f(5,4) －eq \f(1,5) 14. 计算： (1)(－21)＋(－39)； (2)(－45)＋(＋32)； (3)(－7eq \f(2,3))＋(－3eq \f(5,6))； (4)－eq \f(4,5)＋eq \f(3,2)； (5)|(－6)＋(－13)|； (6)(－4.25)＋(＋3eq \f(3,8))． (3)原式＝－(eq \f(23,3)＋eq \f(23,6)) ＝－(eq \f(46,6)＋eq \f(23,6)) ＝－eq \f(23,2)； (4)原式＝－eq \f(8,10)＋eq \f(15,10)＝eq \f(7,10)； (5)原式＝|－19|＝19； (6)原式＝(－4eq \f(1,4))＋(＋3eq \f(3,8)) ＝－(4eq \f(2,8)－3eq \f(3,8)) ＝－eq \f(7,8). $$2.3　有理数的乘方 第1课时　有理数的乘方 1．[2024·行唐县期末]下列可以表示7a的是 ( ) A． B． C． D． 2．[2024·孝感期末]下列运算正确的是 ( ) A．(－3)2＝－9 B．－(－2)2＝4 C．32＝6 D．(－2)3＝－8 3．[2024·济南期中]在(－1)3，(－1)2，－22，(－3)2这四个 数中，最大的数与最小的数的差等于 ( ) A．8 B．13 C．－5 D．5 4．[2024·聊城期中]下列各组数中，互为相反数的一组是 ( ) 5．[2024·合肥期末]下列各组数中，最后运算结果相等的 是 ( ) A．102和54 B．－44和(－4)4 6．[2024·中牟县期末]《孙子算经》中载有“今有出门望见 九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢…”大意为：今天出 门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝， 每根树枝上有9个鸟巢….文中的鸟巢共有 ( ) A．93个 B．103个 C．94个 D．104个 7．(多选)[2024·吐鲁番期末]下列各式中，相等的是 ( ) A．(－1)4和－(－1) B．－23和(－2)3 C．(－3)2和|－32| D．－23和－32 8．(多选)若a是有理数，那么以下的式子中，一定是正数的 有 ( ) A．a＋1 B．|a＋1| C．|a|＋1 D．a2＋1 9．如图是张小琴同学的一张测试卷，她的得分应是___． 25 10．[2024·丽水期中]方方与圆圆两位同学计算－42÷(－2)3× (－ )的过程如下： (1)以上计算过程中，方方开始出错的是第 步，圆圆开始出 错的是第 步(填序号)； (2)写出你的计算过程． 11．(多选)[2024·博爱县期中]在求两位数的平方时，可以用 “列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示： 则第4个方框中最下面一行的数可能是 ( ) A．1 369 B．4 489 C．4 909 D．5 329 解析：因为42＝3×7×2， 所以两位数可能为372或732， 所以如图所示， 或 12.[规律探究题][2024·金沙县期中]观察等式：21＝2，22＝4， 23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，….通过观察，用你 发现的规律确定22 025的个位数是__． 解析：因为21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…， 所以2n的个位数字按2，4，8，6四次一循环的规律出现， 且2 025÷4＝506……1， 所以22 025的个位数是2. 2 13. [跨学段·新定义]请认真阅读下面材料，并解答下列问题． 如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即指数式ab＝N，那么数b叫 作以a为底N的对数，对数式记作logaN＝b.例如： ①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作 log24＝2； ②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作 log416＝2. (1)请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式： ①62＝36；②43＝64； (2)将下列对数式改为指数式： ①log525＝2；②log327＝3； (3)计算：log264. 解：(1)①62＝36，对数式记作log636＝2； ②43＝64，对数式记作log464＝3； (2)①log525＝2，指数式为52＝25； ②log327＝3，指数式为33＝27； (3)因为26＝64，所以log264＝6. 14. [新定义] 【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫作除方， 如2÷2÷2，(－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)等．类比有理数的乘 方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，(－3)÷(－3) ÷(－3)÷(－3)记作(－3)④，读作“－3的圈4次方”，一般地， 把 (a≠0)记作a ，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：2③＝ ，(－ )⑤＝ ； (2)关于除方，下列说法错误的是 ( ) A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1 C．3④＝4③ D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算 可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算 呢？ (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形 式． (－3)的圈4次方＝ ；5的圈5次方＝ ；(－ )的圈6次 方＝ ； (4)想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ； (5)算一算：24÷23＋(－8)×2③. (2)A.任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1， 所以选项A正确； B．因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1 都等于1， 所以选项B正确； D．负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数， 负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数． 所以选项D正确． 故答案为：C； (5)24÷23＋(－8)×2③ ＝24÷8＋(－8)× ＝3－4＝－1. A．(－3)2与(－eq \f(1,3))2 B．|－3|2与32 C．(－eq \f(1,3))2与(eq \f(1,3))2 D．(－3)2与－32 C．－55和(－5)5 D．(eq \f(2,3))3和eq \f(23,3) eq \f(1,8) 解：(1)②，①； (2)－42÷(－2)3×(－eq \f(1,8))＝－16÷(－8)×(－eq \f(1,8))＝2×(－eq \f(1,8))＝－eq \f(1,4). eq \f(1,2) eq \f(1,2) 解：(1)2③＝2÷2÷2＝eq \f(1,2)， (－eq \f(1,2))⑤＝(－eq \f(1,2))÷(－eq \f(1,2))÷(－eq \f(1,2))÷(－eq \f(1,2))÷(－eq \f(1,2))＝1÷(－eq \f(1,2))÷(－eq \f(1,2))÷(－eq \f(1,2))＝(－2)÷(－eq \f(1,2))÷(－eq \f(1,2))＝－8. 故答案为：eq \f(1,2)，－8； C．3④＝3÷3÷3÷3＝eq \f(1,9)，4③＝4÷4÷4＝eq \f(1,4)，则3④≠4③，所以选项C错误； (3)(－3)④＝(－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)＝1×(eq \f(1,3))2＝eq \f(1,32)； 5⑤＝5÷5÷5÷5÷5＝1×(eq \f(1,5))3＝eq \f(1,53)； (－eq \f(1,2))⑥＝(－eq \f(1,2))÷(－eq \f(1,2))÷(－eq \f(1,2))÷(－eq \f(1,2))÷(－eq \f(1,2))÷(－eq \f(1,2)) ＝1×2×2×2×2＝24； 故答案为：eq \f(1,32)，eq \f(1,53)，24； eq \f(1,2) (4)a eq^\o(a÷a÷a÷…÷a,\s\do4(n个a))＝1×eq \f(1,an－2) ＝eq \f(1,an－2).故答案为：eq \f(1,an－2)； $$2.4　有理数的混合运算 1．[2023·杭州](－2)2＋22＝ ( )　　　　　　　　　　　　　　 A．0 B．2 C．4 D．8 2．[2024·鼓楼区期末]下列算式中，正确的是 ( ) A．(－32)÷4×(－8)＝(－32)÷(－32) C．(－2)3×(－7)＝23×7 D．－(－0.2)4＝0.2×0.2×0.2×0.2 你认为做对的同学是 ( ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．在算式2 021－(－3□5)÷(－ )中的□内填入下列哪种运算 符号，计算出的结果最小 ( ) A．＋ B．－ C．× D．÷ 6．国庆期间，小郑与小州一起去爬山，他们想知道山的高度． 小郑提议利用温差测量山峰的高度，小郑在山顶上测得温度 是－1 ℃，小州此时在山脚测得温度为5 ℃.已知该地区高度 每增加100米，气温大约降低0.8 ℃，则该山的高度大约 是 ( ) A．600米 B．800米 C．650米 D．750米 8．(多选)下列运算正确的是 ( ) A．－48÷23＝－6 B．(4＋5)2＝42＋52 C．(－3)2÷(－43)＝－ D．－3×22－(－3×22)＝0 9．[2024·镇江期末]按照如图所示的操作步骤，若输入值为－1， 则输出的值为___． 20 10. [数学传统文化]中国是世界上首先使用负数的国家．两千多 年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用负数的实例． 《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负 数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法．请计算 以下涉及“负数”的式子的值：－1－(－3)2＝_____. －10 13．[2023·西峰区期末]定义一种对正整数n的“F运算”：①当 n为奇数时，结果为3n＋1；②当n为偶数时，结果为 (其中k是 使此次结果为奇数的正整数)，并且运算可以重复进行．例如， 取n＝25时，运算过程如图．若n＝34，则第2 024次“F运算”后 的结果是 ( ) A．16 B．4 C．1 D．5 14．求1＋2＋22＋23＋…＋22 023的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋… ＋22 023，则2S＝2＋22＋23＋…＋22 023＋22 024，因此2S－S＝ 22 024－1，S＝22 024－1.参照以上推理，计算4＋42＋43＋…＋ 42 022＋42 023的值为 ( ) A．42 024－1 B．42 024－4 15．[2024·甘肃]定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝ mn－mn(m，n均为整数，且m≠0)．例：2*3＝23－2×3＝2，则 (－2)*2＝__． 8 16．[2024·通辽期末]已知a，b互为相反数，c，d互为倒数， m的绝对值是2，求 ＋4m－3cd的值． 解：因为a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是2，所以 a＋b＝0，cd＝1，m＝±2， 当m＝2时， ＋4m－3cd＝0＋8－3＝5； 当m＝－2时， ＋4m－3cd＝0－8－3＝－11. 17．班会活动上有一个游戏，规则如下：连续从一个箱子中随机 抽取4张卡片，并按以下步骤进行计算：第一步：把第1张卡片上 的数字平方；第二步：把第一步的计算结果除以第2张卡片上的数 字；第三步：把第二步的计算结果减去第3张卡片上的数字；第四 步：把第三步的计算结果乘以第4张卡片上的数字．规定计算结果 小的同学表演节目．小强抽到如图1的4张卡片，小华抽到如图2的 4张卡片，请你通过计算说明谁表演节目． 18．[2024·廊坊期中]淇淇在电脑上设计了一个有理数运算程 序：输入a，加*键，再输入b，得到运算：a*b＝(a3＋b2)÷(a－ b)． (1)求(－1)*(－3)的值； (2)嘉嘉在运用此程序计算时，屏幕显示“程序运算错误”， 请你以有理数的运算法则推测嘉嘉在输入数据时出现了什么情况． 解：(1)因为a*b＝(a3＋b2)÷(a－b)， 所以原式＝[(－1)3＋(－3)2]÷[(－1)－(－3)] ＝(－1＋9)÷(－1＋3)＝8÷2＝4； (2)因为0不能作除数，屏幕显示“程序运算错误”，所以小华 在输入数据时可能是a－b＝0，即a＝b. B.eq \f(1,6)÷(eq \f(1,3)－eq \f(1,2))＝eq \f(1,6)÷eq \f(1,3)－eq \f(1,6)÷eq \f(1,2) 3．[2024·襄都区期中]计算－eq \f(2,7)－(eq \f(2,11)＋2)×(－2)＋(－3eq \f(5,7))的正确结果是 ( ) A.eq \f(43,77) B．－eq \f(4,11) C.eq \f(4,11) D．－eq \f(43,77) 4．[2024·廊坊期中]在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题： 甲：9－42÷8＝1÷8＝eq \f(1,8) 乙：24－4×32＝24－4×6＝0 丙：(－3)2÷eq \f(1,3)×3＝9÷1＝9 丁：(36－12)÷eq \f(3,2)＝24×eq \f(2,3)＝16 eq \f(1,2) 7．(多选)下面是小刚同学做的一道有理数的混合运算题：－23÷eq \f(4,9)×(－eq \f(3,2))2. 解：原式＝8÷eq \f(4,9)×eq \f(9,4)＝8.四名同学看了小刚的解答，给出4个看法，其中正 确的是 ( ) A．运算顺序错了 B．计算－23时符号错了，应为－8 C．计算结果是－8 D．第一步应该等于－8÷eq \f(9,4)×eq \f(9,4) eq \f(9,64) 11．[2024·德州期中]计算： (1)(eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋eq \f(1,6))×(－24)； (2)－72＋2×(－3)2＋(－6)÷(－eq \f(1,3))2. 解：(1)原式＝eq \f(1,2)×(－24)＋eq \f(1,3)×(－24)－eq \f(1,4)×(－24)＋eq \f(1,6)×(－24)＝－12－8＋6－4＝－24＋6＝－18； (2)原式＝－49＋2×9＋(－6)×9＝－49＋18－54＝－85. 12．[2024·仁寿县期末]计算： (1)6－12÷(－4＋2)； (2)－14－(－5eq \f(1,2))×eq \f(4,11)＋(－2)3÷|－32＋1|. 解：(1)6－12÷(－4＋2)＝6－12÷(－2)＝6－(－6)＝12； (2)－14－(－5eq \f(1,2))×eq \f(4,11)＋(－2)3÷|－32＋1| ＝－1－(－eq \f(11,2))×eq \f(4,11)＋(－8)×eq \f(1,8)＝－1－(－2)－1＝－1＋2－1＝0. eq \f(n,2k) C.eq \f(42 024－4,3) D.eq \f(42 024－1,3) eq \f(|a＋b|,2m2＋1) eq \f(|a＋b|,2m2＋1) eq \f(|a＋b|,2m2＋1) 解：小强：[(－1)2÷(－eq \f(3,2))－(－2)]×eq \f(1,2)＝eq \f(2,3)， 小华：[22÷(1eq \f(1,3))－4]×(－eq \f(5,4))＝eq \f(5,4)， 因为eq \f(2,3)<eq \f(5,4)，所以小强表演节目． $$