广东省揭阳市第一中学榕江新城学校、惠来县第一中学两校联考2025-2026学年高三上学期开学摸底考试数学试题

第 1页，共 4页 2025-2026学年第一学期摸底考试（两校联考）高三数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集� = �，集合� = {� ∈ �| − 1 ≤ � − 1 ≤ 2}和� = {�|� = 2� + 1, � ∈ �∗}的关系如图所示，则阴 影部分表示的集合的元素共有( ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D.无穷多个 2.已知函数�(�)是奇函数，且� > 0 时，�(�) = �2 + log3�，则�( − 3) =( ) A. 10 B. 9 C. −9 D. −10 3.若 cos π4 − � = 3 3 ，则 sin2� =( ) A. 13 B. − 1 3 C. 2 3 D. − 2 3 4.已知点� �, � 为直线� + 2� − 4 = 0 上位于第一象限内的动点，则下列结论正确的是( ) A. ��的最小值为 2 B. � + �的最小值为 2 C. �2 + �2的最小值为165 D. �+� �� 的最小值为 2 5.设 0 < � < 1，随机变量的分布列为： � 0 � 1 � � 3 1 3 2�− 1 3 则当�在(0,1)上增大时( ) A. �(�)单调递增，最大值为12 B. �(�)先增后减，最大值为 1 3 C. �(�)单调递减，最小值为29 D. �(�)先减后增，最小值为 1 6 6.为了研究中学生远程网络学习的学习效率，某研究小组将学习注意力的 集中情况用注意力指数进行量化，通过调查研究发现研究对象在 40 分钟 的远程网络学习中，注意力指数�与时间�之间的关系近似满足如图所示的 曲线.当� ∈ (0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当� ∈ [14,40)，曲线 是函数� = ����(� − 5) + 83(� > 0 且� ≠ 1)图象的一部分，根据专家研究 第 2页，共 4页 发现，当注意力指数不低于 80 时，学习效率最佳.据此可以判断，研究对象在 40 分钟的远程网络学习过程 中，学习效率最佳的时间共有________分钟. (参考数据： 2 ≈ 1.414， 3 ≈ 1.732，1�2 ≈ 0.301，��3 ≈ 0.477) A. 22.828 B. 9.172 C. 21.172 D. 21.477 7.已知函数�(�) = sin(2� − 2) − �1−� + ��−1 + 2，� ∈ �.若�(2�2) + �(1 − �) < 4，则实数�的取值范围为（ ） A. ( − 12  ,  1) B. ( − ∞, − 1 2 ) ∪ (1, + ∞) C. ( − 1 ,   12 ) D. ( − ∞ ,   − 1) ∪ ( 1 2  ,   + ∞) 8.已知函数�(�) = |log2( − �)|, � < 0 − log2|1 − �|, � ≥ 0 ，若�(�1) = �(�2) = �(�3) = �(�4)，且�1 < �2 < �3 < �4，则下列 结论：①�1�2 = 1，②�3 + �4 = 1，③0 < �1�2�4 < 1，④�1 + �2 + �3 + �4 < 0，其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共 3小题，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9.已知对数函数� = �(�)的图象过点(4,2)，则下列结论正确的是( ) A. �(�) = log2� B. �(�) = ���1 2 � C. �(2��2) = ��2 D. �( 12 ) = 1 10.下列命题为真命题的是( ) A.若� > �，则�2 > �2 B.若� > �，则�3 > �3 C.若� > � > 1，则� + 1� > � + 1 � D.若� > � > 0，则� − � > 1 � − 1 � 11.设函数�(�)的定义域为�, �(�(� − �)) = �(�) − �(�)，且�(1) = 1，则( ) A. �(2025) = 2025 B. �(�(2025)) = 2025 C. f(x) 是奇函数 D. i=1 2025 f(f(−i)=−2025 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12.已知� > � > 0，log4� + log2� = 1，且|lg�| = |lg�|，则� + � = ． 13.设�为实数，关于�的不等式组 �2 + �� + 1 > 0 ��−4 �2−� ≤ 0 的解集为�，若 2 ∉ �，则�的取值范围是_______． 14.已知函数�(�) = �·�−�，�(�) = 12� 2 − ln� + �，若∃�1，�2 ∈ [1,2]，使得�(�1) = �(�2)，则实数�的取值 范围是__________ 第 3页，共 4页 四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(本小题 13 分)已知集合� = {�|�2 − 4�� + 3�2 < 0 (� > 0)}，集合� = {�|方程 � 2 �−3 + �2 8−2� = 1 表示圆 锥曲线�}． (1)若圆锥曲线�表示焦点在�轴上的椭圆，求实数�的取值范围； (2)若圆锥曲线�表示双曲线，且�是�的充分不必要条件，求实数�的取值范围． 16.(本小题 15 分) 记∆���的内角�，�，�的对边分别为�，�，�，且 2�sin � + �6 = � + �． (1)求�； (2)若� = 2，求∆���的面积的最大值． 17.(本小题 15 分) 设各项均为正数的等差数列{��}的前�项和为��，且满足�2�4 = 45，�5 = 35． (1)求数列{��}的通项公式； (2)已知数列{��}的前�项和为��，且�� + �� = 4� + 2(� ∈ �∗). ①证明数列{�� − 4}是等比数列； ②若集合 � �4−�� − 2� ≤ ��, � ∈ � ∗ = ⌀，求实数�的取值范围． 第 4页，共 4页 18.(本小题 17 分) 如图，在四棱锥� − ����中，�� ⊥平面����，�� ⊥ ��，�� ⊥ ��，�� = 2，�� = �� = 2，点�在线 段��上且满足�� ⊥ ��，点�在线段��上且满足�� = ��� (0 < � < 1)． (1)证明：�� ⊥ ��; (2)若�� ⊥ ��，求�的值; (3)若存在�，使直线��与平面���所成角为�3，求|��|的取值范围． 19.(本小题 17 分) 已知函数�(�) = ��� − �� + �． (Ⅰ)讨论函数�(�)的单调性； (Ⅱ)若函数�(�)有一个大于 1 的零点，求实数�的取值范围； (Ⅲ)若�(�0) = 0，且�0 > 1，求证：�0 + 1 > 2 �．