湖南省郴州市永兴县树德初级中学2023-2024学年九年级下学期学科竞赛模拟数学试题

2024年上期树德中学九年级一中学科竞赛数学模拟试卷 时量：120分钟 总分：150分 一、单选题（每小题4分，共32分） 1. 在3.14159，，0，π，这5个数中，无理数的个数有（　　） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 若实数，满足等式，则的值是　　 A. B. C. 9 D. 3 3. 如图，，是上异于、的一点，则的值是（　　） A. B. C. D. 4. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ） A. B. C. D. 5. 代数式化简后的结果不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形的边长为，点在上，若以为直径的与相切，则的长为( ) A. 1 B. C. D. 7. 已知二次函数图像的一部分如图所示，该函数图像经过点，对称轴为直线，对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④无论为何值时，代数式的值一定不大于．其中正确的个数有（   ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 如图，在等腰中，斜边的长为4，D为的中点，E为边上的动点，． 交于点F，P为的中点，连接，，则的最小值是（    ） A. 3 B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共32分） 9. 已知，求自变量取值范围______________． 10. 设a是方程的一个实数根，则值为______． 11. 如图，长方形纸片，将沿对角线折叠得，和相交于点E，将沿折叠得，若，则度数为______________________．（用含α的式子表示） 12. 如图，点A在反比例函数的图象上，以点A为圆心画弦交x轴于B，C，延长交轴于点，连接，若的面积等于4，，则k的值为_________． 13. 如图，在扇形中，，半径是的中点，过点作，交于点，则阴影部分的面积为______． 14. 如图所示是函数的图象，若，则的取值范围为___________． 15. 如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是__________． 16. 如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接，有以下五个结论：①；②；③；④；⑤若，则，你认为其中正确的是_______（填写序号）． 三、解答题 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了“党在我心中”党史知识竞赛，竞赛得分为整数，王老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成如下不完整的统计图表： 组别 成绩（分） 频数 6 18 请你根据上面的统计图表提供的信息解答下列问题： （1）上表中的_________，_________，_________． （2）请补全频数分布直方图． （3）计算扇形统计图中组的圆心角的度数． （4）已知该校有1000名学生，请估计竞赛成绩在90分以上（不含90分）的学生有多少人？ 20. 2023年12月17日进行的WTT女子总决赛女单决赛中，孙颖莎夺得女单冠军．某商家看准商机，进行乒乓球拍的销售，每副乒乓球拍进价40元．规定销售单价不低于44元，且不高于60元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300副，由于销售火爆，商家决定提价销售．经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10副． （1）求当每副乒乓球拍的销售单价是多少元时，商家每天获利2640元； （2）将乒乓球拍的销售单价定为多少元时，商家每天销售乒乓球拍获得的利润元最大？最大利润是多少元？ 21. 如图，中，过点作，交的延长线点；过点作，交的延长线于点，交于点，连接，． （1）求的长； （2）求证：四边形为菱形． 22. 如图，在葫芦河的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点C与点B在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为，然后沿坡面上行了米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为． （1）求的值． （2）求楼的高度． 23. 如图，为上的直径，C为上的点，垂直于过点的直线，垂足为D． （1）若平分，求证：为的切线； （2）在（1）的条件下，若，求的半径r． 24. 阅读下面的材料，并解答后面的问题，材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解：由分母为x+1，可设3x2+4x﹣1＝（x+1）（3x+a）+b． 因为（x+1）（3x+a）+b＝3x2+ax+3x+a+b＝3x2+（a+3）x+a+b， 所以3x2+4x﹣1＝3x2+（a+3）x+a+b． 所以，解得． 所以＝＝﹣＝3x+1﹣． 这样，分式就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式的差的形式．根据你的理解解决下列问题： （1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式； （2）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，求m2+n2+mn的最小值． 25. 综合与实践 数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动． 【探索发现】 （1）如图①，在正方形中，点是边上一点，于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，可证得．请写出证明过程． 【深入思考】 （2）在（1）的条件下，如图②，延长，交于点，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，如图③，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在上，试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 26. 如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线经过点、，与y轴交于点C．顶点为点D．在线段下方的抛物线上有一动点P． （1）求抛物线和直线的函数表达式： （2）过点P作垂直于直线．交于点Q，求的最大值； （3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以A、C、M、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有点G的坐标；若不存在，请说明理由． 2024年上期树德中学九年级一中学科竞赛数学模拟试卷 时量：120分钟 总分：150分 一、单选题（每小题4分，共32分） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、填空题（每小题4分，共32分） 【9题答案】 【答案】且 【10题答案】 【答案】4049 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】12 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】①②③④ 三、解答题 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】，3 【19题答案】 【答案】（1），， （2） 补全图形如下： （3） （4）240人 【20题答案】 【答案】（1）52元 （2）当每销售单价定为57元时,利润最大，最大利润是2890元 【21题答案】 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴，， 由（1）得， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形． 【22题答案】 【答案】（1）； （2）楼AB的高度为米． 【23题答案】 【答案】（1） 证明：连接OC． ， ， 平分， ， ， ， ， ， 为的切线． （2） 【24题答案】 【答案】（1）2x+5+；（2）m2+n2+ mn的最小值为27 【25题答案】 【答案】 （1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）， 证明：∵， ∴， 由（1）知：， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴， 即； （3）， 证明：如图，在上截取， ∵四边形和都是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， 即． 【26题答案】 【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为 （2）的最大值为 （3）存在，满足条件的点G的坐标为或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2024年上期树德中学九年级一中学科竞赛数学模拟检测答题卡 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 准考证号 缺考标记 注意事项 ▣ 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只能 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 由监考老师负 4、 请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 责用黑色字迹 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 的签字笔填涂。 6、填涂样例 正确[】错误【W凶 一、 选择题（用B铅笔填涂、每小题4分， 共计32分) 1 2 3 4 5 6 78 [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A][A] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [C] [C] [C] [C] [c] [C] [C] [C] [D] [D] [D] [D][D] [D][D][ D] 二、 填空题（每小题4分，共计32分） 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 三、解答题(17-18题每题6分，19-22题每题8分，23-25题每题10分，26题12分，共86分) 17、(6分) 18、(6分) 19、(8分) 2刘频数人 18 10 8 6 4 2 75580.585590.595510.5成绩/分 20、(8分) 21、(8分) 0 D 22、(8分) D30° 45 E C 葫芦河 B 23、(10分) 24、(10分) 25、(10分) D D E H E P B 图1 图2 图3 26、(12分) OB A O B D D D