安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高一上学期开学摸底检测数学试题

高一开学摸底检测 数学 分值：150分 时间：120分钟 考查范围：初中数学+必修一第一、二章 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分. 每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1.如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1,则称该三位数为“平稳数”.用1,2,3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数,恰好是“平稳数”的概率为( ) A. B. C. D. 2.设集合，对任意实数x恒成立，则下列关系中成立的是( ) A. B. C. D. 3.已知,,,…,(n为正整数,且,),则用含t的式子的结果为( ) A.t B. C. D. 4.在平面直角坐标系中，抛物线（t为常数）与直线有两个不同的交点，且交点的横坐标都满足，则t的取值范围为( ) A. B. C. D. 5.算式计算结果的个位数字是( ) A.8 B.6 C.4 D.2 6.如图，四边形ABCD为矩形，E是BC边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，点B的对应点为点F，若，，则EF的长为( ) A.3 B. C. D. 7.如图1，是的半径，点M是的中点，点N在上从点A开始沿逆时针方向运动一周回到点A，运动停止，设运动过程中的长为x，的长为y，图2是y随x变化的关系图象，则a的值为( ) A.2 B. C. D.3 8.已知在平面直角坐标系中,正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中,有一个交点的横坐标为1,点和点在函数的图象上(且),点和点在函数的图象上.当与的积为负数时,t的取值范围是( ) A.或 B.或 C.或 D.或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分. 每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知表示不超过x的最大整数，例如：，，.若集合，，则下列说法正确的是( ) A.集合 B.集合A的非空真子集有30个 C.若“”是“”的充分不必要条件，则 D.若，则 10.设a，b为正实数，则下列命题正确的( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 11.任取集合，的n个非空子集，，…，，定义，的运算值为记所得的个值之和为S，则( ) A.S与n的奇偶性相同 B.S是n的一个倍数 C.S的最小值为n D.S的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.计算：________. 13.设命题p：已知，，且，不等式恒成立，命题q：存在，使得不等式成立，若命题p、q中有一个为真命题，一个为假命题，则实数m的取值范围是_________. 14.黄金分割比，这一神奇的数学比例，在中外数学发展历程中都被敏锐捕捉.古希腊毕达哥拉斯学派率先察觉，欧几里得给出严谨定义，中国清代梅文鼎从独特的勾股形视角与之关联.如图，在中，，，，点D在线段AB上，过点D作于点E，于点F，得到矩形DECF，若矩形DECF的周长与的周长之比恰好为黄金分割比，则AD的长为__________. 四、解答题：本题共5小题，共计77分. 15.（13分）为了解某校八年级学生每天做家庭作业的时间（单位：h），随机调查了该校八年级部分学生每天做家庭作业的时间.根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②. 请根据相关信息，解答下列问题： （I）填空：图①中m的值为__________，统计的这部分学生每天做家庭作业时间的众数为__________，中位数为__________； （II）求统计的这部分学生每天做家庭作业时间的平均数； （III）根据样本数据，若该校八年级共有学生450人，估计该校八年级学生每天做家庭作业的时间超过的人数约为多少？ 16.（15分）2025年是“健康体重管理年”，某健身俱乐部精准把握时代脉搏购进健身器械.如图(1)所示的健身器械为倒蹬机，使用方法为上身不动，腿部向前发力，双腿伸直之后再慢慢收回.图(2)为其抽象示意图，已知在初始位置，，点B，C，G在同一直线上，，，. (1)当在初始位置时，求点D到的距离； (2)当双腿伸直后，点E，D分别从初始位置运动到点，，假设，，C三点共线，求此时点E上升的竖直高度. （结果精确到，参考数据：，，，，，） 17.（15分）已知命题，是假命题. （1）求实数m的取值集合B； （2）设不等式的解集为A，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 18.（17分）在古代,智慧的劳动人民已经会使用“石磨”,其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”,推动“连杆”带动磨盘转动,将粮食磨碎,物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.小明受此启发设计了一个“双连杆机构”,设计图如图1,两个固定长度的“连杆”,的连接点P在上,当点P在上转动时,带动点A,B分别在射线,上滑动,.当与相切时,点B恰好落在上,如图2. 请仅就图2的情形解答下列问题. (1)求证：； (2)若的半径为5,,求的长. 19.（17分）在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，点，点B在第二象限，四边形OCDE的顶点，顶点，点D在第一象限，，. （I）填空：如图①，点B的坐标为__________，点D的坐标为__________； （II）将沿水平方向向右平移，得到，点O，A，B的对应点分别为，，.设，与四边形OCDE重叠部分的面积为S. ①如图②，当点在x轴负半轴上，且与四边形OCDE重叠部分为四边形时，与OC相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）. 答案及解析 1.答案：C 解析：依题意，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，可能结果有， 123，132，213，231，312，321共六种可能， 只有123，321是“平稳数” ∴恰好是“平稳数”的概率为 故选：C. 2.答案：A 解析：由题意可知Q满足或，即或，解得，故. 3.答案：A 解析：由题意可得， ， ， ， ， ， 由上可得，上面的数据，每三个为一个循环， ，， ， 故选：A. 4.答案：D 解析：令，整理得，抛物线（t为常数）与直线有两个不同的交点，，解得.令，则交点的横坐标即为抛物线与x轴的交点的横坐标，如图，当时，的图象与x轴的交点横坐标为，，当时，交点的横坐标满足，综上所述，t的取值范围为. 5.答案：B 解析： ， ∵，，，，，…… ∴的个位数字周期为4，以2，4，8，6为一周期， ∵余0，对应周期末位， ∴的个位数字为6. 故选：B. 6.答案：D 解析：如图，延长AF，交BC于点H.由折叠的性质可知，，，，，，，，，设，则，，，. 7.答案：C 解析：结合题图可知，当点N与点A重合时，的长 ，由图象知此时， ∵点M是的中点， ∴，即圆O的半径， 当的长时，设， 将，代入可得： 解得：，即此时， 过点N作，交的延长线于点G， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ∵， ，则， 在中，根据勾股定理， 已知，，则， 由图象可知的最大值为a， ∴， 故选：C. 8.答案：D 解析：∵的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1， ∴. 令，则，. 将点和点代入，得； 将点和点代入，得. ∴，， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ①当时，， ∴不符合要求，应舍去； ②当时，， ∴符合要求； ③当时，， ∴不符合要求，应舍去； ④当时，， ∴符合要求； ⑤当时，， ∴不符合要求，应舍去. 综上，t的取值范围是或. 故选：D. 9.答案：CD 解析：当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，所以，集合A的非空真子集有个，所以A，B错误. 若“”是“”的充分不必要条件，则A是B的真子集，所以，C正确. 若，则当时，； 当时，解得， 综上可得，所以D正确. 故选CD. 10.答案：AD 解析：对于A，，即.因为，所以，即，所以A正确. 对于B，取，，则，但，所以B不正确. 对于C，取，，则，但，所以C不正确. 对于D，因为，，所以，即，所以D正确.故选AD. 11.答案：ACD 解析：由定义知，当时，，则，故. 显然取A的单元素子集，，则时，，所以. 考虑的情况下， 若改变集合，(，，)中的一个， 使，则， 如取，(，)，则， 即S的值由n增大为，因此，，，…，中每增加一对集合的交集非空，则S的值增加2， 故S与n具有相同的奇偶性，但S不一定是n的倍数； 又由定义可知，. 若对任意的，，如取， 则，即.所以选ACD. 12.答案： 解析：， 故答案为：. 13.答案： 解析：对于p：， 所以，当且仅当时取等号， 恒成立， 则，即； 对于q：存在， 使得不等式成立， 只需， 而， ，； 因为p，q有一真一假，所以 若q为假命题，p为真命题， 则，所以； 若p为假命题，q为真命题， 则，所以. 综上，或， 故答案为：. 14.答案： 解析：，，，由勾股定理得，，四边形DECF为矩形，，，设，则，，，，，解得，. 15.答案：（I）28；； （II） （III）261人 解析：（I），. 每天做家庭作业的人数有14人，人数最多， 众数为； 由题意，得统计的总人数为人， 从小到大依次排序，处在中间位置的序号为25和26，对应的数据都是1.3， 中位数为. （II）， 统计的这部分学生每天做家庭作业时间的平均数为； （III）在抽取的样本中，每天做家庭作业的时间超过的占， 估计该年级450人中，每天做家庭作业的时间超过的学生人数为（人）， 估计该校八年级学生每天做家庭作业的时间超过的人数约为261人. 16.答案：(1) (2) 解析：过点D作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D到的距离约为； (2)解析：过点E作于N，过点作于点M， ∵，， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ， ∴点E上升的竖直高度约为. 17.答案：（1） （2） 解析：（1）因为命题，是假命题， 所以命题，是真命题， 所以在上恒成立， 令，则开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以， 所以，即，故. （2）因为是的必要不充分条件， 所以集合A是集合B的真子集，又， 因为对应的方程的根为或， 当，即时，由得，则， 所以，则，故； 当，即时，由得，显然，即，满足题意； 当，即时，由得，则，所以，则，故. 综上，，即. 18.答案：(1)见解析 (2) 解析：(1)证明：连接，取y轴正半轴与交点于点Q，如下图： ，， 为的外角， ， ， ， . (2)过点Q作的垂线，交与点C，如下图： 由题意： 在中， ， 由(1)知：，， ， ，， ，， ， ， 由圆的性质，直径所对的角为直角； 在中，由勾股定理得： ， 即. 19.答案：（I）， （II）① ② 解析：（I）如图①，分别过点B，D作轴，轴，垂足分别为点G，H. 是等腰直角三角形，，， ，. ，，. 点B在第二象限，. ，. ，轴，轴，. ，，. ，，，. （II）①如图②，过点作轴，垂足为点M，易得四边形为矩形， ，， ，， ，. ，，. ，，. ， ， ； ②当时，如图③，记与OC交于点K，则重叠部分为， 易得，，. ，当时，S随t的增大而增大，当时，； 当时，由①可知重叠部分为四边形，. ，当时，S随t的增大而增大，当时，S有最大值，最大值为4，当时，， 当时，； 当时，如图④，记与DE交于点T，则重叠部分为， 易得，，，， 易得. ，当时，S随t的增大而减小，当时，，当时，， 当时，. 综上所述，当时，. 数学 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$