3.2.1 双曲线的标准方程（教学课件）高二数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线的标准方程，通过发电厂冷却塔轮廓、点光源影子等现实情境及拉链实验导入，结合椭圆知识对比定义与方程形式，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境，用拉链实验抽象双曲线定义，通过建系设点列式化简的严谨推导培养数学思维，借爆炸点定位等实例用数学语言解决问题。对比椭圆的结构化小结助知识梳理，典例与分层练习结合提升应用能力，能激发学生兴趣，也为教师提供高效备课资源。

3.2 双曲线 第三章 圆锥曲线与方程 苏教版2019选择性必修第一册•高二 3.2.1 双曲线的标准方程 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 学 习 目 标 1 2 3 理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点) 掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点) 会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点) 发电厂冷却塔轴截面的外轮廓线的形状是双曲线. 用点光源照射一个放在地面上的球，适当调整点光源的位置，球在地面上影子的外轮廓线可以是双曲线的一部分. 情境导入 取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在画板上的 F1，F2 两点. 把笔尖放在点 P 处，随着拉链拉开或者闭拢，笔尖画出的曲线就是双曲线的一部分. 新知探究 平面内到两个定点 F1，F2 的距离之差的绝对值等于常数 (小于 F1F2 的正数)的点的轨迹叫作双曲线(hyperbola)，两个定点 F1，F2 叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距. ● 怎样建立双曲线的方程? ● 如何根据双曲线的方程研究双曲线的性质? 在椭圆的研究中，我们借助平面直角坐标系，得到了椭圆的方程，并利用方程研究了椭圆的性质，现在我们将运用相同的方法来研究双曲线. 那么， 新知探究 我们知道，椭圆上的点到两个定点的距离之和等于常数,当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为 ． 双曲线上的点到两个定点距离之差的绝对值等于常数，那么， ● 双曲线的标准方程是什么形式呢? 新知探究 设双曲线的焦距为 2c，双曲线上任意一点到焦点 F1，F2 的距离之差的绝对值等于常数 2a (2c＞2a). 以 F1，F2 所在的直线为 x 轴，线段 F1F2，的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系 xOy (图3-2-2)，则 F1，F2 的坐标分别为 (－c，0)，(c，0). 新知探究 设 P(x，y)为双曲线上任意一点，根据双曲线的定义知 |PF1－PF2｜＝2a 化简，得(c²-a²)x²-a²y²=a²(c²-a²)，因为 c²-a²>0，所以可设 c²-a²=b²(b>0) 得b²x²-a²y²=a²b²两边同除以 a²b² ，得 由上述过程可知，双曲线上的点的坐标(x，y)都满足上面这个方程.可以证明以上面这个方程的解为坐标的点(x，y)都在已知的双曲线上. 这样，焦点为 F1(－c，0)，F2(c，0) 的双曲线的方程为 类似地，焦点为 F1(0，－c)，F2(0，c) 的双曲线的方程为 以上两种方程都叫作双曲线的标准方程 (standard equation of a hyperbola)，其中 b2＝c2－a2. 新知归纳 怎样推导出焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程? 思考 ① 建系: ② 设点： ③ 列式： ④ 化简整理得： 则 F1，F2 的坐标分别为 (0,-c)，(0,c). 如图示，建立平面直角坐标系. 推导焦点在y轴上的双曲线的标准方程的过程中，只需要将x,y互换,就可以得到焦点在y轴上的双曲线的方程. ①分母是a2和b2, a、b大小关系不定(a>b, a<b, a=b). 焦点在x轴上： 焦点在y轴上： ②c2=a2+b2(c最大：c>a>0,c>b>0) ③哪个系数为正，焦点就在哪个轴上，a就跟谁. ④焦点位置未知(或过两点)，可设为Ax2+By2=1(AB<0). 新知归纳 典例分析 方法技巧 解题的关键：先判断焦点位置。由题意可得再结合即可求出，得到双曲线的标准方程． 例1.已知双曲线的两个焦点分别为，双曲线上一点到的距离之差的绝对值等于，求该双曲线的标准方程． 解：因为双曲线的焦点在x轴上， 所以可设它的标准方程为， 因为，所以， 又因为，所以， 故双曲线的标准方程为. 教材P90 例题 典例分析 方法技巧 用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解. 例2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，，焦点在x轴上； (2)，经过点，焦点在y轴上． 解：（1）依题意，，且焦点在x轴上， 所以双曲线的标准方程为． （2）因为焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为 ． 由，且点在双曲线上，可得，解得． 因此，所求双曲线的标准方程为． 教材P90 例题 典例分析 方法技巧 解题的关键：(1)建立适当的坐标系. (2)求出双曲线的标准方程. (3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义). 例3.已知 A，B 两地相距 800m，一炮弹在某处爆炸，在 A 处听到爆炸声 的时间比在 B 处迟 2s，设声速为 340m/s. (1) 爆炸点在什么曲线上? (2) 求这条曲线的方程. 解 (1)设 M 为爆炸点，由题意得 MA－MB＝340×2＝680. 因为爆炸点离 A 点比离 B 点距离更远， 所以爆炸点在以 A，B 为焦点且距 B 较近的双曲线的一支上(图3-2-3). （2）以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴， 建立直角坐标系xOy. 设为曲线上任一点， 由，得2a=680，即a=340,， 由，得2c=800，即c=400， 所以 因为，所以. 因此，所以曲线方程为. 教材P91 例题 确定爆炸点或出事地点的位置，在军事上或抢险救灾时都有重要意义，从例3看出，利用两个不同的观测点，可以确定爆炸点所在的曲线，但不能完全确定爆炸点的位置，要有几个观测点才能确定爆炸点的位置呢? 思考 答　再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置．这是双曲线的一个重要应用． 例4．已知双曲线，直线，求直线l与双曲线C的公共点的坐标． 典例分析 解：直线与双曲线的公共点的坐标就是方程组的解． 解这个方程组，得， 因此，所求公共点的坐标为，． 教材P91 例题 1. 在 △ABC 中，BC 的长为 2，|AB－AC|＝1，试确定点 A 在怎样的曲线上运动. 解：在中，BC的长为2，， 因为到B、C两点的距离之差的绝对值为常数1的点的轨迹为双曲线， 且， 所以点A在以B，C为焦点的双曲线上运动，但是除去双曲线与直线BC的交点. 教材P92 练习 2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，，焦点在x轴上；(2)焦点为，，且；(3)，． 解：（1），双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为 （2），双曲线的焦点在轴上， 所以双曲线的标准方程为 （3）当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为， 当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为. 教材P92 练习 3．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为，且经过点； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； 解：（1）由题可设双曲线方程为，∵经过点， ∴，即，又一个焦点为，∴， ∴所求的双曲线方程为； （2）由题可设双曲线方程为，则 ，解得或（舍去）所以所求双曲线方程为； 教材P92 练习 3．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (3)经过和两点． 设所求双曲线方程为，则， 解得，∴所求双曲线方程为. 教材P92 练习 4.设k为实数，若双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点坐标为(0，3)，则k的值为( ____ ) A.1 B.-1 C. D.- 【解析】解：因为双曲线的一个焦点坐标为(0，3)，所以双曲线的焦点在y轴上， B 此时双曲线8kx2-ky2=8的标准方程为 =1， 可得 ， ，又c=3， 则 ，解得k=-1． 故选：B． 教材P92 练习 5.判断直线y= (x-1)与双曲线x2-y2=1的公共点的个数． 【解析】解：已知直线y= (x-1)与双曲线x2-y2=1， 联立， 消y可得x2-3x+2=0， 则x=1或x=2， 即直线y= (x-1)与双曲线x2-y2=1交于点(1，0)和 ， 即直线y= (x-1)与双曲线x2-y2=1的公共点的个数为2． 教材P92 练习 21 6.设m为实数，求双曲线 - =1的焦距． 【解析】解：∵双曲线的方程为 - =1， ∴a2=m2+12，b2=4-m2，(m2＜4)， ∴c2=a2+b2=16，∴c=4， ∴双曲线的焦距为2c=8． 教材P92 练习 22 双曲线定义的理解 题型一 题型探究 【例1】［江苏盐城八校2025高二期末联考］已知点,，动点满足 ，则动点 的轨迹是( ) C A.射线 B.线段 C.双曲线的一支 D.双曲线 解析 根据题意，点,，则，若动点满足 ，且 , ，则的轨迹是以， 为焦点的双曲线的右支，故选C. 1.对于常数，，“”是“方程 对应的曲线是双曲线”的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析 可整理成，当，即且或且 时，方程 即 表示的曲线为双曲线，则充分性成立； 若方程表示的曲线为双曲线，则,即 ，则必要性成立. 综上，“”是“方程 对应的曲线是双曲线”的充要条件.故选C. 变式训练 24 2.（多选）已知曲线 ，下列说法正确的有( ) ACD A.当时，曲线表示焦点在 轴上的椭圆 B.当时，曲线表示焦点在 轴上的双曲线 C.当 时，所给方程没有轨迹 D.当且时，曲线 的焦距为8 解析 对于A，当时，，曲线表示焦点在 轴上的椭圆，A正确； 对于B，由得，，曲线表示焦点在 轴上的双曲线，B错误； 对于C，当 时，等号左边为负数，方程不成立，所给方程没有轨迹，C正确； 对于D，当且时，若，则曲线表示焦点在 轴上的双曲线，半焦距 ，曲线的焦距为8;若，则曲线表示焦点在 轴上的椭圆，半焦距 ，曲线的焦距为8，D正确.故选 . 变式训练 25 双曲线方程的求解 题型二 题型探究 【例2】与椭圆共焦点且过点 的双曲线的方程为( ) C A. B. C. D. 解析 由椭圆方程可知，即焦点坐标为, ， 所以可设双曲线方程为 ， 则解得所以双曲线的方程为 .故选C. 3.在平面直角坐标系中，已知的顶点,，其内切圆圆心在直线 上，则顶 点 的轨迹方程为( ) B A. B. C. D. 解析 如图，设与内切圆的切点分别为,,，则有, , ，所以 . 根据双曲线的定义，所求轨迹是以, 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支（右顶点除外）， 即，，又，所以，所以轨迹方程为 .故选B. 变式训练 27 4. 经过点,, 的双曲线的标准方程为___________． 变式训练 解析 设双曲线的方程为 ， 代入点,的坐标可得解得 所以双曲线的标准方程为 . 教材原题已知焦点在 轴上，本题没有给出焦点位置，需要对焦点位置分类讨论. 28 双曲线定义及方程的应用 题型三 题型探究 【例3】已知,分别是双曲线的左、右焦点，是 的左支上一点，过作 平分线的垂线，垂足为,为坐标原点，则 ( ) B A.4 B.2 C.3 D.1 解析 双曲线的实半轴长，延长，交于点 ， 由题意可得， . 又是 的中点， 所以 ，故选B. 5.已知是双曲线的右焦点，是 的左支上一点，，则 的 最小值为( ) B A.5 B.6 C.7 D.8 解析 由双曲线方程可知，，，故右焦点，设左焦点为 ,则 . 当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知 ，所以 ， 从而 ，又 ， 所以，因此的最小值为6，此时点在线段 与双曲线左支的交点处. 故选B. 变式训练 30 忽视双曲线中的限制条件而致错 题型四 题型探究 【例4】已知动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心 的轨迹为( ) D A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.双曲线的一支 解析 设动圆的圆心，半径为，圆的圆心为 ，半径为2,圆 的圆心为，半径为2，由题意可得 所以 ,根据双曲线的定义知，点的轨迹为以, 为焦点的双曲线的左 支.故选D. 易错警示 由,得点的轨迹是以, 为焦点的双曲线的左支.本题易忽略 只表示双曲线的一支而导致求解错误. 6.曲线的方程为，讨论 取不同值时，方程表示的是什么曲线？ 【解】当时， ,表示两条直线; 当时，,表示焦点在 轴上的双曲线； 当时， ,表示单位圆； 当且时， ,表示椭圆. 易错警示 本题容易忽略和这两种特殊的情形.其次，当 时注意判断双曲线焦点的位置. 变式训练 32 椭圆 双曲线 定 义 标准 方程 (焦点位置) 区别 a,b,c的关系 一般形式 ||MF1|－|MF2||=2a |MF1|+|MF2|=2a >|F1F2| <|F1F2| x轴: y轴: 分母大小定焦点位置 以大小定a,b(a大b小) 系数正负定焦点位置 以正负定a,b(a正b负) a2=b2+c2 (a最大) c2=a2+b2 (c最大) 课堂小结 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 Lavf58.20.100 $$