专题02 平面直角坐标系中面积、变换规律、新定义、几何综合问题（专项训练）数学北师大版2024八年级上册

专题02 平面直角坐标系中面积、变换规律、新定义、几何综合问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、平面直角坐标系中的动点面积问题 1 题型二、平面直角坐标系中点的规律探究问题 7 题型三、平面直角坐标系中的新定义型问题 10 题型四、平面直角坐标系中与几何证明的综合问题 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平面直角坐标系中的动点面积问题 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段与的长满足等式． (1)求线段，的长； (2)若点C的坐标为，连接，则的面积为______； (3)若点D在线段上，且，点Q在x轴上且，请直接写出点D的坐标______，点Q的坐标______．（数学活动小组的同学发现：可连接，的面积是面积的，的面积是面积的，利用其面积即可求出点D坐标． 2.如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于两点，若点，，满足． (1)求的值； (2)若点的坐标为，连接，．则的面积为 ； (3)点在直线上，且．数学活动小组的同学发现：当点在线段上时，可连接，的面积是面积的，根据两者间的面积关系，即可求出点坐标．请你根据活动小组的思路，直接写出满足条件点的坐标． 题型二、平面直角坐标系中点的规律探究问题 3.在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，沿着循环爬行，其中点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，当蚂蚁爬了2024个单位时，它所处位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，，…．若点的坐标为，则点的坐标为 ；若点的坐标为，对于任意的正整数n，点均在轴上方，则a，b应满足的条件为 ． 5．如图，点，点，点，点，…，按照这样的规律下去，点的坐标是 ． 6．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（n是正整数）：（______，______）； (3)求出的坐标． 题型三、平面直角坐标系中的新定义型问题 7.点是平面直角坐标系中的一点，若点Q的坐标为（其中k为常数且），则称点Q为点P的“k拓点”，例如：点的“2拓点”Q为，即点Q为． (1)求点的“3拓点”Q的坐标； (2)若点的“4拓点”Q的坐标是，求的值． 8．在学习了“数形结合”讨论问题后，某校数学兴趣小组开展“你命我解”互助学习活动．其中有一组的同学给出了这样一个问题：在平面直角坐标系中，点中x，y的值若满足，则称点Q为“直线点”，请你来解答这位同学提出的问题： (1)判断点是否为“直线点”，并说明理由； (2)若点是“直线点”，请通过计算判断点M在第几象限？ 9．阅读下列范例，按要求解答问题． 定义：在平面直角坐标系中，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积的值相等，则称点P．为“友善点”．如图，点P的坐标，则长方形的周长为，面积为，则点P就是“友善点”． (1)判断点，，是否为“友善点”，并说明理由； (2)若是“友善点”，求点P的坐标． 10．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)求点的“长距”； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为4，点D的坐标为，且点D是“完美点”，求b，c的值． 题型四、平面直角坐标系中与几何证明的综合问题 11．如图，在直角坐标系中，B点的坐标为，且a、b满足． (1)求B点的坐标； (2)点A为y轴上一动点，过B点作，交x轴正半轴于点C，求证：． 12.如图，，，以A点为顶点、为腰在第三象限作等腰直角三角形． (1)点C的坐标为______． (2)如图②，，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为直角顶点，为腰向右作等腰直角三角形，过D作轴于E点，求的值． 13．如图1，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，平分交于点C，点D为线段上一点，过点D作交y轴于点E，已知，，且m、n满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)若点D为中点，延长交x轴于点F，在的延长线上取点G．使，连接． ①与y轴的位置关系怎样？说明理由； ②求的长； (3)如图2，若点为直线在x轴下方的一点，点M是y轴的正半轴上一动点，以M为直角顶点作等腰直角，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标． 14．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求的面积； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，当点在直线上方时，请直接写出点的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 一、单选题 1．如图， 在平面直角坐标系中， 已知， ， 其中a，b满足 ．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点 P，使得三角形 的面积与三角形的面积相等，则点 P 的坐标为（  ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点 叫作点的青蓝点，已知的青蓝点为，点的青蓝点为，点的青蓝点为，⋯，这样依次得到点，，，，…，， 若点的坐标是， 则点P2025的坐标是 （   ） A． B． C． D． 3．如图，平面直角坐标系内，动点按照图中箭头所示的方向依次运动，第次从点运动到点，第次运动到点，第次运动到点，，按照这样的运动规律，动点第次运动到点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中k为常数，且），则称点为点P的“k属衍生点”，例如：的“2属衍生点”为，即，若点P在y轴的正半轴上，点P的“k属衍生点”为点．且线段的长度为线段长度的3倍，则k的值 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点在轴正半轴上，线段与线段交于点．若与面积相等，则到直线的距离是 ． 6．长方形的两边分别平行于轴，轴，点的坐标为，点的坐标为．如图1，将长方形绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为一次操作；如图2，接着将长方形继续绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为第二次操作；以此类推，… （1）经过3次操作后，点的坐标为 ： （2）经过2025次操作后，点的坐标为 ， 三、解答题 7．在平面直角坐标系中，已知点，，，连接． (1)求四边形的面积； (2)过的中点作直线轴，交于点，求点的坐标．（提示：根据三角形ABO的面积求） 8．如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，且满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)若点C是第二象限内一点，且，过点A作于F，求证：． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点B在第一象限，点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿长方形的边逆时针移动一周（即沿着的路线移动）后停止． (1)点B的坐标为______；当点P移动时，点P的坐标为_______； (2)在点P移动过程中，当移动时，求三角形的面积． 10．若点的坐标满足，我们称点为“横和点”． (1)已知点为“横和点”，求的值； (2)在平面直角坐标系中，将三角形平移得到三角形，点A，，的对应点分别是点，，，已知点，点，点，若点A，点均为“横和点”，且三角形的面积为8，求的值 11．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：(________，________)，(________，________)，(________，________)； (2)求点的坐标； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 12．如图所示，点，，且，满足．若为轴上异于原点和点的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（为顶点），连接． (1)如图所示，直接写出点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)当点的坐标为时，求出点的坐标；此时，连接，， 度； (3)如图所示，点在轴上运动过程中，若所在直线与轴交于点，请直接写出点的坐标为 ，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系 ． (4)当最短时，在轴上是否存在点，使是等腰三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平面直角坐标系中面积、变换规律、新定义、几何综合问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、平面直角坐标系中的动点面积问题 1 题型二、平面直角坐标系中点的规律探究问题 7 题型三、平面直角坐标系中的新定义型问题 10 题型四、平面直角坐标系中与几何证明的综合问题 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平面直角坐标系中的动点面积问题 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段与的长满足等式． (1)求线段，的长； (2)若点C的坐标为，连接，则的面积为______； (3)若点D在线段上，且，点Q在x轴上且，请直接写出点D的坐标______，点Q的坐标______．（数学活动小组的同学发现：可连接，的面积是面积的，的面积是面积的，利用其面积即可求出点D坐标． 【答案】(1) (2)9 (3)；或 【知识点】坐标与图形、利用算术平方根的非负性解题 【分析】（1）根据非负数的性质得，据此可得出，的长； （2）过点C作轴于E，则，进而得，然后根据可得出答案； （3）连接，过点D作于M，于N，根据点D在线段AB上，且，可得，从而可求出，进而可得点D的坐标；根据点Q在x轴上且，可分为两种情况讨论，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：过点C作轴于E，如图1所示： ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：9． （3）解：连接，过点D作于M，于N，如图2所示： ∵点D在线段上，且， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； ∵点Q在x轴上且， ∴有以下两种情况： 设， ①当点Q在x轴的负半轴上时，过点D作轴于P，如图3所示： ∵点D的坐标为，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得： ∴点Q的坐标为； ①当点Q在x轴的正半轴上时，过点D作轴于P，如图4所示： ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点Q的坐标为， 综上所述：点Q的坐标为或． 2.如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于两点，若点，，满足． (1)求的值； (2)若点的坐标为，连接，．则的面积为 ； (3)点在直线上，且．数学活动小组的同学发现：当点在线段上时，可连接，的面积是面积的，根据两者间的面积关系，即可求出点坐标．请你根据活动小组的思路，直接写出满足条件点的坐标． 【答案】(1) (2)9 (3)或 【知识点】坐标与图形、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标系中的面积问题、中点坐标公式等，解题的关键是根据题意熟练应用上述知识． （1）依据题意，由，可得，进而计算可以得解； （2）作轴于点，由三点的坐标可知，再根据代入计算即可； （3）依据题意，可分为当点在线段上时、点在的延长线上和点在的反向延长线上三种情况，分别进行讨论即可得解． 【详解】（1）解：， ， 解得． （2）如图，作轴于点， 由（1）可得，，， ， ， ． （3）由题意，①如图，当点在线段上时， ， ， ， 边上的高是边上的高的3倍， ， 的纵坐标为2， ， ， ， 边上的高是边上的高的， ， 的横坐标为2， ； ②如图，当点在的延长线上时， ， 是线段的中点， 设， ，， ，， ，， ； ③当点在的反向延长线上时， 不成立，不合题意； 综上所述，或． 题型二、平面直角坐标系中点的规律探究问题 3.在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，沿着循环爬行，其中点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，当蚂蚁爬了2024个单位时，它所处位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点坐标规律探索，根据蚂蚁的运动规律找出“蚂蚁每运动12个单位长度是一圈”是解题的关键．先求出的长，再用2024除以上述长度，利用余数来确定蚂蚁的位置. 【详解】解：点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ， ， 则，余数为8， 故可判断蚂蚁爬了168个循环后，停在了点， 故选：C． 4．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，，…．若点的坐标为，则点的坐标为 ；若点的坐标为，对于任意的正整数n，点均在轴上方，则a，b应满足的条件为 ． 【答案】 且 【知识点】点坐标规律探索、求不等式组的解集 【分析】本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键． 根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2015除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可；再写出点的“伴随点”，然后根据x轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式组求解即可． 【详解】因为的坐标为，依题意可得，，，，…， 依此类推，每4个点为一个循环节依次循环． 因为余1， 所以点的坐标与的坐标相同，即为； 点的坐标为， ，，，，…， 依此类推，每4个点为一个循环组依次循环， 对于任意的正整数，点均在轴上方， ，， 解得，． 故答案为：；且． 5．如图，点，点，点，点，…，按照这样的规律下去，点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查点的坐标规律；熟练掌握平面内点的坐标，能够根据图形的变化得到点的坐标规律是解题的关键．根据题意得： ，，，，……，由此发现：脚标为偶数的点的坐标的规律，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ，，，，……， 由此发现：脚标为偶数的点的坐标的规律为， ∵， ∴点的坐标为． 故答案为：． 6．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（n是正整数）：（______，______）； (3)求出的坐标． 【答案】(1)2，0，4，0 (2)，0 (3) 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标规律求解，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）由图即可求解； （2）根据点的坐标规律可知，即可求解； （3）根据即可求解； 【详解】（1）解：根据题意可直接写出，， 故答案为2，0，4，0． （2）解：根据点的坐标规律可知，， 故答案为，0． （3）解：∵， ∴． 题型三、平面直角坐标系中的新定义型问题 7.点是平面直角坐标系中的一点，若点Q的坐标为（其中k为常数且），则称点Q为点P的“k拓点”，例如：点的“2拓点”Q为，即点Q为． (1)求点的“3拓点”Q的坐标； (2)若点的“4拓点”Q的坐标是，求的值． 【答案】(1)点Q的坐标为 (2) 【知识点】新定义下的实数运算、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查点的坐标，根据题目中的新定义正确列出式子是解题的关键． （1）根据题目中的新定义，求出横坐标和纵坐标即可； （2）根据新定义列出式子，求出的值，即可求出． 【详解】（1）解：由定义可知： ∴点Q的坐标为 （2） 解得 ∴ 8．在学习了“数形结合”讨论问题后，某校数学兴趣小组开展“你命我解”互助学习活动．其中有一组的同学给出了这样一个问题：在平面直角坐标系中，点中x，y的值若满足，则称点Q为“直线点”，请你来解答这位同学提出的问题： (1)判断点是否为“直线点”，并说明理由； (2)若点是“直线点”，请通过计算判断点M在第几象限？ 【答案】(1)是，理由见解析 (2)点M在第一象限 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、写出直角坐标系中点的坐标、新定义下的实数运算 【分析】（1）由，可得，，解得，，，由，满足，进而可知点是“直线点”； （2）由是“直线点”，可知，，解得，，，由，可得，解得，，即，然后判断点M所在的象限即可． 【详解】（1）解：点是“直线点”，理由如下： ∵， ∴，， 解得，，， ∵， ∴点是“直线点”； （2）解：∵是“直线点”， ∴，， 解得，，， ∵， ∴， 解得，， ∴，即点M在第一象限． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，点坐标，一元一次方程的应用．解题的关键在于理解题意． 9．阅读下列范例，按要求解答问题． 定义：在平面直角坐标系中，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积的值相等，则称点P．为“友善点”．如图，点P的坐标，则长方形的周长为，面积为，则点P就是“友善点”． (1)判断点，，是否为“友善点”，并说明理由； (2)若是“友善点”，求点P的坐标． 【答案】(1)M不是“友善点”，N是“友善点”．理由见解析 (2)或 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，解题的关键是会用含有未知数的式子表示围成的长方形的面积和周长． （1）分别求得过点M和点N得到的长方形的周长和面积，然后比较周长和面积判断； （2）先阅读范例，按照范例的方法解答即可． 【详解】（1）M不是“友善点”，N是“友善点”． 理由：对于长方形的的周长是，面积是， ∵周长与面积不相等， ∴M不是“友善点”， 对于长方形的的周长是，面积是， ∵周长与面积相等， ∴N是“友善点”； （2）∵是“友善点”， ∴， ∴， ∴， ∴或． 10．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)求点的“长距”； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为4，点D的坐标为，且点D是“完美点”，求b，c的值． 【答案】(1)4 (2)或 (3)当，则或；当，则 【知识点】求点到坐标轴的距离、坐标与图形、绝对值方程 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点到轴的距离为4，到轴的距离为2， ∴点A的“长距”为4． 故答案为：4； （2）解：∵点是“完美点”， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：∵点的长距为4， ∴， 解得或， ∵点D的坐标为，且点D是“完美点” ∴或 当，则或 当，则． 题型四、平面直角坐标系中与几何证明的综合问题 11．如图，在直角坐标系中，B点的坐标为，且a、b满足． (1)求B点的坐标； (2)点A为y轴上一动点，过B点作，交x轴正半轴于点C，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、代入消元法、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、坐标与图形综合 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，非负数的性质，坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据非负数的性质建立关于的方程组，求出的值，进而得出点的坐标； （2）过点作轴于点，作轴于点，易证，即可证明，即可解题． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴点坐标为； （2）证明：如图，过点作轴于点，作轴于点， ， ， ∵在和中， ， ， ． 12.如图，，，以A点为顶点、为腰在第三象限作等腰直角三角形． (1)点C的坐标为______． (2)如图②，，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为直角顶点，为腰向右作等腰直角三角形，过D作轴于E点，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义 【分析】（1）过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，，进而可得，据此即可得出点的坐标； （2）过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，由轴可得，根据题意可知，再结合，进而可得，则，于是得解． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 轴， ， ∴； 根据题意可知：， 又， ∴， ， ， 即：的值为． 13．如图1，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，平分交于点C，点D为线段上一点，过点D作交y轴于点E，已知，，且m、n满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)若点D为中点，延长交x轴于点F，在的延长线上取点G．使，连接． ①与y轴的位置关系怎样？说明理由； ②求的长； (3)如图2，若点为直线在x轴下方的一点，点M是y轴的正半轴上一动点，以M为直角顶点作等腰直角，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)①轴，理由见解析 ② (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了非负数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等列方程求解是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得方程、，解得，，即可得到、两点的坐标； （2）①由题意可得，进而可得，再证，于是可得，则，于是可得结论； ②设，则，由全等三角形的性质可知，，进而可得，列方程求解即可； （3）分别过点F、P作轴于点，轴于点，设点为，构造全等三角形，再根据点的横坐标与纵坐标相等，得出方程，解方程即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，， ∴ ，， ，； （2）解：①轴，理由如下： ∵平分， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵点D为中点， ∴， 在和中， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴轴； ②设，则， ∵， ∴ ，， ∴ ， ∴ ， ∴， 解得：， ∴； （3）解：如图，分别过点F、P作轴于点，轴于点， 设点为， ∵ 点P的坐标为， ∴，， ∵，， ∴ ， ∵轴， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴ ，， ∴ 点F的坐标为， ∵ F点的横坐标与纵坐标相等， ∴ ， 解得：， 则， ∴ 点P的坐标为． 14．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求的面积； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，当点在直线上方时，请直接写出点的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】(1) (2) (3)①证明见解析②的大小不变，总为，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理、等腰三角形的定义、坐标与图形综合 【分析】（1）根据绝对值的非负性及平方的非负性可得，，进而可得，，再利用三角形的面积公式即可求解． （2）当点C在上方时，作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，利用全等三角形的判定及性质即可求解． （3）①延长，，它们相交于点，利用全等三角形的判定及性质及等腰三角形的性质即可求解； ②作，，垂足分别是，，利用全等三角形的判定及性质及角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，． ，， 的面积． （2）解：当点C在上方时： 作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图：    ∴， ∵， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ，即：， 解得：， ，， ． （3）解：①延长，，它们相交于点，如图：   等腰直角中，，，且， ， 又， ， 在和中， ， ， ． 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， 即， ． ②的大小不变，总为，理由如下： 作，，垂足分别是，，如图：   ， 由①可知：，， 在和中， ， ， ， 是的角平分线， ． 一、单选题 1．如图， 在平面直角坐标系中， 已知， ， 其中a，b满足 ．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点 P，使得三角形 的面积与三角形的面积相等，则点 P 的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，先根据绝对值和平方的非负性求出的值，由，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵a，b满足， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 如图， ∴， 解得：， ∵P在y轴的正半轴上， ∴， 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点 叫作点的青蓝点，已知的青蓝点为，点的青蓝点为，点的青蓝点为，⋯，这样依次得到点，，，，…，， 若点的坐标是， 则点P2025的坐标是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为新定义问题，根据新定义进行计算，发现其中规律是解题关键．根据“青蓝点”的定义求出，，，，…；即可发现点的坐标每4个一个循环，据此即可求解． 【详解】解：∵把点 叫作点的青蓝点，已知的青蓝点为，点的青蓝点为，点的青蓝点为，⋯， ∴，即； ∴，即； 同理可得，，…； ∴点的坐标每4个一个循环， ∵， ∴的坐标与的坐标相同，即． 故选：A． 3．如图，平面直角坐标系内，动点按照图中箭头所示的方向依次运动，第次从点运动到点，第次运动到点，第次运动到点，，按照这样的运动规律，动点第次运动到点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了规律型—点的坐标规律探究，由此可以得到规律每四次运动为一个循环，点的纵坐标依次为，，，，横坐标为运动次数减，又，故有动点第次运动到点的横坐标为，纵坐标与第次运动后的点的纵坐标相同为，从而求解，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵第次从点运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， ， 由此可以得到规律，每四次运动为一个循环，点的纵坐标依次为，，，，横坐标为运动次数减， ∵， ∴动点第次运动到点的横坐标为，纵坐标与第次运动后的点的纵坐标相同，为， ∴动点第次运动到点的坐标为， 故选：． 二、填空题 4．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中k为常数，且），则称点为点P的“k属衍生点”，例如：的“2属衍生点”为，即，若点P在y轴的正半轴上，点P的“k属衍生点”为点．且线段的长度为线段长度的3倍，则k的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，设，则，，根据线段的长度为线段长度的3倍得到，解之即可得到答案． 【详解】解：设，则， ∴，， ∵线段的长度为线段长度的3倍， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点在轴正半轴上，线段与线段交于点．若与面积相等，则到直线的距离是 ． 【答案】4 【分析】本题考查平面直角坐标系中三角形面积的计算．画出相关图形，根据与面积相等，可得．进而可得点A到的距离． 【详解】解：作于点M． ∵，， ∴， ∴， ∵与面积相等， ∴． 即． 又 ∴， 即：． 解得：． 故答案为：4 6．长方形的两边分别平行于轴，轴，点的坐标为，点的坐标为．如图1，将长方形绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为一次操作；如图2，接着将长方形继续绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为第二次操作；以此类推，… （1）经过3次操作后，点的坐标为 ： （2）经过2025次操作后，点的坐标为 ， 【答案】 【分析】（1）点的坐标为，点的坐标为．得到长方形到x轴的距离为1，长为2，宽为1，故，，，解答即可． （2）当中的为奇数时，横坐标从开始，每次增加个单位长度；纵坐标从开始，每次增加个单位长度，即时，，解答即可． 本题考查了坐标系中坐标的规律，正确发现规律是解题的关键． 【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标为．得到长方形到x轴的距离为1，长为2，宽为1，故，，， 故答案为：． （2）解：按题意描点可知，当中的为奇数时，横坐标从开始，每次增加个单位长度；纵坐标从开始，每次增加个单位长度，即时，，当时，， ． 三、解答题 7．在平面直角坐标系中，已知点，，，连接． (1)求四边形的面积； (2)过的中点作直线轴，交于点，求点的坐标．（提示：根据三角形ABO的面积求） 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，三角形面积等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，，则，，，然后通过四边形的面积三角形的面积三角形的面积即可求解； （）连接，求出点的横坐标为，然后通过三角形的面积三角形的面积三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， ∴四边形的面积三角形的面积三角形的面积 ； （2）解：如图，轴，连接， ∵，点是的中点， ∴， ∵轴， ∴点的横坐标为， ∵三角形的面积三角形的面积三角形的面积 ∴， 解得， ∴点． 8．如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，且满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)若点C是第二象限内一点，且，过点A作于F，求证：． 【答案】(1)A、B两点的坐标分别为 (2)证明见解答 【分析】（1）由非负数的性质得，所以，则A、B两点的坐标分别为； （2）先由“同角的余角相等”证明，再根据全等三角形的判定定理“”证明，得． 【详解】（1）解：∵，， ， ， ， ∴ A ， B两点的坐标分别为． （2）证明：∵于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】此题重点考查非负数的性质、图形与坐标、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识与方法，求得、及证明是解题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点B在第一象限，点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿长方形的边逆时针移动一周（即沿着的路线移动）后停止． (1)点B的坐标为______；当点P移动时，点P的坐标为_______； (2)在点P移动过程中，当移动时，求三角形的面积． 【答案】(1)； (2)3 【分析】本题考查平面直角坐标系中长方形的坐标特征与点的运动，以及三角形面积计算，解题关键是利用长方形性质确定点坐标，结合路程分析点位置，进而求解． （1）利用长方形对边相等的性质，由、，直接得出点坐标；根据点移动速度和时间算出移动路程，结合长方形边长，确定时在上的位置，从而得到坐标 ． （2）根据移动时间和速度算出时移动路程，对比长方形各边长度和，确定在上，求出长度，再以为底、为高，用三角形面积公式算出面积 ． 【详解】（1）∵四边形是长方形，，，长方形对边相等， ∴点坐标为 ． ∵点速度是每秒个单位长度， ∴点P移动时，移动的路程是个单位． 长方形中，，，点从出发沿移动，长，，即点在上且距离点个单位， 所以坐标为 ． 故答案为：，； （2）解：如图 ∵点移动， ∴移动路程为个单位． 长方形周长为，，， ∴点在上， ∴， ． 10．若点的坐标满足，我们称点为“横和点”． (1)已知点为“横和点”，求的值； (2)在平面直角坐标系中，将三角形平移得到三角形，点A，，的对应点分别是点，，，已知点，点，点，若点A，点均为“横和点”，且三角形的面积为8，求的值 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、三角形的面积，解题时要熟练掌握并能根据新定义列出关系式是关键． （1）依据题意，由点是“横和点”，从而，进而计算可以得解； （2）依据题意，，，进而可得，，，根据点和点的纵坐标相同，可得轴，即可列出方程进行解答． 【详解】（1）解：点是“横和点”， ， 的值为4 （2）解：点和点是“横和点”， ，， ，， ，， ， 点和点的纵坐标相同， 轴 ，解得：， 11．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：(________，________)，(________，________)，(________，________)； (2)求点的坐标； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 【答案】(1)2，0；5，1；7，0 (2) (3)向上 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特征是解题的关键． （1）观察图形可知，，，都在轴上，求出，，的长度，然后写出坐标即可； （2）根据题意可得规律观察可知，每四次运动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0，依次出现，再由，可得的纵坐标为1，横坐标为．据此可得答案； （3）由可知从点到点的移动方向与从点O到点的移动方向一致，据此可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，，都在轴上 ∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴，，，， ∴，，， 故答案为：2，0；5，1；7，0； （2）观察可知，每四次移动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为，依次出现． ， 的纵坐标为1，横坐标为， ． （3）， ∴从点到点的移动方向与从点O到点的移动方向一致，为向上． 12．如图所示，点，，且，满足．若为轴上异于原点和点的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（为顶点），连接． (1)如图所示，直接写出点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)当点的坐标为时，求出点的坐标；此时，连接，， 度； (3)如图所示，点在轴上运动过程中，若所在直线与轴交于点，请直接写出点的坐标为 ，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系 ． (4)当最短时，在轴上是否存在点，使是等腰三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)存在，或或或 【分析】（1）根据完全平方数和绝对值的非负性得到，，解一元一次方程即可得出答案； （2）过点作轴于点，易证得，于是可得，，进而可求出点的坐标，又可得出，于是可求出的度数； （3）由（2）可得，因此，，于是可推出，进而可求出，于是，，据此即可求出点的坐标；取点，连接，连接交于点，易证得，于是有，，进而可证得垂直平分，连接交于点，连接，则，此时最小，，然后由角平分线的性质及三角形的面积公式即可得出此时与之间的数量关系； （4）当点在轴上运动时，点在直线上运动，根据垂线段最短可知：当时，最短，过点作于点，过点作于点，进而可求得点的坐标，设，若是等腰三角形，则分三种情况讨论：当时；当时；当时；分别列方程求解，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，, 故答案为：，； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， 在等腰直角中，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 即， 故答案为：； （3）解：由（2）可得：， ，， 又， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，取点，连接，连接交于点， ， ，， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， 又， ， ，即， 垂直平分， 点与点关于直线对称， 如图，连接交于点，连接， 垂直平分， ， 此时最小，， ， 是的角平分线， 点到，的距离相等， ，， ， 又， ， ， ， 故答案为：，； （4）解：存在，理由如下： 由（2）、（3）可得：， 当点在轴上运动时，点在直线上运动， 根据垂线段最短可知：当时，最短， 如图，过点作于点，过点作于点， ， ，即， ， ， ， ， ， 又， ， ，， 设，若是等腰三角形，分三种情况讨论： 当时， 则有：， 即：， 解得：， ； 当时， 则有：， 即：， 解得：，， 或； 当时， 则有：， 即：， 解得：（此时点与点重合，故舍去），， ； 综上所述，点的坐标为或或或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$