第13章 勾股定理 练习题 2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

第13章 勾股定理 一、单选题 1．若一个直角三角形的两边长分别为4和5，则第三边长的平方为（   ） A．6或9 B．3或9 C．9或41 D．6或41 2．某台阶的示意图如图所示．已知每个台阶的宽度都是cm，高度都是cm，连接，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，D为上一点．若的面积为90，则的长是（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 4．如图，一棵高为的大树被台风刮断．若树在离地面的点C处折断，则树顶端落在离树底部（    ） A．处 B．处 C．处 D．处 5．如图所示，在中，，D是斜边的中点，且，在内分别交AC、BC于点E、F．现有下列说法：①；②；③．其中，正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．下列条件中，a，b，c分别为三角形的三边，不能判断为直角三角形的是（   ） A．， B． C． D．，， 7．定义：如图，点M，N把线段分割成和三条线段，若以线段为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．已知点M，N是线段的勾股分割点，若，，则（　　） A．5 B．12 C．13 D．5或13 8．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2 二、填空题 9．已知直角三角形的两条直角边长为16和30，则第三边的长度是 ． 10．在中，，若，则的周长为 ． 11．在中，的对边分别是a，b，c，已知，，，则 ． 12．周末小明和爸爸一起外出露营，如图为爸爸所支帐篷示意图，正面为等腰三角形，已知帐篷的长，宽，高，则帐篷一面长方形的面积为 ． 13．如图，在门上方离地面的墙上有一个由传感器A控制的灯，任何东西只要移至该灯及内，灯就会自动发光．小明身高，他走到点D处时（即），灯刚好发光，则 ． 三、解答题 14．如图，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接，设点的运动时间为秒． (1)当时，求的面积； (2)当是等腰三角形时，求的值． 15．如图，中，是上的一点，，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求线段的长． 16．如图，在一个长为20米、宽为18米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，已知该木块的较长边和草地宽AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达点C处需要走的最短路程是多少米？ 17．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，则当为多少时，为直角三角形？ 18．如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题主要考查勾股定理；分两种情况，当第三边是斜边时，当第三边是直角边时，结合勾股定理进行计算求解即可． 【详解】解：当第三边是斜边时， ， 当第三边是直角边时， ， ∴第三边长的平方为9或41， 故选：C． 2．A 【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后，即可利用勾股定理求得斜边的长． 【详解】解：如图，由题意得： ， ， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形． 3．D 【分析】本题考查了三角形面积公式及勾股定理，根据为中上的高及面积，可得，再利用勾股定理可求得，即可求解． 【详解】解：∵，的面积为90， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据题意可得，再求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴树顶端落在离树底部处， 故选：A． 5．D 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，勾股定理，①证明，，，根据证明得，从而可判断①；根据线段的和差和等式的性质即可证明②；③运用证明，得到，再由即可判断③． 【详解】解：①， 是等腰直角三角形 点是的中点， ， 在和中 ∴ ∴是等腰直角三角形 ，故①正确； ②∵，， ∴， ∴； 故②正确； ③ 在与中 ∴ ，故③正确； 综上，正确的是①②③， 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理．熟练掌握勾股定理的逆定理，三角形内角和定理是解题的关键． 利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A. ∵，， ∴， ∴是直角三角形， 故A选项不符合题意； B.∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故B选项不符合题意； C.∵， ∴设，，， ∵， ∴， ∴a、b、c不能构成三角形，更不可能构成直角三角形， 故C选项符合题意； D.∵，，， ，， ∴， ∴是直角三角形， 故D选项不符合题意． 故选：C． 7．D 【分析】本题考查勾股定理，分两种情况：为最大线段，为最大线段，根据勾股定理分别计算即可． 【详解】分两种情况：①当为最大线段时，因为点M，N是线段的勾股分割点， 所以； ②当为最大线段时，因为点M，N是线段的勾股分割点， 所以 综上所述，的值为5或13． 故选D． 8．C 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、利用网格求三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积公式计算，判断即可． 【详解】解：A、由勾股定理得：，A选项正确，不符合题意； B、， ， ，B选项正确，不符合题意； C、，C选项错误，符合题意； D、设点A到直线的距离为h， 则，即， ，D选项正确，不符合题意， 故选：C． 9．34 【分析】本题考查勾股定理，掌握该知识点是解题的关键． 根据勾股定理，即可求出第三边的长度． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长为16和30， ∴第三边是斜边， 由勾股定理，得 第三边的长度是． 故答案为：34． 10． 【分析】本题考查勾股定理，设，则，根据勾股定理，列出方程求出的值，进而求出的值，进而利用三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，则． ∵， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴的周长． 故答案为：． 11．6 【分析】本题考查勾股定理，根据设，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∵在中，的对边分别是a，b，c，， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 12．3 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理．熟练掌握等腰三角形的性质和利用勾股定理求出的长是解题的关键． 先由等腰三角形“三线合一”求出，再根据勾股定理求出的长，即可由长方形的面积公式求解． 【详解】解：等腰三角形，高，宽， ∴， 由勾股定理，得， ∴长方形的面积． 故答案为：3． 13．4 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练地掌握勾股定理．过点C作于点E，则人离墙的距离为， 在中，根据勾股定理列式计算即可得到答案． 【详解】解：如图，传感器A距地面的高度为，人高， 过点C作于点E，则人离墙的距离为， 由题意可知，， 当人离传感器A的距离时，灯发光． 此时，在中，根据勾股定理可得， ， ∴， ∴， 即人走到离墙远时，灯刚好发光． 故答案为：． 14．(1) (2)当为等腰三角形时，或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，勾股定理，分类讨论动点的运动情况是解题的关键． （1）过点作，垂足为点，勾股定理求得，进而根据等面积法求得，再根据三角形的面积公式计算即可求解； （2）依题意，，分三种情况讨论，当时，当时，当时，结合图形分别求解． 【详解】（1）解：过点作，垂足为点， ∵在中，，，， ∴， 在中， 即， ， 当时， ∴的面积为： （2）依题意得， 当时，， 当时，， ， ∴ ∴ ∴ 解得：； 当时，过点作，垂足为，则 在中，， ∴ ∴ ∴， 当或或时，为等腰三角形． 15．(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理的逆定理． （1）根据，，，可得，根据勾股定理的逆定理可进行判定是直角三角形，则； （2）在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：．理由如下∶ 因为， 所以是直角三角形，且， 所以． （2）在中，， 所以． 16．30米 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将图形展开，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如答图，将木块展开． 由题意可知，长相当于是（个正方形的边长）， ∴长为（米），宽为18米， 由勾股定理，得：最短路程为米． 答：最短路程是30米． 17．或16 【分析】本题考查勾股定理、直角三角形的性质，先利用勾股定理求得值，作边上的高，结合三角形等面积求得，分①当为直角时和②当为直角时两种情况分别求解即可． 【详解】解：在中，，， 所以由勾股定理，得，所以． 如图，作边上的高． 因为， 所以． ①当为直角时，点与点重合，，所以； ②当为直角时，点与点重合，． 在中，因为，所以，解得． 综上，当或16时，为直角三角形． 18．(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【分析】1）利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：∵， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$