1.2 椭圆的简单性质（二）（9大题型）（题型专练）高二数学北师大版选择性必修第一册

1.2椭圆的简单性质（二） 题型一：离心率（解三角形） 1．已知椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为、，连接并延长交椭圆C于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．已知，是椭圆上两点，，分别在的左、右焦点，，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 4．椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点．焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，这说明圆锥曲线与光有着紧密的联系，圆锥曲线具有丰富的光学性质．例如，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点，设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的，两点反射后回到焦点．若，，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的右焦点为F，上顶点为P，过点F的直线与C交于A，B两点（点A在x轴下方）.若，，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 题型二：中点弦公式（点差法） 1．已知椭圆的焦距为4，直线与椭圆相交于，两点，若点是线段的中点，则椭圆的短轴长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 3．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积、已知椭圆：的面积为，两个焦点分别为，，点为椭圆的上顶点，直线与椭圆交于两点，若的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C．2 D．3 4．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的焦距为，，，是上三个不同的点，，关于坐标原点对称，且直线与直线的斜率之积为（是的离心率），则的方程为（ ） A． B． C． D． 题型三：椭圆的光学性质 1．椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，设椭圆方程，，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足，，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.已知椭圆上点处的法线交轴于点，且，入射角，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 4．古希腊著名数学家阿波罗尼斯，在其著作《圆锥曲线论》中提出了圆锥曲线的光学性质．光线从椭圆的一个焦点发出，经过椭圆反射，反射光线经过另一个焦点．已知点、是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线经过椭圆上一点M反射，反射光线交椭圆于另一点N．若点、N关于的角平分线对称，且，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 题型四：实际生活中的椭圆问题 1．如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为R的球体，近地点离地面的距离为r，则远地点离地面的距离l为（ ） A． B． C． D． 2．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，如图建系，设椭圆轨道的长轴长、短轴长，焦距分别为，，，下列结论正确的是（ ） A．卫星向径的最大值为 B．卫星向径的最小值为 C．卫星绕行一周时在第二象限内运动的时间大于在第一象限内运动的时间 D．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越圆 4．某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（ ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 题型五：定比分点 1．已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（ ） A．1 B． C． D．2 2．已知椭圆的焦点为F，椭圆上M，N满足：，则（ ） A． B．3 C． D． 3．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆的上焦点作斜率为的直线，直线交椭圆于两点，若，则（ ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与交于另一点，若与（为原点）的面积之比为，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 5．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为（ ） A． B． C． D． 6．已知F为椭圆的左焦点，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，，则直线AB的斜率为（ ） A． B． C． D． 题型四：焦半径（坐标式） 1．设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为_________________. 2．已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过左焦点作直线与椭圆在第一象限交于点，若为等腰三角形，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 3．已知F是椭圆的一个焦点，P是C上的任意一点，则称为椭圆C的焦半径.设C的左顶点与上顶点分别为A，B，若存在以A为圆心，为半径长的圆经过点B，则椭圆C的离心率的最小值为_______________. 4．已知F是椭圆的一个焦点，P是C上的任意一点，则称为椭圆C的焦半径．设C的左顶点与上顶点分别为A，B，若存在以A为圆心，为半径长的圆经过点B，则椭圆C的离心率的取值范围是_______________． 题型一：椭圆的参数方程 1．已知点，Q为曲线上任意一点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 2．已知椭圆：，直线：，若点为上的一点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．已知是椭圆的左､右焦点，为上一点，则的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D．4 4．已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，则的最小值为（ ） A． B．8 C． D． 题型二：椭圆的综合应用 1．（多选）如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成角的平面所截，截面是一个椭圆，则（ ） A．椭圆的长轴长为4 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程可以为 D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 2．设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，且与椭圆相交于，两点，为线段的中点.下列说法正确的个数（ ） ①直线与垂直 ②若点的坐标为，则直线方程为 ③若直线方程为，则点的坐标为 ④若直线方程为，则 A．4 B．3 C．2 D．1 3．已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，点是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的个数是（ ） （1）； （2）存在点满足 （3）直线与直线的斜率之积为 （4）若△的面积为，则点的横坐标为 A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知椭圆的左右焦点分别为．过点倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点（在轴的上方），则下列说法中正确的有（ ）个． ① ② ③若点与点关于轴对称，则的面积为 ④当时，内切圆的面积为 A．1 B．2 C．3 D．4 题型一：离心率的取值范围 1．已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．椭圆的右焦点，直线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则椭圆离心率的范围是（ ） A． B． C． D． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2椭圆的简单性质（二） 题型一：离心率（解三角形） 1．已知椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为、，连接并延长交椭圆C于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线段之比可设出两线段，再结合焦半径及椭圆的定义，可求出各线段长度，然后借助余弦定理得到关于的齐次方程，从而可求离心率. 【详解】 由图可知，， 根据，可设， 则，所以， 由三角形中余弦定理得:, 根据直角三角形有：， 代入上式可得：， 故选：B 2．已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设出相关点的坐标，然后根据向量关系以及椭圆的定义和性质来求解离心率. 【详解】设，，，，，， 又，，解得，， 此时，，，，解得， 又点在上，，，， 又，即，解得，， 即. 故选： 3．已知，是椭圆上两点，，分别在的左、右焦点，，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由椭圆的定义求出，再由勾股定理求出，又由，即可求出答案. 【详解】设， 由椭圆的定义可得：， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 化简可得：，解得：， 所以， 又因为，所以， 所以. 故选：D. 4．椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点．焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，这说明圆锥曲线与光有着紧密的联系，圆锥曲线具有丰富的光学性质．例如，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点，设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的，两点反射后回到焦点．若，，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，设出,写出其他线段的代数式，利用三角形相似，得出关于的关系式，进而求出离心率. 【详解】如图，由题意知， 所以． 设，所以， 又，所以， 得，所以，． 方法一：对于等腰三角形和，因为， 故，故，即， 化简得， 即，解得（负数舍去）． 方法二：易知， 则有. 化简得：，即，解得（负数舍去）. 故选：D. 5．已知椭圆的右焦点为F，上顶点为P，过点F的直线与C交于A，B两点（点A在x轴下方）.若，，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与椭圆相交，所得弦长列关于的齐次方程，从而求椭圆的离心率. 【详解】如图： 易知：，，所以. 因为，所以直线的斜率为：. 又直线经过点，所以直线的方程为：. 将代入椭圆方程：，得， 整理得：. 设，，则，. 所以. 所以. 所以. 又， 所以. 化简得： 所以，即. 所以，即椭圆的离心率为. 故选：A 题型二：中点弦公式（点差法） 1．已知椭圆的焦距为4，直线与椭圆相交于，两点，若点是线段的中点，则椭圆的短轴长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用点差法，结合直线的斜率求得，再根据焦距列式求解即可. 【详解】设，则且， 故，故，即， 故，又，所以，所以，所以，即， 因此椭圆的短轴长为. 故选：B 2．已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用点差法求解，设出直线与圆锥曲线的交点坐标，将交点坐标代入圆锥曲线方程，然后作差，从而得到直线斜率与中点坐标之间的关系. 【详解】设，，因为，两点在曲线上，所以有： 用式减去式可得： 因为点是线段的中点，根据中点坐标公式：可得： ,即，. 代入可得： 化简得：，可得： 而就是直线的斜率，所以直线的斜率为. 故选：B. 3．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积、已知椭圆：的面积为，两个焦点分别为，，点为椭圆的上顶点，直线与椭圆交于两点，若的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据已知可得，设，得，结合与，可求出的值，根据得的值，即可求得椭圆的离心率. 【详解】解：由题意可得，所以， 直线与椭圆交于两点，设，则，且①，又， 所以的斜率之积为②， 由①②可得：，即，结合，可得：，所以，则椭圆的离心率为. 故选：A. 4．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【详解】[方法一]：设而不求 设，则 则由得：， 由，得， 所以，即， 所以椭圆的离心率，故选A. [方法二]：第三定义 设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知： 故， 由椭圆第三定义得：， 故 所以椭圆的离心率，故选A. 5．已知椭圆的焦距为，，，是上三个不同的点，，关于坐标原点对称，且直线与直线的斜率之积为（是的离心率），则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法即可得到则，结合斜率关系，最后利用离心率公式即可. 【详解】设，，则，，所以，， 两式相减得，则． 由，得， 因为，所以4，则，所以的方程为． 故选：B． 题型三：椭圆的光学性质 1．椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先根据题意求出的关系，然后根据几何关系列出等式，求出，进而求出的周长. 【详解】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即． 延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH， 则OH是的中位线，于是， 而点在圆上，则的周长等于． 故选：D. 2．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，设椭圆方程，，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足，，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案. 【详解】由题意，可作图如下： 则，，即， 可设，，， 由，则，即， ，在中，， 则. 故选：C. 3．古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.已知椭圆上点处的法线交轴于点，且，入射角，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由角平分线性质得到，再结合余弦定理及椭圆定义即可求解. 【详解】 由可得：， 由角平分线的性质可得：， 所以，设， 由题意，因为，所以， 由余弦定理可得：， 解得：， 又， 所以， 得：， 故选：D 4．古希腊著名数学家阿波罗尼斯，在其著作《圆锥曲线论》中提出了圆锥曲线的光学性质．光线从椭圆的一个焦点发出，经过椭圆反射，反射光线经过另一个焦点．已知点、是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线经过椭圆上一点M反射，反射光线交椭圆于另一点N．若点、N关于的角平分线对称，且，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点、N关于的角平分线对称，可得，设，根据椭圆的定义求出，再在中，利用余弦定理求出，再在中，利用余弦定理求出的关系即可得解. 【详解】由题意可得共线， 因为点、N关于的角平分线对称，所以， 设，则， 故， 由，得， 在中，由余弦定理得，， 即，即， 解得或（舍去）， 所以， 在中，由余弦定理得，， 即，解得， 即椭圆C的离心率为. 故选：A. 题型四：实际生活中的椭圆问题 1．如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为R的球体，近地点离地面的距离为r，则远地点离地面的距离l为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆离心率以及卫星近地点离地面的距离列方程,求解得出椭圆的长半轴和半焦距，即可求得答案. 【详解】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系， 则椭圆方程为， 则，且，解得，， 故该卫星远地点离地面的距离为， 又，所以. 故选：D. 2．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，作出图形，再利用正弦定理求出椭圆的长轴长，结合焦点位置求出半焦距作答. 【详解】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点， 对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为，半焦距为， 由，得，， 在中，，则，， 由正弦定理得，，解得，则， 所以该椭圆的离心率. 故选：A 3．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，如图建系，设椭圆轨道的长轴长、短轴长，焦距分别为，，，下列结论正确的是（ ） A．卫星向径的最大值为 B．卫星向径的最小值为 C．卫星绕行一周时在第二象限内运动的时间大于在第一象限内运动的时间 D．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越圆 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义和性质和面积守恒规律，依次判断每个选项得到答案. 【详解】根据题意：向径为卫星与地球的连线，即椭圆上的点与焦点的连线的距离， 根据椭圆的几何性质可知卫星向径的最小值为，最大值为，A，B错误； 由开普勒行星运动定律，卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等， 在第二象限运动时扫过的面积大于在第一象限运动时扫过的面积， 故卫星在第二象限内运动的时间大于在第一象限内运动的时间，C正确； 当卫星向径的最小值与最大值的比值越小时，由， 可得越大，椭圆越扁，所以D错误. 故选：C. 4．某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（ ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用椭圆的标准方程及性质可判断各选项. 【详解】如图，以线段的中点为原点，所在直线为轴， 以的方向为轴正方向建立直角坐标系， 则可设轨道所在的椭圆的标准方程为， 则由已知，， 所以，，故离心率为，故A正确； 以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道，环绕周期为， 所以环绕的圆形轨道周长为，半径为，所以火星半径为， 故B正确，C错误， 因为近火星点与远火星点的距离为，故D正确. 故选：C． 题型五：定比分点 1．已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为，所以，从而，则椭圆方程为．依题意可得直线方程为，联立可得 设坐标分别为，则 因为，所以，从而有① 再由可得，根据椭圆第二定义可得，即② 由①②可得，所以，则，解得．因为，所以，故选B 2．已知椭圆的焦点为F，椭圆上M，N满足：，则（ ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】设出点，根据推导出点坐标，将坐标代入椭圆方程组成方程组，解出点，然后求出线段的长度. 【详解】设、， 不妨设为右焦点，据题意得， 因为， 所以， 所以， 将点代入椭圆方程得 由，得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以. 故选：D 3．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆的上焦点作斜率为的直线，直线交椭圆于两点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据和长轴是短轴长的2倍可设椭圆方程，再联立直线和椭圆方程通过韦达定理可求解出斜率，从而求得. 【详解】因为长轴长是短轴长的2倍，所以，而，则. 设， 直线的方程为 代入椭圆方程可得，整理得， 即. ，. ，， 所以，则，即，化简得，解得， 因为，所以. 故选：A. 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与交于另一点，若与（为原点）的面积之比为，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意易得，可得，进而设，列方程求解即可. 【详解】由题意，，，所以，则， 所以，由，，设， 则，， 则，解得，，即， 因为点在椭圆上，所以，化简得， 所以． 故选：B． 5．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解. 【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得． 所求椭圆方程为，故选B． 法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B． 6．已知F为椭圆的左焦点，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，，则直线AB的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出坐标，设，直线斜率为，倾斜角为，结合图象得出，表示出直线的方程为，与椭圆联立，根据韦达定理得出，进而推得，根据三角函数基本关系式化简，得出方程，求解即可得出答案. 【详解】 易知，，，点. 不妨设，，直线斜率为，倾斜角为， 易知， 且直线的方程为， 联立直线与椭圆的方程， 消去可得，. 根据韦达定理可得，. 又， 所以有， 所以，. 又， 代入可得， 所以，， 解得，所以，. 故选：B. 题型四：焦半径（坐标式） 1．设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为_________________. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标. 【详解】由已知可得， 又为上一点且在第一象限,为等腰三角形， ．∴． 设点的坐标为，则， 又，解得， ，解得（舍去）， 的坐标为． 2．已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过左焦点作直线与椭圆在第一象限交于点，若为等腰三角形，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据离心率求出的关系，根据等腰三角形和椭圆的定义求出答案. 【详解】设椭圆的焦距为，因为离心率为，所以，； 因为为等腰三角形，且在第一象限，所以， 由椭圆的定义可得. 设直线的倾斜角为，则，，； 所以. 故选：B. 3．已知F是椭圆的一个焦点，P是C上的任意一点，则称为椭圆C的焦半径.设C的左顶点与上顶点分别为A，B，若存在以A为圆心，为半径长的圆经过点B，则椭圆C的离心率的最小值为_______________. 【答案】 【分析】根据题意，存在以A为圆心，为半径长的圆经过点B，即的最大值应该不小于线段的长，根据不等关系列出含的不等式，转化为离心率的不等式，即可求解出椭圆C的离心率的最小值． 【详解】根据题意，存在以A为圆心，为半径长的圆经过点B，即的最大值应该不小于线段的长，可得，化简得，即，且，解得，所以椭圆C的离心率的最小值为． 4．已知F是椭圆的一个焦点，P是C上的任意一点，则称为椭圆C的焦半径．设C的左顶点与上顶点分别为A，B，若存在以A为圆心，为半径长的圆经过点B，则椭圆C的离心率的取值范围是_______________． 【答案】， 【解析】求出椭圆焦半径的范围，再由在焦半径范围内列不等式求解． 【详解】存在以A为圆心，为半径长的圆经过点B， 则此时， 因为， 由题意可得，， 不等式左边恒成立，则， 两边平方整理得：，解得（舍或． 椭圆的离心率的最小值为． 椭圆的离心率的取值范围是，． 故答案为：，． 题型一：椭圆的参数方程 1．已知点，Q为曲线上任意一点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设Q的坐标为，利用两点间的距离公式建立关于的函数关系式，从而求得最大值. 【详解】为曲线上任意一点，可设， 所以 当时，最大. 故选：C. 2．已知椭圆：，直线：，若点为上的一点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的方程，采用三角代换，利用点到直线的距离公式表示出点到直线：的距离，结合辅助角公式即可求得答案. 【详解】由，可得其参数方程为（为参数）， 可设，点到直线：的距离为， 则有，其中，， 故当时，，取得最小值， 此时，， 即当的坐标为时，有最小值为. 故选：B. 3．已知是椭圆的左､右焦点，为上一点，则的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义知，利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动， 所以. 所以，所以（当且仅当时等号成立）. 所以. 即的最小值为1. 故选：A 4．已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，则的最小值为（ ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义得到，且，换元后得到，根据“1”的妙用得到，求出的最小值为，从而求出的最小值. 【详解】由题意得：椭圆：的两个焦点在y轴上，且，故， 则，故， 由椭圆定义可知：， 设，则由椭圆性质可知：，故， ， 其中 ， 令，则，则， 由对勾函数的性质可知：在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为， 故， 等且仅当时，等号成立. 故选：D 题型二：椭圆的综合应用 1．（多选）如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成角的平面所截，截面是一个椭圆，则（ ） A．椭圆的长轴长为4 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程可以为 D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 【答案】ACD 【分析】结合图象根据椭圆的长轴，短轴的几何意义求椭圆的，由此判断各选项. 【详解】对于A，圆柱的底面半径是，直径是，所以椭圆的长轴长，，A正确； 对于B，短轴长，则，离心率．B错误； 对于C，以椭圆中心为原点，长轴与短轴所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，可得椭圆的方程为．C正确； 对于D，椭圆上的点到焦点的距离的最小值是．D正确； 故选：ACD． 2．设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，且与椭圆相交于，两点，为线段的中点.下列说法正确的个数（ ） ①直线与垂直 ②若点的坐标为，则直线方程为 ③若直线方程为，则点的坐标为 ④若直线方程为，则 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】设，利用点差法可得，判断①错误；利用点差法的结论可以求出直线方程，进而判断②正确；利用点差法的结论可以求出，判断③错误；结合弦长的求解方法求出，判断④正确； 【详解】不妨设坐标为，则，两式作差可得： ，设，则. 对①：，故直线不垂直，则①错误； 对②：：若点M坐标为,则，则， 又过点，则直线的方程为，即，故②正确. 对③：若直线方程为，故可得，即，又， 解得，即，故③错误； 对④：若直线方程为，联立椭圆方程， 可得：，解得，故， 则，故④正确； 故选：C. 3．已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，点是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的个数是（ ） （1）； （2）存在点满足 （3）直线与直线的斜率之积为 （4）若△的面积为，则点的横坐标为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】（1）由椭圆定义进行求解；（2）点P在以为直径的圆上，求出圆的方程，与椭圆方程联立作出判断；（3）设出点P的坐标，表达出直线与直线的斜率，计算出答案；（4）利用的面积求出点P的纵坐标，进而利用椭圆方程求出横坐标. 【详解】由题意得：，所以，，故，，，，由椭圆的定义知：，（1）错误； 假设存在点满足，则点P在以为直径的圆上，即，与椭圆方程联立得：，无解，故假设不成立，不存在点满足，（2）错误； 设点，则，所以其中，，所以，（3）正确； ，解得：，将代入椭圆方程中，解得：，（4）正确. 综上：正确答案为2个， 故选：B 4．已知椭圆的左右焦点分别为．过点倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点（在轴的上方），则下列说法中正确的有（ ）个． ① ② ③若点与点关于轴对称，则的面积为 ④当时，内切圆的面积为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先推导出椭圆的焦半径公式及相关性质，从而判断①②③，得到直线的方程，联立直线与椭圆方程，求出，，设内切圆的半径为，由求出，即可判断④. 【详解】在中，由余弦定理， 即， 整理得，同理可得， 所以，， 对于椭圆，则、、， 所以，，故①错误； ，故②正确； 所以，， 又 ，(由题可知) 又， 所以，故③错误； 当时，直线的方程为， 由，消去整理得，显然， 所以，， 又，，则，， 设内切圆的半径为，则， 所以，解得， 所以内切圆的面积，故④正确； 故选：B 题型一：离心率的取值范围 1．已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，在中，通过椭圆的定义，余弦定理以及，得到关于，，，的等式，再通过基本不等式进行求解即可. 【详解】在中，设，，则，如图： 根据余弦定理，得，配方得：， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立，即，故，解得. 故选：D 2．已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义算出，由焦点三角形三边关系列不等式求解. 【详解】由椭圆的定义得， 又，故， 由，得， 又椭圆的离心率，则. 故选：B 3．椭圆的右焦点，直线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：先根据列出等式，然后得到不等式组，进而求得离心率的范围； 解法二：先根据列出等式，然后根据范围得到不等式，进而求得离心率的范围. 【详解】解法一：由点在线段的垂直平分线上，得点到点与点的距离相等， 而，于是，即， 结合得又，故． 解法二：设点，则有，即，解得， 又因为，所以有，两边同时除以，可以解得． 故选：D. 4．已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分等腰三角形以为底或一腰两种情况讨论，在第一种情况下，直接确定点为椭圆短轴的端点，在第二种情况下，分析可知，在每个象限内均存在点，使得或，设点在第一象限，结合两点间的距离公式可得出关于、的不等式，即可求出该椭圆离心率的取值范围. 【详解】如下图所示： （1）当点与椭圆短轴的顶点重合时，是以为底边的等腰三角形， 此时，有个满足条件的等腰； （2）当构成以为一腰的等腰三角形时， 以为底边为例，则或，此时点在第一或第四象限， 由对称性可知，在每个象限内，都存在一个点，使得是以为一腰的等腰三角形， 不妨设点在第一象限，则，其中， 则， 或， 由可得，所以，，解得， 由可得，所以，，解得， 综上所述，该椭圆的离心率的取值范围是. 故选：D. 5．已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则椭圆离心率的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把点坐标设为参数形式，再由及三角函数性质得到离心率的范围. 【详解】设，，， ． 化简得，因，所以， 整理得，，所以．即. 故选：B． 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$