精品解析：湖南省郴州市永兴县树德初级中学2023-2024学年九年级下学期学科竞赛模拟数学试题

2024年上期树德中学九年级一中学科竞赛数学模拟试卷 时量：120分钟 总分：150分 一、单选题（每小题4分，共32分） 1. 在3.14159，，0，π，这5个数中，无理数的个数有（　　） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 若实数，满足等式，则的值是　　 A. B. C. 9 D. 3 3. 如图，，是上异于、的一点，则的值是（　　） A. B. C. D. 4. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ） A. B. C. D. 5. 代数式化简后的结果不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形的边长为，点在上，若以为直径的与相切，则的长为( ) A. 1 B. C. D. 7. 已知二次函数图像的一部分如图所示，该函数图像经过点，对称轴为直线，对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④无论为何值时，代数式的值一定不大于．其中正确的个数有（   ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 如图，在等腰中，斜边的长为4，D为的中点，E为边上的动点，． 交于点F，P为的中点，连接，，则的最小值是（    ） A. 3 B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共32分） 9. 已知，求自变量取值范围______________． 10. 设a是方程的一个实数根，则值为______． 11. 如图，长方形纸片，将沿对角线折叠得，和相交于点E，将沿折叠得，若，则度数为______________________．（用含α的式子表示） 12. 如图，点A在反比例函数的图象上，以点A为圆心画弦交x轴于B，C，延长交轴于点，连接，若的面积等于4，，则k的值为_________． 13. 如图，在扇形中，，半径是的中点，过点作，交于点，则阴影部分的面积为______． 14. 如图所示是函数的图象，若，则的取值范围为___________． 15. 如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是__________． 16. 如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接，有以下五个结论：①；②；③；④；⑤若，则，你认为其中正确的是_______（填写序号）． 三、解答题 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了“党在我心中”党史知识竞赛，竞赛得分为整数，王老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成如下不完整的统计图表： 组别 成绩（分） 频数 6 18 请你根据上面的统计图表提供的信息解答下列问题： （1）上表中的_________，_________，_________． （2）请补全频数分布直方图． （3）计算扇形统计图中组的圆心角的度数． （4）已知该校有1000名学生，请估计竞赛成绩在90分以上（不含90分）的学生有多少人？ 20. 2023年12月17日进行的WTT女子总决赛女单决赛中，孙颖莎夺得女单冠军．某商家看准商机，进行乒乓球拍的销售，每副乒乓球拍进价40元．规定销售单价不低于44元，且不高于60元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300副，由于销售火爆，商家决定提价销售．经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10副． （1）求当每副乒乓球拍的销售单价是多少元时，商家每天获利2640元； （2）将乒乓球拍的销售单价定为多少元时，商家每天销售乒乓球拍获得的利润元最大？最大利润是多少元？ 21. 如图，中，过点作，交的延长线点；过点作，交的延长线于点，交于点，连接，． （1）求的长； （2）求证：四边形为菱形． 22. 如图，在葫芦河的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点C与点B在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为，然后沿坡面上行了米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为． （1）求的值． （2）求楼的高度． 23. 如图，为上的直径，C为上的点，垂直于过点的直线，垂足为D． （1）若平分，求证：为的切线； （2）在（1）的条件下，若，求的半径r． 24. 阅读下面的材料，并解答后面的问题，材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解：由分母为x+1，可设3x2+4x﹣1＝（x+1）（3x+a）+b． 因为（x+1）（3x+a）+b＝3x2+ax+3x+a+b＝3x2+（a+3）x+a+b， 所以3x2+4x﹣1＝3x2+（a+3）x+a+b． 所以，解得． 所以＝＝﹣＝3x+1﹣． 这样，分式就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式的差的形式．根据你的理解解决下列问题： （1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式； （2）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，求m2+n2+mn的最小值． 25. 综合与实践 数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动． 【探索发现】 （1）如图①，在正方形中，点是边上一点，于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，可证得．请写出证明过程． 【深入思考】 （2）在（1）的条件下，如图②，延长，交于点，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，如图③，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在上，试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 26. 如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线经过点、，与y轴交于点C．顶点为点D．在线段下方的抛物线上有一动点P． （1）求抛物线和直线的函数表达式： （2）过点P作垂直于直线．交于点Q，求的最大值； （3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以A、C、M、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有点G的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年上期树德中学九年级一中学科竞赛数学模拟试卷 时量：120分钟 总分：150分 一、单选题（每小题4分，共32分） 1. 在3.14159，，0，π，这5个数中，无理数的个数有（　　） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】3.14159，，0，是有理数；π是无理数， 故选A． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 2. 若实数，满足等式，则的值是　　 A. B. C. 9 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， ，， 解得：，， 则． 故选：． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题的关键． 3. 如图，，是上异于、的一点，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的运用，等腰三角形的三线合一，平方差公式，运用了恒等变换的思想．过点作于，在与中，运用勾股定理可表示出，，根据，，运用三线合一以及线段之间的转化可得．解题的关键是通过作辅助线并利用等腰三角形的三线合一解决问题． 【详解】解：过点作于， ∴与都为直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴的值是． 故选：A． 4. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一元一次不等式组的解集可知a＜3，由y的分式方程知a=-3，a=-1时满足方程有非负整数解，故符合条件的所有整数的和为． 【详解】 化简 解得 故2+a＜5 即a＜3 通分得 合并得 两边同乘y-2得 移向得 若有非负整数解且y≠2， 则a=-3时，y=0，符合题意， a=-1时y=1，符合题意， a=1时y=2，舍去， a=3时y=3，但a＜3，不符合题意，故舍去，其余a的取值同理均舍去． 综上所述a=-1，a=-3满足条件，故符合条件的所有整数的和为-4． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集，分式方程的性质，非负整数集的定义，一元一次不等式组的解集取两个式子解集的公共部分，分式方程的分母不能为0，否则方程无意义，非负整数指的是0和正整数．熟练掌握这些性质是解题的关键． 5. 代数式化简后的结果不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了绝对值，根据绝对值的意义即可解答，解题的关键是熟记绝对值的意义． 【详解】解：当时， 原式； 当时， 原式； 当时， 原式； 故选：． 6. 如图，正方形的边长为，点在上，若以为直径的与相切，则的长为( ) A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令切点，连接、相交于点，由切线的性质得，由正方形的性质得，从而得，，，于是，，在中利用勾股定理即可得解． 【详解】解：令切点，连接、相交于点， ∵与相切， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 即N、M分别是的路中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴即， 解得， 故选∶． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、切线的性质、垂线定义、平行线分线段成比例定理以、勾股定理及三角形的中位线性质，熟练掌握切线的性质、垂线定义以及平行线分线段成比例定理是解题的关键． 7. 已知二次函数图像的一部分如图所示，该函数图像经过点，对称轴为直线，对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④无论为何值时，代数式的值一定不大于．其中正确的个数有（   ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查二次函数的图像和性质，利用抛物线的开口方向确定a的符号，结合对称轴判断①；由抛物线与轴的一个交点为，结合对称轴得到另一个交点，由此判断②；根据一元二次方程与二次函数的关系判断③；将当时，有最大值，，时，，进行比较即可判断④． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴结论正确； ∵抛物线与轴的一个交点为，且对称轴为直线， 由，得， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 即当时，， ∴， ∴， ∴结论错误； ∵抛物线与轴的两个交点为，， ∴多项式可因式分解为， ∴结论错误； ∵对称轴为直线，且函数开口向下， ∴当时，有最大值， 由得， 时，， 时，， ∴无论为何值时， ， ∴ ∴结论正确； 综上：正确的有． 故答案为：B． 8. 如图，在等腰中，斜边的长为4，D为的中点，E为边上的动点，． 交于点F，P为的中点，连接，，则的最小值是（    ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，、，作线段的垂直平分线，作A关于垂直平分线的对称点，根据题意可得：点P在的垂直平分线上运动，得出的最小值为，结合图形利用垂直及平行的关系得出，且，在中，利用勾股定理求解即可得． 本题主要考查了以等腰直角三角形为背景的轴对称最短路径问题．熟练掌握等腰直角三角形性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理解直角三角形，轴对称的性质，垂直及平行的判定和性质等，找出点的运动路径，作出相应辅助线，是解题关键． 【详解】 连接，、． 是等腰直角三角形， 且在中，为的中点， ． 同理． ． 点在的垂直平分线上运动． 作A关于垂直平分线的对称点，连接． 的最小值为． ，为中点， ． 在中， ． 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共32分） 9. 已知，求自变量取值范围______________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0，零指数幂的底数不等于0列式求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，考虑被开方数为非负． 10. 设a是方程的一个实数根，则值为______． 【答案】4049 【解析】 【分析】根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答．本题考查了方程根的定义，代数式的整体思想求值，掌握定义，活用整体思想是解题的关键． 【详解】∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，长方形纸片，将沿对角线折叠得，和相交于点E，将沿折叠得，若，则度数为______________________．（用含α的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和折叠性质，根据，列出方程是解题的关键．设，根据折叠的性质可得，根据题意得出，求出x的值即可． 【详解】解：设，根据折叠的性质可得：，， 在长方形中，，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图，点A在反比例函数的图象上，以点A为圆心画弦交x轴于B，C，延长交轴于点，连接，若的面积等于4，，则k的值为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】作于是解题的关键．作于，连接，根据等腰三角形的性质得出，根据相似三角形的性质求得，进而根据题意求得，根据反比例函数系数的几何意义即可求得的值． 【详解】解：作于，连接， 以点为圆心画弧交轴于点、， ， ， ， ， ， ， ， 的面积等于4，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，相似三角形的性质和判定，三角形的面积，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是关键． 13. 如图，在扇形中，，半径是的中点，过点作，交于点，则阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积，解直角三角形等知识．连接，过点作于点,解直角三角形求出，再根据可得结论． 【详解】解：如图,连接，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 如图所示是函数的图象，若，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】令，解得，令，解得，在同一坐标系中作出，结合图形即可得解． 【详解】解：由图象可得， 令，解得， 令，解得， 在同一坐标系中作出如图所示， 由图可知，若，则的取值范围为． 15. 如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作于，过点C作于，首先通过勾股定理及求出AE,BE的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出，然后通过锐角三角函数得出，进而可得出，最后利用即可求值． 【详解】解：如图，过点D作于，过点C作于． ∵， ∴， ∵， 设，， ∴， ∴， ∴或（舍弃）， ∴， ∵，，， ∴（等腰三角形两腰上的高相等） ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为, 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键． 16. 如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接，有以下五个结论：①；②；③；④；⑤若，则，你认为其中正确的是_______（填写序号）． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】由正方形的性质和余角的性质可知，即可判定①；根据和都是等腰直角三角形，可得，从而得到即可判断②；由②相似知：，可得，可判定③；由可证，根据对应边成比例即可判定④；⑤设，则，由勾股定理知，借助④的证明即可判定⑤． 【详解】解：①∵正方形和正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即①正确． ②∵和都是等腰直角三角形， ∴， 即 ∵， ∴， ∴，即②正确． ③延长交于点N， ∵， ∴， ∴， ∴；即③正确． ④∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，即④正确． ⑤设，则， ∴， 由勾股定理知：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即⑤错误． 综上所述，符合题意的结论有①②③④． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解决问题的关键． 三、解答题 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先计算幂的乘方、绝对值、零指数幂、三角函数，再进行加减计算即可． 本题考查实数的混合运算，熟练掌握幂的乘方和零指数幂的运算法则、绝对值的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】 ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值．先根据整式的混合运算顺序和运算法则，以及完全平方公式和平方差公式，将整式化简，再将x和y的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 19. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了“党在我心中”党史知识竞赛，竞赛得分为整数，王老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成如下不完整的统计图表： 组别 成绩（分） 频数 6 18 请你根据上面的统计图表提供的信息解答下列问题： （1）上表中的_________，_________，_________． （2）请补全频数分布直方图． （3）计算扇形统计图中组的圆心角的度数． （4）已知该校有1000名学生，请估计竞赛成绩在90分以上（不含90分）的学生有多少人？ 【答案】（1），， （2） 补全图形如下： （3） （4）240人 【解析】 【分析】（1）由C组有18人，占比，可得样本总人数，再由频数分布直方图可得m，p的值，再由总人数减去各组频数可得n的值， （2）由C组18人，D组8人，补全图形即可； （3）由乘以D组的占比即可得到答案； （4）由1000乘以D，E两组的占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由频数分布直方图可得：， 而总人数为（人）， ∴ 故答案为：，，． 【小问2详解】 由频数分布表可得组18人，而D组人数； 【小问3详解】 扇形统计图中组的圆心角的度数为：． 【小问4详解】 成绩在90分以上（不含90分）的学生人数为： （人）． 【点睛】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，补全条形图，求解扇形某部分所对的圆心角的大小，利用样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键． 20. 2023年12月17日进行的WTT女子总决赛女单决赛中，孙颖莎夺得女单冠军．某商家看准商机，进行乒乓球拍的销售，每副乒乓球拍进价40元．规定销售单价不低于44元，且不高于60元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300副，由于销售火爆，商家决定提价销售．经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10副． （1）求当每副乒乓球拍的销售单价是多少元时，商家每天获利2640元； （2）将乒乓球拍的销售单价定为多少元时，商家每天销售乒乓球拍获得的利润元最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）52元 （2）当每销售单价定为57元时,利润最大，最大利润是2890元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用与二次函数的实际应用，根据题意正确列出一元二次方程与二次函数是关键． （1）设每副乒乓球拍的销售单价上涨元，根据一副乒乓球拍的利润与每天的销售数量之积等于每天利润，列出方程即可求解； （2）根据利润等于一副乒乓球拍的利润与每天的销售数量之积列出函数式，求出最大值及每副乒乓球拍的售价． 【小问1详解】 解：设每副乒乓球拍的销售单价上涨元，根据题意，得 ， 解得． 销售单价不高于60元， 而时，（元），不合题意， ． 答：当每副乒乓球拍的销售单价是52元时，商家每天获利2640元； 【小问2详解】 解：根据题意，得 ． ，二次函数图像开口向下，对称轴为直线， 当时，最大，最大值为2890． , 当每副乒乓球拍的销售单价定为57元时，商家每天销售乒乓球拍获得的利润最大，最大利润是2890元． 21. 如图，中，过点作，交的延长线点；过点作，交的延长线于点，交于点，连接，． （1）求的长； （2）求证：四边形为菱形． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴，， 由（1）得， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定； （1）证明四边形是平行四边形，得出，求出即可得解； （2）证明，可得，然后证明，根据菱形的判定定理可得结论． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ，即， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， ∴， ； 【小问2详解】 略 22. 如图，在葫芦河的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点C与点B在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为，然后沿坡面上行了米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为． （1）求的值． （2）求楼的高度． 【答案】（1）； （2）楼AB的高度为米． 【解析】 【分析】本题考查了解三角形的应用，勾股定理，矩形的判定与性质． （1）由，，解得； （2）过点D作于G，过点C作于H，则四边形、四边形、四边形都是矩形， ，设，则，，在中，，代入即可得出结果． 【小问1详解】 解：在中， ∵，，， ∴， 解得：. 【小问2详解】 解：如图，过点D作于G，过点C作于H， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设， 则，， 在中， ∵， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解． 答：楼AB的高度为米． 23. 如图，为上的直径，C为上的点，垂直于过点的直线，垂足为D． （1）若平分，求证：为的切线； （2）在（1）的条件下，若，求的半径r． 【答案】（1） 证明：连接OC． ， ， 平分， ， ， ， ， ， 为的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接OC，证明，根据，得出，即可证明结论； （2）根据，利用三角函数求出，，连接，利用三角函数求出，，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 连接，如图所示： 为直径， ，， ， ， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 24. 阅读下面的材料，并解答后面的问题，材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解：由分母为x+1，可设3x2+4x﹣1＝（x+1）（3x+a）+b． 因为（x+1）（3x+a）+b＝3x2+ax+3x+a+b＝3x2+（a+3）x+a+b， 所以3x2+4x﹣1＝3x2+（a+3）x+a+b． 所以，解得． 所以＝＝﹣＝3x+1﹣． 这样，分式就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式的差的形式．根据你的理解解决下列问题： （1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式； （2）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，求m2+n2+mn的最小值． 【答案】（1）2x+5+；（2）m2+n2+ mn的最小值为27 【解析】 【分析】（1）根据材料中提供的方法，将转化为+（a﹣2）x﹣a+b，进而利用方程组求出a、b，最后再将 转化为，从而得出答案； （2）根据（1）的方法可得 ＝5x﹣1﹣，进而得到5m﹣11+＝5x﹣1﹣ ，然后用含有x的代数式表示m、n，代入+mn后，写成 +mn＝ +27，进而求出最小值． 【详解】解：（1）由分母为x﹣1，可设2x2+3x+6＝（x﹣1）（2x+a）+b． 因为（x﹣1）（2x+a）+b＝2x2+ax﹣2x﹣a+b＝2x2+（a﹣2）x﹣a+b， 所以2x2+3x+6＝2x2+（a﹣2）x﹣a+b， 因此有， 解得， 所以 ＝2x+5+； （2）由分母为x+2，可设5x2+9x﹣3＝（x+2）（5x+a）+b， 因为（x+2）（5x+a）+b＝5x2+ax+10x+2a+b＝5x2+（a+10）x+2a+b， 所以5x2+9x﹣3＝5x2+（a+10）x+2a+b， 因此有， 解得， 所以， 所以5m﹣11+＝5x﹣1﹣， 因此5m﹣11＝5x﹣1，n﹣6＝﹣x﹣2， 所以m＝x+2，n＝﹣x+4， 所以m2+n2+mn＝x2﹣2x+28＝（x﹣1）2+27， 因为（x﹣1）2≥0，所以（x﹣1）2+27≥27， 所以m2+n2+mn的最小值为27． 【点睛】本题考查新定义下实数运算的综合应用，通过观察总结出有关规律并应用到题目问题的解决中是解题关键． 25. 综合与实践 数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动． 【探索发现】 （1）如图①，在正方形中，点是边上一点，于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，可证得．请写出证明过程． 【深入思考】 （2）在（1）的条件下，如图②，延长，交于点，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，如图③，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在上，试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】 （1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）， 证明：∵， ∴， 由（1）知：， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴， 即； （3）， 证明：如图，在上截取， ∵四边形和都是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）可推出，从而，根据即可得证； （2）根据，，进而可推出矩形是正方形，从而，进一步得出结果； （3）在上截取，证明得，，进而得出，从而，进一步得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的判定和性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 26. 如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线经过点、，与y轴交于点C．顶点为点D．在线段下方的抛物线上有一动点P． （1）求抛物线和直线的函数表达式： （2）过点P作垂直于直线．交于点Q，求的最大值； （3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以A、C、M、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为 （2）的最大值为 （3）存在，满足条件的点G的坐标为或或 【解析】 【分析】1）先把点A 和点B的坐标代入，求出a和b的值，即可得出抛物线的解析式为，进而得出，再设直线的解析式为，将点A和点C的坐标代入求出k和b的值，即可得出直线的解析式为； （2）作轴交于点H，垂足为点M，通过证明，得出，则，设点，则，得出，则当时，取得最大值为，即可求出的最大值； （3）设，，然后根据平行四边形的性质进行分类讨论即可：当为平行四边形的边时；当为平行四边形的对角线时． 【小问1详解】 解∶∵抛物线经过点、， ∴， 解得 ∴抛物线的解析式为， 令，可得， ∴， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，作轴交于点H，垂足为点M， ∵，， ∴，则， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴， 设点，则， ∴， ∵，． ∴当时，取得最大值为， ∴的最大值为． 【小问3详解】 解：存在． 理由∶抛物线的解析式为，对称轴为直线， 如图，设，． 当为平行四边形的边时，则有， 解得或， ∴ 或 ， 当为平行四边形的对角线时， ∴， ∴ ， 综上所述，满足条件的点G的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求函数解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤；正确画出辅助线，构造相似三角形，掌握相似三角形对应边成比例，以及平行四边形对角线互相平分，平行四边形对边相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $