专题04 利用基本不等式求最值七类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题04 利用基本不等式求最值七类重难点题型 目录 典例详解 类型一、常值代换法求最值 类型二、二次（一次）商式的最值 类型三、消参法求最值 类型四、单换元法求最值 类型五、双换元法求最值 类型六、多次使用基本不等式求最值 类型七、多元型求最值 压轴专练 类型一、常值代换法求最值 常值代换法求最值模型： 若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数. 模型1：已知正数满足，求的最小值。 模型2：已知正数满足求的最小值。 【技巧方法】 常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： （1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)； （2）把确定的定值(常数)变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值． 例1．已知实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．12 变式1-1．设，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 变式1-2．已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 变式1-3．若a，b都是正数，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 变式1-4．已知，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C．8 D．20 变式1-5．已知实数，满足，且，则的最小值为 . 类型二、二次（一次）商式的最值 二次（一次）商式的最值两种结构性： 1、形如，当且仅当时等号成立； 2、形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 例2．函数y＝(x＞－1)的最小值为________. 变式2-1．若，则的最小值是 . 变式2-2．已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 变式2-3．已知均为正实数，若，则的最小值为 . 类型三、消参法求最值 【技巧方法】根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围． 例3．已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 变式3-1．已知正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．3 B．5 C．6 D．12 变式3-2．已知，，且，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．19 D．22 变式3-3．已知，，且，则的最小值为 ． 变式3-4．若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 类型四、单换元法求最值 【技巧方法】 根据条件结构形式，从简化问题的角度来思考，引入一个变量进行替换条件或者问题部分，从而将问题转化为可利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围． 例4．已知正数x，y满足，则的最小值是 ． 变式4-1．设正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．已知，满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 变式4-3．已知正数满足，则的最小值为 . 类型五、双换元法求最值 【技巧方法】 根据条件结构形式，从简化问题的角度来思考，引入两个变量进行替换条件或者问题部分，从而将问题转化为可利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围． 例5．若实数 满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．已知，，则的最小值 . 变式5-2．设m，n为正数，且，则的最小值为 . 变式5-3．已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 类型六、多次使用基本不等式求最值 多次用基本不等式，需注意取等条件的一致性。 例6．若，，则的最小值为（    ） A．4 B． C．8 D． 变式6-1．已知均为正实数，且，则当取得最小值时 ，的最小值为 ． 变式6-2．已知正数满足，，则的最小值为 . 变式6-3．已知a，b，，，则的最小值为 . 类型七、多元型求最值 处理多元最值问题的常见思考角度： （1）从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法； （2）从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等； （3）从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件. 例7．设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 变式7-1．已知，若，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 变式7-2．已知实数，若，则的最大值为 . 变式7-3．对任意的正实数，满足，则的最小值为 . 1.已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 2.已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 3.已知，则的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D． 4.若、且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5.已知，，，则的最小值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 6.已知，且，则的最小值为（    ） A．. B．. C．. D．. 7.（多选）已知，，且，则下列取值没有可能的是（    ） A． B． C． D． 8.（多选） 已知，，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为16 9.（多选）若a， b均为正数，且满足，则（    ） A. ab的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值是4 D. 的最小值为 10.已知实数，则的最小值是 . 11.若，，且，则的最小值是 . 12.已知正实数、、满足，则的最小值为 ，的最小值为 . 13.已知，且，. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 14.已知正实数x，y满足. (1)求的值； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 利用基本不等式求最值七类重难点题型 目录 典例详解 类型一、常值代换法求最值 类型二、二次（一次）商式的最值 类型三、消参法求最值 类型四、单换元法求最值 类型五、双换元法求最值 类型六、多次使用基本不等式求最值 类型七、多元型求最值 压轴专练 类型一、常值代换法求最值 常值代换法求最值模型： 若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数. 模型1：已知正数满足，求的最小值。 模型2：已知正数满足求的最小值。 【技巧方法】 常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： （1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)； （2）把确定的定值(常数)变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值． 例1．已知实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】C 【分析】利用“1”的代换，由基本不等式求最小值． 【解析】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C. 变式1-1．设，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由不等式“1”的代换求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，，所以 . 当且仅当，即时取等. 故选：C. 变式1-2．已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先利用基本不等式中“1”的妙用求得的取值范围，从而求得的最大值. 【解析】因为，，，所以， 故， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以，故，则的最大值为. 故选：B. 变式1-3．若a，b都是正数，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】把化成，利用常数1的代换，将化成，再利用基本不等式求出其最小值. 【解析】，， 由 a，b都是正数，则， ， 当且仅当，即时等号成立； 所以的最小值是3. 故选：B. 变式1-4．已知，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C．8 D．20 【答案】B 【分析】将转化为，发现所求式子两个分母和为定值1，即，所以运用“1”的灵活代换及均值不等式即可求解. 【解析】因为，所以， 又因为， 所以 （当且仅当即时等号成立）， 故选：B. 变式1-5．已知实数，满足，且，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】因为，所以，；因为，所以. 由，得，所以. 所以， 当且仅当，即，时，等号成立. 故答案为：1. 类型二、二次（一次）商式的最值 二次（一次）商式的最值两种结构性： 1、形如，当且仅当时等号成立； 2、形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 例2．函数y＝(x＞－1)的最小值为________. 【答案】9 【分析】变形后利用基本不等式求出最小值. 【解析】因为x＞－1，则x＋1＞0， 所以y＝ ＝＝(x＋1)＋＋5 ≥2＋5＝9， 当且仅当x＋1＝， 即x＝1时等号成立， 所以函数的最小值为9 故答案为：9 变式2-1．若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【解析】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 变式2-2．已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】化简式子，然后使用基本不等式计算. 【解析】由，且， 所以， ， 当且仅当，即，时取等号， 所以，所以的最小值为. 故选：D 变式2-3．已知均为正实数，若，则的最小值为 . 【答案】25 【分析】由代入消去，整理得，设，则得，利用基本不等式即可求得. 【解析】由可得，代入中，可得， 设，则， 于是， 因，当且仅当时，等号成立， 即时，取得最小值25. 故答案为：25. 类型三、消参法求最值 【技巧方法】根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围． 例3．已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】变形后得使用基本不等式求解即可 【解析】由，，，得， 故，故； 所以， 当且仅当，结合，即时等号成立． 即的最小值为2， 故选：A 变式3-1．已知正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．3 B．5 C．6 D．12 【答案】A 【分析】先求解，再化简，利用基本不等式求最小值即可. 【解析】由题意可知，，故， 当且仅当时，即时等号成立，取得最小值3. 故选：A. 变式3-2．已知，，且，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．19 D．22 【答案】C 【分析】变形后利用基本不等式求出最小值. 【解析】因为，所以， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为， 故选：C. 变式3-3．已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用消元思想，把二元变量转化为一元变量，再利用基本不等式来求最小值即可. 【解析】由可得：， 因为，所以， 又因为，所以， 则， 因为，所以由基本不等式得：， 当且仅当，即时取等号，此时. 故答案为：. 变式3-4．若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，进而有，结合基本不等式求最大值，注意取值条件. 【解析】由题设，，而，， 所以， 所以且， 又，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即目标式最大值为. 类型四、单换元法求最值 【技巧方法】 根据条件结构形式，从简化问题的角度来思考，引入一个变量进行替换条件或者问题部分，从而将问题转化为可利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围． 例4．已知正数x，y满足，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】设，得到，，由基本不等式求出，即，求出答案. 【解析】正数x，y满足， 设，则，故， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为8. 故答案为：8 变式4-1．设正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可得出，利用基本不等式可得出的最小值. 【解析】设，则，， 当且仅当时，即，时，等号成立． 故选：B． 变式4-2．已知，满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】变形给定等式，换元，用表示，再代入，利用基本不等式求出最小值. 【解析】由，得，令，则， 解得，， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为2. 故选：B 变式4-3．已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，则且，即可得到，再利用基本不等式求出的最小值，即可求出的最小值. 【解析】因为，，令，则且， 因为，所以， 所以，即，所以， 又，当且仅当，即时取等号， 所以或（舍去）， 所以的最小值为，当且仅当、时取等号. 故答案为： 类型五、双换元法求最值 【技巧方法】 根据条件结构形式，从简化问题的角度来思考，引入两个变量进行替换条件或者问题部分，从而将问题转化为可利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围． 例5．若实数 满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设得使用基本不等式求解即可 【解析】法1由实数 满足，，设，解得， 则，当且仅当，及时等号成立，所以的最大值为 法2令，则， 由得， 故， 当且仅当即即时，取“=”， 故选：D. 变式5-1．已知，，则的最小值 . 【答案】20 【分析】设，利用表示，利用得到，再变形得到，利用基本不等式求出最小值. 【解析】令，则， 去分母化简得：，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立． 故答案为：20 变式5-2．设m，n为正数，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，则，可化为，利用基本不等式可求的最小值，从而可得所求的最小值. 【解析】令，则，且，， 又， 而， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 变式5-3．已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】正数a，b，c满足，故， 令，故，， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 故选：D 类型六、多次使用基本不等式求最值 多次用基本不等式，需注意取等条件的一致性。 例6．若，，则的最小值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】变形后利用基本不等式求出最小值. 【解析】， 其中，其中， 当时，即时，等号成立， ，当，即时等号成立， 当满足，即，时，两个等号同时成立， 所以的最小值为8. 故选：C 变式6-1．已知均为正实数，且，则当取得最小值时 ，的最小值为 ． 【答案】 6 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出取得最小值时的值；利用基本不等式处理，再利用基本不等式即可得解. 【解】依题意，， 当且仅当时取等号，所以当取得最小值时； ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为6. 故答案为：；6 变式6-2．已知正数满足，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案. 【解析】由，则，当且仅当，即时，等号成立； ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上可得的最小值为. 故答案为： 变式6-3．已知a，b，，，则的最小值为 . 【答案】5 【分析】由基本不等式得，再结合已知利用基本不等式求出的最小值可得解. 【解析】①， 当且仅当时取等号， ， 即②，当且仅当时，即，时取等号， 将②式代入①式得， 当且仅当，，时取等号. 故答案为：5. 类型七、多元型求最值 处理多元最值问题的常见思考角度： （1）从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法； （2）从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等； （3）从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件. 例7．设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将代入后剩下关于的二元等式，经齐次化处理后使用基本不等式在时最大值时，将代入原式可得，代入，得到二次函数利用配方法即可求得其最大值. 【解析】， ，又均为正实数， （当且仅当时取"=")， ，此时. ， ，当且仅当时取得"="，满足题意. 的最大值为. 故选：D 变式7-1．已知，若，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由条件可得，利用基本不等式，即可得出结论． 【解析】根据题意可得，又， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为4. 故选：C 变式7-2．已知实数，若，则的最大值为 . 【答案】4 【分析】将变形后，利用基本不等式即可求得答案. 【解析】由题意知实数，， 故 ， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为4， 故答案为：4 变式7-3．对任意的正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】变形得到，利用两次基本不等式，求出最小值. 【解析】任意的正实数，满足， 由于为正实数，故由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为. 故答案为： 1.已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【解析】因为， 所以， 当且仅当且，即时，取等号，所以的最小值为2. 选：D. 2.已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】将变形为，代入，再通过常数代换和基本不等式可得. 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为9. 故选：B 3.已知，则的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解. 【解析】，， ， ， ， ， 当且仅当，即，时等号成立， 故选：A 4.若、且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知等式变形得出，令，，可得出且，，代入，结合基本不等式可求得的最小值. 【解析】由得， 令，，则且，， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为 ， 故选：A． 5.已知，，，则的最小值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【分析】根据题设得到且，代入目标式并应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【解析】由题设，又，，故，则， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：D 6.已知，且，则的最小值为（    ） A．. B．. C．. D．. 【答案】A 【分析】 先利用均值不等式消掉分母上的，然后利用齐次化（同时除以）最后换元求解即可. 【解析】， 设， ，可以取等. 当且仅当（舍）或. 故选：A. 7.（多选）已知，，且，则下列取值没有可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知条件,结合基本不等式的公式,即可依次求解 【解析】对于:已知，,所以, 当且仅当时, ,故有可能; 对于:已知，,所以, 不成立,故没有可能; 对于:已知，，且，所以 当且仅当时取等号 所以,即得,所以不成立,故没有可能; 对于:因为,所以, 所以,不成立,故没有可能; 故选: . 8.（多选） 已知，，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为16 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式有，结合换元法解一元二次不等式求范围，注意所得范围端点取值判断A；由已知得，利用基本不等式判断B、C、D，注意最值取值条件. 【解析】因为，， 所以，仅当时，即等号成立， 令，则，故， 所以，即，仅当时右侧等号成立， 所以的最大值为，A错误； 由，则， 所以， 仅当，即时等号成立，故的最小值为，B正确； 由，仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，C正确； 由，仅当，即时等号成立， 所以的最小值为16，D正确. 故选：BCD 9.（多选）若a， b均为正数，且满足，则（    ） A. ab的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值是4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式对A，B，C选项分析判断，利用二次函数的性质对D选项分析判断即可得答案． 【解析】对于 A：，b均为正数，且满足， ，解得，当且仅当时取等号， 所以ab的最大值为2，故A正确； 对于B，，，则，当且仅当时取等号， ，当时等式不成立，则等号取不到， 则的最小值不是4，故B不正确； 对于C：，b均为正数，且满足， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4，故C正确； 对于D：，b均为正数，且满足，则， 又，解得， 则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确． 故选：ACD. 10.已知实数，则的最小值是 . 【答案】 【分析】表示，再利用的代换解出最小值即可. 【解析】由题意可得 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 则的最小值是. 故答案为： 11.若，，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由变形为，化应用基本不等式可求最小值． 【解析】因为满足， 所以，即，即， 所以， 所以 ， 所以当且仅当，即，时取“”，解得 所以的最小值为， 故答案为：． 12.已知正实数、、满足，则的最小值为 ，的最小值为 . 【答案】 ； / 【分析】根据基本不等式中常值代换法可得第一空；利用两次基本不等式计算即可. 【解析】因为，，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取得最小值； 易知 ， 当且仅当第一个不等号可取等号， 当且仅当第二个不等号可取等号. 故答案为：；. 13.已知，且，. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1)3；(2). 【分析】（1）由已知推得，将变形为，展开用基本不等式，即可求得的最小值； （2）原式可变形为，进而求出，用“1”的代换将变形为，展开用基本不等式，即可求得的最小值. 【解析】（1）因为，， 所以 ， 当且仅当，且，即，时等号成立， 则的最小值为3. （2） ， 因为，所以， 所以原式 ， 当且仅当，且，即，时等号成立， 则的最小值为 14.已知正实数x，y满足. (1)求的值； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值. 【答案】(1)1；(2)；(3) 【分析】（1）由得，由x，y为正数得． （2）由得，利用基本不等式求最值即可. （3）由得 ，化简之后结合基本不等式求最值即可. 【解析】（1）∵，∴， ∵x，y为正数，∴， ∴． （2）∵，∴， ∴ ， 当且仅当即时等号成立， 故的最小值为． （3）∵， ∴ ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$