精品解析：福建省莆田第二中学2026届高三上学期一调考试数学试题

莆田二中2026届高三一调考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ）. A. B. C. D. 2. 设定义在R上的奇函数，若，则（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为（ ） （参考数据：，） A. 36.9% B. 41.5% C. 58.5% D. 63.4% 6. 已知函数，则“”是“为的极小值点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数的导函数为，满足，且，则函数的最大值为（ ）． A. 0 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 存在实数使得 B. 当时，有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 若曲线有两条过点的切线，则 11. （多选）函数的定义域为，，若，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. 函数是增函数 D. 函数是奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数是奇函数，则___________. 13. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则______． 14. 已知函数，若关于x的方程有6个不同的实根，则实数a的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 设函数． （1）当时，解不等式； （2）若，且关于的方程在[－2，6]上有实数解，求实数的取值范围． 16. 已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且． （1）求函数、的解析式； （2）设，，对于，都有，使得，求实数的取值范围． 17. 设函数. （1）若，求的单调区间； （2）若，当时，不等式恒成立，求的取值范围. 18. 已知函数． （1）当时，判断函数的零点个数； （2）设，若函数有两个极值点、，求证：． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. （3）若在存在极值，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田二中2026届高三一调考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出集合,再根据并集的定义求解即可. 【详解】由题意，得, 所以. 故选：C. 2. 设定义在R上的奇函数，若，则（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】函数是定义在R上的奇函数，则由奇函数的性质可得.已知，需要先对求导，再代入求解的值. 【详解】因为是奇函数，所以，则，，所以，解得． 故选：D. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和函数值的分布情况即可判断. 【详解】函数的定义域为， 则函数为偶函数，函数图象关于轴对称，排除BD； 又当时，，而，，则，排除C， 选项A符合要求. 故选：A 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性及余弦函数的性质比较大小. 【详解】， 所以. 故选：D 5. 核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为（ ） （参考数据：，） A. 36.9% B. 41.5% C. 58.5% D. 63.4% 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，代入解方程即可. 【详解】由题意可知，，即， 所以，解得. 故选：C 6. 已知函数，则“”是“为的极小值点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】在的条件下利用导数证明为的极小值点，然后说明当，时，为的极小值点，但并不成立，从而得到答案. 【详解】由题设，， 若，则，故上，上， 所以在上递增，上递减，故为的极小值点，从而条件是充分的； 当，时，有，则， 显然上，上， 所以在上递减，上递增， 此时为的极小值点，但此时并不成立，从而条件不是必要的. 故选：A. 7. 已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】当时， 若，则， 若，则， 函数的值域不可能为； 当时，， 在上单调递增， 在上单调递增，， 若函数的值域为，则，解得； 综上所述，实数a的取值范围是. 故选：B. 8. 设函数的导函数为，满足，且，则函数的最大值为（ ）． A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知得，则可得，根据得，然后利用导数法求出的单调区间，进而求出最大值即可． 【详解】由，可知， 即，即， 所以（为常数），从而． 又因为，所以，则． 由， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，有最大值为． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质，结合换底公式即可得解. 【详解】对于A，当时，，即，故A错误； 对于B，当时，，即， 故B正确； 对于C，当时，，即，故C错误； 对于D，当时，，，所以，故D正确， 故选：BD. 10. 已知函数，则（ ） A. 存在实数使得 B. 当时，有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 若曲线有两条过点的切线，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，求出的导函数，使其和相等，解方程看是否有实数根，即可求得； 对B，根据的导函数确定单调区间以及极值点，看与轴交点即可判断； 对C，根据中心对称公式即可判断； 对D，设过的切线的切点为，由条件可得有两个根，结合导数研究方程的根即可. 【详解】对A，根据已知的导函数，令 则，令， ，当时， 根据函数零点存在定理存在实数使得，故A正确； 对B，根据题意知，令得到， 在和上，所以在和单调递增， 在上，所以在单调递减， 是的极大值，且的极大值大于极小值， ， ， 所以在定义域内有且只有一个零点，故B错误； 对C，令，该函数定义域为R， 且， 所以为奇函数，是的对称中心， 将向下移动两个单位得到的图像， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 对D，过的切线的切点为，切线斜率为， 则切线方程为， 把点代入可得，化简可得， 令， 则，令可得或， 在和上大于零，所以在和上单调递增， 在上小于零，所以在单调递减， 要使有两个解，一个极值一定为， 若函数在极值点时的函数值为，可得， 所以 若函数在极值点时的函数值为，可得， 所以，故D不正确. 故选：AC 11. （多选）函数的定义域为，，若，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. 函数是增函数 D. 函数是奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题根据题干结合选项采用赋值法来解决抽象函数涉及的相关问题. 【详解】令，，得， 因为，所以； 令，得， 因为，所以，即选项A正确； 由选项A知的图象过点、， 令，则得，， 所以， 因为，所以选项B正确； 因为是减函数，所以选项C错误； 因为，所以为奇函数，即选项D正确； 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数是奇函数，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据幂函数定义可构造方程求得，将的值代入解析式验证函数奇偶性可确定结果. 【详解】由题意得，∴或1， 当时，是偶函数； 当时，是奇函数. 故答案为：1. 13. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，推得，得到的周期为，再由，即可求解. 【详解】因为函数是上的奇函数，可得， 又因为，可得， 所以，所以函数的周期为， 因为当时，， 所以， 又因为，可得， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数，若关于x的方程有6个不同的实根，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数性质，及二次方程根的分布来求解即可. 【详解】作出函数的图象如图所示， 令，则因为关于 x的方程有6个不同的实根， 所以方程在区间上有2个不同的实根， 设， 则，解得， 故实数a的取值范围是 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 设函数． （1）当时，解不等式； （2）若，且关于的方程在[－2，6]上有实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的单调性结合定义域列出不等式组即可求解. （2）分离常数后利用复合函数的单调性求得函数的最值即可求解. 【详解】（1）由题意，知，则 由得或，由得， 所以，原不等式的解集为 （2）， 即 因为在上是增函数，在上减函数， 所以函数在上是增函数， 所以时，；时，， 所以，实数的取值范围是． 16. 已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且． （1）求函数、的解析式； （2）设，，对于，都有，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性得到，结合条件得到方程组，求出答案； （2）在R上的值域为在上的值域的子集，求出在R上的值域为，换元得到，在上的值域为，所以，故，解得. 【小问1详解】 因为①，所以， 是偶函数，是奇函数，故， 故②， 故①+②得，则， 【小问2详解】 对于，都有，使得， 则在R上的值域为在上的值域的子集， 其中， 因为，，， 所以在R上的值域为， ， 令，显然在上单调递增， 所以， 故， 当时，取得最小值，最小值为， 故在上的值域为， 所以，故，解得. 17. 设函数. （1）若，求的单调区间； （2）若，当时，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，按照和分类讨论，当时，解不得等式即可求得单调区间； （2）将题意转化为不等式在上恒成立，当时，不等式显然成立；当时，参变分离得在上恒成立，令，多次求导判断单调性，进而求出的最小值，即可得解. 【小问1详解】 依题意得. ①当时，在上恒成立，所以在上单调递增； ②当时，令，得，令，得或， 所以在上单调递减，在和上单调递增. 所以当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增. 【小问2详解】 当时，不等式恒成立， 即不等式在上恒成立， 当时，不等式显然成立，此时； 当时，即在上恒成立， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，注意到， 所以当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以在时取到最小值为， 所以，所以， 综上，的取值范围为. 18. 已知函数． （1）当时，判断函数的零点个数； （2）设，若函数有两个极值点、，求证：． 【答案】（1）1 （2） ，， ，， 令，即， 因为函数有两个极值点、， 故有两个根， 则，解得，且， 故 ， 令，， 则， 所以在上单调递减， ，故. 【解析】 【分析】（1）求导，得到恒成立，故在上单调递增，结合特殊点函数值和零点存在性定理可得答案； （2），，求导，转化为有两个根，根据韦达定理和根的判别式得到不等式，求出，并得到，令，，求导得到其单调性，从而得到，故. 【小问1详解】 时，，， 则恒成立，故在上单调递增， 又，， 由零点存在性定理可得上存在唯一的零点，故函数的零点个数为1； 【小问2详解】 略 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. （3）若在存在极值，求a的取值范围. 【答案】（1）； （2） 令， 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 定义域关于直线对称，由题意可得， 由对称性可知， 取可得， 即，则，解得， 经检验满足题意，故. 即存在满足题意. （3）. 【解析】 【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； (2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可； (3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 则， 据此可得， 函数在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由函数的解析式可得， 由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点; 令， 则， 令， 在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点， 当时，，在区间上单调递减， 此时，在区间上无零点，不合题意; 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，， 所以在区间上无零点，不符合题意； 当时，由可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的最小值为， 令，则， 函数在定义域内单调递增，， 据此可得恒成立， 则， 由一次函数与对数函数的性质可得，当时， ， 且注意到， 根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点. 当时，，单调减， 当时，，单调递增， 所以. 令，则， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以 ， 所以函数在区间上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知:实数得取值范围是. 【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. (2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $