第二章 实数（复习讲义）数学北师大版2024八年级上册

第二章 实数（复习讲义） 1. 了解实数、平方根、立方根、二次根式等概念，体会实数体系及各概念间整体联系。 2. 能用实数与数轴上点一一对应关系，解释相关数的几何意义；会求平方根、立方根，判断二次根式有意义条件。 3. 理解实数的非负性、二次根式性质，利用其解决化简、求值等问题；掌握最简二次根式、同类二次根式概念，能识别与区分。 4. 熟练运用二次根式乘、除、加、减及混合运算法则，进行准确运算；结合实数性质与根式运算，解决实际与代数问题 。 一、实数的概念和性质 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 2.实数与数轴上的点一 一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质： 　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； （2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 二、平方根与立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零； 重要结论 三、二次根式 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式. 2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 3.二次根式有无意义的条件 ①二次根式有意义：被开方数为非负数，即； ②二次根式无意义：被开方数为负数，即； 4.二次根式的性质 ①二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． ②二次根式的性质：（） ③二次根式的性质： 四、最简二次根式与同类二次根式 1.最简二次根式 （1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.同类二次根式 （1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 五、二次根式的运算 1.二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） （2）二次根式的乘法法则的推广: ① ②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. （3）二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） （4）二次根式的乘法法则的逆用的推广： 2.二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） （2）二次根式的除法法则的推广：. 3.二次根式的加减法 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 题型一 无理数的识别 【例1】下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】实数（相邻每个2之间依次多一个1），，其中无理数的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-2】实数（相连两个1之间依次多一个0），其中无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】在实数（每两个1之间的3依次多1）中，其中无理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型二 求一个数的平方根、算术平方根、立方根 【例2】的立方根是 ，3的算术平方根是 ． 【变式2-1】的立方根为 ．的平方根是 ． 【变式2-2】的平方根是 ，的算术平方根是 ，的立方根是 ． 【变式2-3】36的平方根是 ；的算术平方根是 ；立方根和算术平方根都等于它本身的数是 ． 题型三 实数与数轴 【例3】如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，将实数表示在数轴上（　　） A．R点 B．Q点 C．S点 D．T点 【变式3-2】如图，已知正方形的面积为，点在数轴上，且表示的数为．现以点为圆心，的长为半径画圆，和数轴交于点（点在点的右侧），则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点所表示的数为（   ）    A． B．1.8 C． D． 题型四 实数大小比较 【例4】比较大小： （用“”或“”填空）． 【变式4-1】比较大小： ． 【变式4-2】比较大小： ．（填“＞”“＝”或“＜”） 【变式4-3】比较大小： （填“”，“”或“=”） 题型五 无理数整数部分的有关计算 【例5】如果设的整数部分为，则的值为 ． 【变式5-1】若的整数部分是a，小数部分是b，则 ． 【变式5-2】若的整数部分为，小数部分为，则的值为 ． 【变式5-3】已知的整数部分为，小数部分为，则 ． 题型六 利用平方根与立方根的定义解方程 【例6】解方程： (1)； (2)． 【变式6-1】求下列各式中x的值． (1) (2) 【变式6-2】求下列各式中实数x的值： (1)； (2)． 【变式6-3】解方程： (1)； (2)． 题型七 程序设计与实数运算 【例7】在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是 ． 【变式7-1】有一个数值转换器，原理如下：    当输入的时，输出的y等于 ． 【变式7-2】如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为，则输出y的值为 ． 【变式7-3】有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 题型八 平方根、算术平方根、立方根的综合 【例8】已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 【变式8-1】已知的立方根是4，的算术平方根是5． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【变式8-2】已知a的算术平方根为3，ab的立方根为，b和c是互为相反数． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【变式8-3】已知的立方根是，的算术平方根是2，c是的相反数． (1)求a，b，c的值； (2)求的算术平方根． 题型九 判断是否为二次根式 【例9】下列是二次根式的是：（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】下列式子是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】下列各式中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】下列式子中，不是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型十 根据二次根式有意义条件求范围 【例10】要使式子有意义，则x的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式10-1】若二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【变式10-3】若代数式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 题型十一 根据二次根式有意义求值 【例11】已知x，y为实数，若满足，则的值为 ． 【变式11-1】若，求的值是 ． 【变式11-2】若、都是实数，且，则 ． 【变式11-3】已知，则 ． 题型十二 最简二次根式的判断 【例12】下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】下列根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式12-3】下列二次根式是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 题型十三 同类二次根式的判断 【例13】下列二次根式中，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】下列二次根式中，化简后能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】下列各组二次根式，化简后可以合并的是（   ） A．与 B．与 C．和 D．与 题型十四 二次根式的混合运算 【例14】计算题： (1)； (2)． 【变式14-1】计算： (1) (2) 【变式14-2】计算： (1)； (2)． 【变式14-3】计算： (1)； (2)． 题型十五 二次根式中的新定义型问题 【例15】定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与_____是关于3的“实验数”，与是关于3的“实验数”，则是_____，表示的值的点落在数轴上的位置位于_____． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 【变式15-1】定义两种新运算，规定：，，其中，为实数且． (1)求的值； (2)化简． 【变式15-2】定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． (1)若与是关于6的美好二次根式，求的值： (2)若与是关于的美好二次根式，求和的值． 【变式15-3】对于任意两个非零实数a、b，定义运算如下： 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： (1)______，______； (2)若，求x的值． 题型十六 二次根式中的分母有理化 【例16】【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． 【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化．例：． 结合上述材料，解决问题： (1)的有理化因式是 ，的有理化因式是 ； (2)利用分母有理化化简：． 【变式16-1】像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：① ．② ． (2)计算 (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 【变式16-2】观察下列式式子的化简过程： ①； ②； ③；… (1)请直接写出第四个等式，并猜想第n个等式； (2)求的值． 【变式16-3】阅读下列分母有理化的过程： （Ⅰ）； （Ⅱ）； 请完成下列问题： (1)仿照上述解题过程计算：=__________；=__________；（注意结果化简） (2)观察上面解题过程，请直接写出的结果为_________； (3)通过完成问题（1）（2），你得到的结论是： ； (4)试利用上面所提供的思路，解方程：． 题型十七 二次根式中的规律探究问题 【例17】观察下列各式及其验证过程： ．验证：． ．验证： (1)按照上述规律，直接写出的结果是___________ (2)针对上述各式反映的规律，写出用为自然数，且表示的等式，并给出证明． 【变式17-1】； ； ； (1)写出_________； (2)猜想：_________； (3)由以上规律，计算的值． 【变式17-2】观察下列等式： ①， ②， ③， … 解答下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个等式：_______； (2)用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明． 【变式17-3】观察下列各式 ①；②；③…… 请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题： (1)_________； (2)根据你的观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________； (3)用上述规律计算：． 基础巩固通关测 一、单选题 1．有下列各数：、、、、、、、（相邻两个3之间0的个数逐次增加1），其中无理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个          D．6个 2．下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连结，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 4．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ） A． B． C．3 D． 二、填空题 5．若式子有意义，则的取值范围是 ． 6．的值是 ；8的立方根是 ． 7．若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值是 ． 8．观察下列等式，并解答下列问题． 等式1：，等式2：，等式3：… 请写出等式6： ． 三、解答题 9．（1）计算：； （2）求下列各式中x的值： ①； ②； 10．计算： (1)； (2) 11．已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 12．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式化简时，形如、这样的式子可以进一步化简： ；； 以上化简过程称为分母有理化，其中与，与互为有理化因式． (1)的有理化因式是 ；的有理化因式是 ； (2)化简：； (3)化简：． 13．观察下列各式： ；；；； (1)根据上述式子的规律填空：______；______； (2)计算：； (3)请用含自然数的代数式把上述规律表示出来． 14．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：； （3）已知，，为的三边长．化简：． 能力提升进阶练 一、单选题 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C．2 D． 3．下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 4．如图是一个程序框图，若输入，则输出y的值为（    ） A． B． C． D． 5．对于任意两个实数a，b，定义两种新运算：，，并且定义新运算的运算顺序仍然是先算括号内的，例如：，，，那么等于（    ） A．2 B．3 C． D．6 二、填空题 6．比较大小： （填“>”，“<”或者“=”）． 7．若与互为相反数，则 ． 8．已知，则 ． 9．如图，为原点，，，以点圆心，为半径画弧，交数轴的负半轴于点，则点表示的数是 ． 10．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简 ． 三、解答题 11．解下列方程． (1)； (2) 12．计算： (1)； (2)． 13．把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦， 1.020 220 222 0…（每两个0之间依次多1个2）． 整数：{            }； 负分数：{           }； 无理数：{           }． 14．（1）已知的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． （2）已知的平方根是，的平方根是，求的平方根 15．对于实数a，b定义一种新运算“○”，规定， 如． (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 16．观察下列各式及验证过程： ①    ；验证①； ②；   ②； ③；   ③； (1)按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想的变形结果，并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出（为大于等于2的自然数）表示的等式． 17．【类比思想】解决问题：已知，求的值．小明是这样分析与解答的： 因为， 所以， 所以，即， 所以， 所以． 请根据小明的分析过程，解答以下问题： (1)计算：； (2)计算： (3)若，求的值． 18．先阅读，再解答：由可以看出，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，那么我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如： ． 请完成下列问题： (1)的有理化因式是______； (2)化去式子分母中的根号：______；（直接写结果） (3)利用你发现的规律计算：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 实数（复习讲义） 1. 了解实数、平方根、立方根、二次根式等概念，体会实数体系及各概念间整体联系。 2. 能用实数与数轴上点一一对应关系，解释相关数的几何意义；会求平方根、立方根，判断二次根式有意义条件。 3. 理解实数的非负性、二次根式性质，利用其解决化简、求值等问题；掌握最简二次根式、同类二次根式概念，能识别与区分。 4. 熟练运用二次根式乘、除、加、减及混合运算法则，进行准确运算；结合实数性质与根式运算，解决实际与代数问题 。 一、实数的概念和性质 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 2.实数与数轴上的点一 一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质： 　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； （2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 二、平方根与立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零； 重要结论 三、二次根式 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式. 2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 3.二次根式有无意义的条件 ①二次根式有意义：被开方数为非负数，即； ②二次根式无意义：被开方数为负数，即； 4.二次根式的性质 ①二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． ②二次根式的性质：（） ③二次根式的性质： 四、最简二次根式与同类二次根式 1.最简二次根式 （1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.同类二次根式 （1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 五、二次根式的运算 1.二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） （2）二次根式的乘法法则的推广: ① ②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. （3）二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） （4）二次根式的乘法法则的逆用的推广： 2.二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） （2）二次根式的除法法则的推广：. 3.二次根式的加减法 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 题型一 无理数的识别 【例1】下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的概念，掌握其概念及常见无理数的形式是解题的关键． 无理数是无限不循环小数，常见的无理数有含有的最简式子，开不尽方的数，特殊结构的数，如（相连两个2之间1的个数逐渐增加），由此即可求解． 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、是开不尽方的数，是无理数，符合题意； 故选：D ． 【变式1-1】实数（相邻每个2之间依次多一个1），，其中无理数的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题考查了无理数的定义、算术平方根、立方根等知识点，对含根号的数进行化简是解题的关键． 根据无理数的定义、算术平方根、立方根这个判断即可． 【详解】解：是有理数；是无理数；0是有理数；是有理数；是无理数；（相邻每个2之间依次多一个1）是无理数，是有理数；总共有3个无理数． 故选A． 【变式1-2】实数（相连两个1之间依次多一个0），其中无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数、实数的分类 【分析】本题主要考查无理数、立方根及算术平方根，熟练掌握各个概念是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴在实数（相连两个1之间依次多一个0）中，无理数的有（相连两个1之间依次多一个0），共3个； 故选C． 【变式1-3】在实数（每两个1之间的3依次多1）中，其中无理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】求一个数的立方根、无理数 【分析】此题主要考查了立方根和无理数的定义，熟知无理数的常见形式是解题的关键．首先计算，然后根据无理数是无限不循环小数判断即可． 【详解】解：， 根据无理数的定义可知：，，（每两个1之间的3依次多1）是无理数， 无理数的个数是个． 故选：B． 题型二 求一个数的平方根、算术平方根、立方根 【例2】的立方根是 ，3的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根、立方根，求出一个数的算术平方根、立方根即可． 【详解】解：的立方根是，3的算术平方根是， 故答案为：，． 【变式2-1】的立方根为 ．的平方根是 ． 【答案】 2 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查求一个数的平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：，8的立方根为2； ，4的平方根是， 故答案为：2；． 【变式2-2】的平方根是 ，的算术平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 /0.7 2 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的平方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数，正的平方根即为它的算术平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0．分别根据平方根、算术平方根和立方根的概念直接计算即可求解． 【详解】解：, 的平方根是；的算术平方根是，的立方根是2； 故答案：，，2． 【变式2-3】36的平方根是 ；的算术平方根是 ；立方根和算术平方根都等于它本身的数是 ． 【答案】 2 1和0 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的平方根、求一个数的算术平方根 【分析】此题考查了平方根，算术平方根和立方根的概念，解题的关键是熟练掌握平方根，算术平方根和立方根的概念．根据平方根，算术平方根和立方根的概念求解即可． 【详解】解：36的平方根是和； ∵，4的算术平方根是2， ∴的算术平方根是2； ∵1的算术平方根和立方根为1，0的算术平方根和立方根为0， ∴立方根和算术平方根都等于它本身的数是1和0， 故答案为：；2；1和0． 题型三 实数与数轴 【例3】如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题考查数轴，实数的估值，对各选项的无理数进行估值，即可解答． 【详解】解：∵，，，， ∴点P表示的数可能是． 故选：B 【变式3-1】如图，将实数表示在数轴上（　　） A．R点 B．Q点 C．S点 D．T点 【答案】D 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了实数与数轴，先观察数轴，判断各点表示数的大小，然后再估算 的大小，最后进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：点R表示的数大于且小于，点T表示的数是大于2且小于3，点Q表示的数大于3小于4，点S表示的数是大于4且小于5， ∵， ∴，即， ∴实数表示在数轴上是T点， ∴A，B，C选项不符合题意，选项D符合题意， 故选：D． 【变式3-2】如图，已知正方形的面积为，点在数轴上，且表示的数为．现以点为圆心，的长为半径画圆，和数轴交于点（点在点的右侧），则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数与数轴 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合 点所表示的数及间距离可得点所表示的数，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键． 【详解】解：正方形的面积为，且， ， 点表示的数是，且点在点的右侧， 点表示的数为． 故选：C． 【变式3-3】如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点所表示的数为（   ）    A． B．1.8 C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、实数与数轴 【分析】本题考查了数轴上的点与实数一一对应，求一个数的算术平方根，正确理解题意是解题的关键．设含角的三角板直角边为，由面积法即可求解三角板直角边为，即可表示数轴上点所表示的数． 【详解】解：设含角的三角板直角边为， 则， 则， ∵直角顶点与数轴上表示的点重合， ∴数轴上点所表示的数为， 故选：C． 题型四 实数大小比较 【例4】比较大小： （用“”或“”填空）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】此题主要考查了实数的大小的比较，解答此题的关键是熟知当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把有理数还原成带根号的形式，比较被开方数． 把3化成带根号的形式，再根据实数比较大小的方法即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】比较大小： ． 【答案】> 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数大小的比较，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．根据实数大小的比较来判断即可，因为，所以 【详解】解：， ． 故答案为 【变式4-2】比较大小： ．（填“＞”“＝”或“＜”） 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是掌握实数大小的比较，根据题意，则，，可得，即，则，根据正数大于零大于负数，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式4-3】比较大小： （填“”，“”或“=”） 【答案】 【知识点】无理数的大小估算、实数的大小比较 【分析】根据无理数估算，实数的大小比较解答即可． 本题考查了实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 题型五 无理数整数部分的有关计算 【例5】如果设的整数部分为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查无理数的知识，解题的关键是掌握估算无理数，根据题意，则，同时乘以，可得，再同时加，即，即可确定的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分为． 故答案为：． 【变式5-1】若的整数部分是a，小数部分是b，则 ． 【答案】16 【知识点】无理数整数部分的有关计算、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的加减运算，估算无理数大小的知识，解答本题的关键是求出、的值． 根据，可得出，，代入运算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵的整数部分是，小数部分是， ∴，， ∴ ． 故答案为：16． 【变式5-2】若的整数部分为，小数部分为，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查了无理数的估算，确定的值是解题的关键． 根据首先确定的值，则小数部分即可确定． 【详解】解：∵， ∴，则， ∴． 故答案为：． 【变式5-3】已知的整数部分为，小数部分为，则 ． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】此题考查估算无理数的大小，解题关键在于得到的整数部分．先将进行分母有理化得，由得到，进而得到、的值，即可求解． 【详解】解：， ， ， ，， ， 故答案为：． 题型六 利用平方根与立方根的定义解方程 【例6】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴或； （2）解：， ∴， ∴， ∴． 【变式6-1】求下列各式中x的值． (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【知识点】求一个数的立方根、利用平方根解方程 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程： （1）利用立方根的定义，解方程即可； （2）利用平方根，解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， ∴． （2） ， ∴， ∴或， ∴或． 【变式6-2】求下列各式中实数x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求一个数的立方根、利用平方根解方程 【分析】本题考查利用立方根和平方根的性质解方程，解题的关键是掌握立方根和平方根的定义及运算法则． （1）先将方程变形为等于一个常数的形式，再根据立方根的定义求解； （2）先将方程变形为等于一个常数的形式，再根据平方根的定义求出的值，进而求出的值． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， 或． 【变式6-3】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查了根据立方根和平方根解方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或 ， 解得：或； （2）解：， ∴， ∴， 解得：． 题型七 程序设计与实数运算 【例7】在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是 ． 【答案】或 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】本题考查了实数的运算，理解程序的运算步骤是解题的关键． 按照程序的运算步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：若1次运算输出的值是时， ， ， 解得：或； 若2次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； 若3次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； ，且取负整数， 或， 故答案为：或． 【变式7-1】有一个数值转换器，原理如下：    当输入的时，输出的y等于 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数、程序设计与实数运算 【分析】本题考查流程图计算，涉及算术平方根、立方根，有理数与无理数的定义．根据流程图，结合算术平方根运算，立方根运算，由无理数与有理数定义进行判断即可得到答案． 【详解】解：当输入的时，则取立方根为：， 4是有理数，取算术平方根为：， 2取立方根为：， 是无理数， 即， 故答案为：． 【变式7-2】如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为，则输出y的值为 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、程序设计与实数运算 【分析】本题考查算术平方根，无理数的含义，程序流程图，关键是掌握算术平方根的定义． 如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，再代入计算即可求解． 【详解】解：输入x的值为时，的算术平方根是， 是有理数，再输入可得： 的算术平方根是， ∵， 则输出y的值是． 故答案为：． 【变式7-3】有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 【答案】(1)当时，；当时，；当时， (2)3或9 【知识点】相反数的定义、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、程序设计与实数运算 【分析】（1）将，4，分别代入，计算求解即可； （2）由题意知，分当是无理数的相反数时，当是有理数的负平方根时，两种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：当时，其算术平方根为，是无理数，故； 当时，其算术平方根为2，是有理数，故； 当时，其算术平方根为4，是有理数，故； （2）解：当是无理数的相反数时，则的算术平方根是， ∴， 当是有理数的负平方根时，则的算术平方根的负平方根是， ∴， 综上所述，的值为3或9． 【点睛】本题考查了相反数，算术平方根，平方根．熟练掌握相反数，算术平方根，平方根的概念是解题的关键． 题型八 平方根、算术平方根、立方根的综合 【例8】已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 【答案】(1)，， (2)． 【知识点】加减消元法、算术平方根和立方根的综合应用、立方根概念理解、求一个数的平方根 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根的定义、无理数的估算等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义即可求出a，b的值； （2）根据无理数的估算求出c的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，解得：． （2）解：∵， ， 由（1）得，， ． ，即的平方根是． 【变式8-1】已知的立方根是4，的算术平方根是5． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用、加减消元法 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）根据立方根及算术平方根的定义建立方程组即可求得答案； （2）将a，b的值代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵的立方根是4，的算术平方根是5， ∴， 解得：； （2）解： ， 则的平方根是． 【变式8-2】已知a的算术平方根为3，ab的立方根为，b和c是互为相反数． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2) 【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了平方根和立方根和相反数，代数式求值，掌握相关概念和运算法则是解题关键 （1）根据算术平方根、立方根、相反数的定义求解即可； （2）先将a、b、c的值代入代数式，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：a的算术平方根为3，ab的立方根为，b和c是互为相反数， ，，， ，； （2）解：由（1）可知，，，； ， 的平方根是． 【变式8-3】已知的立方根是，的算术平方根是2，c是的相反数． (1)求a，b，c的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2)3 【知识点】求一个数的算术平方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的综合应用，熟记相关结论即可． （1）根据，的相反数是即可求解； （2）计算出即可求解； 【详解】（1）解：∵的立方根是， ∴， 解得：； ∵的算术平方根是2， ∴， 即， ∴． ∵c是的相反数， ∴ 故：，，． （2）解：∵，，， ∴， ∴的算术平方根为3 题型九 判断是否为二次根式 【例9】下列是二次根式的是：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数必是非负数成为解题的关键．根据二次根式的被开方数必是非负数逐项判定即可． 【详解】解：A、无意义，不符合题意； B、，当时，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、，当时，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； D、，a为任意实数，，是二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式9-1】下列式子是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义，逐一判断即可，一般形如的代数式叫做二次根式．当时，表示的算术平方根；当小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）． 【详解】解：A、无意义，故本选项不符合题意； B、的根指数是3，不是2，故本选项不符合题意； C、该式子符合二次根式的定义，故本选项符合题意； D、当时，根式无意义，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式9-2】下列各式中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义．根据二次根式的概念和有意义的条件“二次根式的被开方数是非负数”求解即可． 【详解】解：A、是二次根式，本选项不符合题意； B、，故是二次根式，本选项不符合题意； C、，故是二次根式，本选项不符合题意； D、当时，，故不是二次根式，本选项符合题意； 故选：D． 【变式9-3】下列式子中，不是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，正确掌握二次根式的定义是解题关键． 根据二次根式的概念，形如的式子是二次根式，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、是二次根式，不合题意； B、中，故不是二次根式，符合题意； C、是二次根式，不合题意； D、是二次根式，不合题意； 故选：B． 题型十 根据二次根式有意义条件求范围 【例10】要使式子有意义，则x的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】根据“时，二次根式有意义”求解即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，对于二次根式，当时有意义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：要使式子有意义， 则， 解得． 故选：D． 【变式10-1】若二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，如果一个式子中含有二次根式，那么它们有意义的条件是：二次根式中的被开方数都必须是非负数．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不为零，列式解答即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故选：C． 【变式10-2】在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【知识点】求自变量的取值范围、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围的求解，根据分式有意义的条件，二次根式被开方数非负性质，解一元一次不等式组，即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：且， 故选：D． 【变式10-3】若代数式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，明确二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零是解题关键． 根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可． 【详解】解：代数式有意义， ，． 解得∶且． 故选：D． 题型十一 根据二次根式有意义求值 【例11】已知x，y为实数，若满足，则的值为 ． 【答案】5 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式有意义的条件 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式有意义的条件解答即可． 本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【详解】解：有意义， 故， 解得， 故， 故， 故答案为：5. 【变式11-1】若，求的值是 ． 【答案】2 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键；根据二次根式有意义的条件得出一元一次不等式组，解不等式组，在求出y，代入中即可解答． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 则， ∴， 故答案为：2． 【变式11-2】若、都是实数，且，则 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得出，求出，得到，代入计算即可得到答案． 【详解】解：， ， 解得：， ， ， ， 故答案为： ． 【变式11-3】已知，则 ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，正确求出、的值是解题的关键，根据二次根式有意义列出，求出的值，即可求出的值，然后代入计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ， ， 故答案为：． 题型十二 最简二次根式的判断 【例12】下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义对各选项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 【变式12-1】下列根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故符合题意； B、中含有因数9，不是最简二次根式，故不合题意； C、中含有分母，不是最简二次根式，故不合题意； D、中含有分母，不是最简二次根式，故不合题意； 故选：A． 【变式12-2】下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题主要考查最简二次根式．根据最简二次根式的条件：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、被开方数是分数，不是最简二次根式，故选项A不符合题意； B、满足最简二次根式的定义，是最简二次根式，故此选项符合题意； C、可以化简，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、可以化简，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式12-3】下列二次根式是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式定义与识别，最简二次根式必须满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母；根据最简二次根式定义逐项验证即可得到答案，熟记最简二次根式满足的条件是解决问题的关键． 【详解】解：A、中被开方数含有能开方的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、中被开方数含分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、中被开方数含分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意； 故选：C． 题型十三 同类二次根式的判断 【例13】下列二次根式中，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，同类二次根式的定义等知识点，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．先根据二次根式的性质进行化简，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A．，能与合并，不符合题意； B．，不能与合并，符合题意； C．，能与合并，不符合题意； D．，能与合并，不符合题意； 故选：B． 【变式13-1】下列二次根式中，化简后能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据二次根式的性质把各选项的二次根式化简，再根据能合并的二次根式是同类二次根式解答． 【详解】解：A．，不能与合并，不符合题意； B． ，不能与合并，不符合题意； C．，不能与合并，不符合题意； D．，能与合并，符合题意； 故选：D． 【变式13-2】下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同类二次根式、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，正确理解同类二次根式的定义是解题关键．含有相同的被开方数的最简二次根式是同类二次根式，根据定义判断． 【详解】解：A、和被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意； B、和不是同类二次根式，不符合题意； C、和被开方数相同，是同类二次根式，符合题意； D、和被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C． 【变式13-3】下列各组二次根式，化简后可以合并的是（   ） A．与 B．与 C．和 D．与 【答案】B 【知识点】同类二次根式、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．根据同类二次根式的定义--化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，逐项分析即可． 【详解】解：A．与，不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意； B．与，是同类二次根式，能合并，故B符合题意； C．与，整数和无理数不能合并，故C不符合题意； D．与，不是同类二次根式，不能合并，故D不符合题意． 故选：B． 题型十四 二次根式的混合运算 【例14】计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算： （1）先化简二次根式，再进行加减运算即可； （2）先利用乘法分配律及平方差公式计算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式14-1】计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【知识点】实数的混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算绝对值、乘方、二次根式的除法，再计算加减法即可； （2）先计算完全平方公式、二次根式的化简、立方根，再去括号，计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【变式14-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】负整数指数幂、二次根式的混合运算 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式并注意运算顺序是解题关键． （1）直接化简二次根式，负整数指数幂，化简绝对值，进而合并即可； （2）直接化简二次根式，进而合并，再利用二次根式除法运算求出即可； 【详解】（1）解： （2）解： 【变式14-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先算乘除法以及去括号，再计算加减，即可作答． （2）先根据完全平方公式，平方差公式展开，再计算加减，即可作答． 【详解】（1）解： （2）解 题型十五 二次根式中的新定义型问题 【例15】定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与_____是关于3的“实验数”，与是关于3的“实验数”，则是_____，表示的值的点落在数轴上的位置位于_____． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 【答案】(1)；；④ (2)是；理由见解析 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的加减运算、新定义下的实数运算、实数与数轴 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，二次根式的乘除运算和加减运算．掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“实验数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． （1）根据所给的例子，可得出实验数的求法，由此即可计算4与是关于3的“实验数”； （2）根据进行计算，计算与的和，根据所求得结果即可判断． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于的“实验数”； ∵， ∴与是关于的“实验数”，即； ∵， ∴， ∴表示的值的点落在数轴上的位置位于1和2之间，即位置④； （2）解：与是关于的“实验数”．理由如下： ∵， ∴ ， ∴与是关于的“实验数”． 【变式15-1】定义两种新运算，规定：，，其中，为实数且． (1)求的值； (2)化简． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】二次根式的乘法、运用平方差公式进行运算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算． （1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可； （2）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式15-2】定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． (1)若与是关于6的美好二次根式，求的值： (2)若与是关于的美好二次根式，求和的值． 【答案】(1)； (2)，． 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴； （2）解：由题意可得，， 整理得，， ， ∴ ∴， ∴． 【变式15-3】对于任意两个非零实数a、b，定义运算如下： 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： (1)______，______； (2)若，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用平方根解方程、新定义下的实数运算、二次根式的混合运算、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查定义新运算，二次根式的运算，解分式方程： （1）根据新运算的法则，列出算式进行计算即可； （2）分和，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∵， ∴； 故答案为：，； （2）当，即：时，则：，解得：， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴（舍去）； 当，即：时，则：， ∴或（舍去）； ∴． 题型十六 二次根式中的分母有理化 【例16】【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． 【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化．例：． 结合上述材料，解决问题： (1)的有理化因式是 ，的有理化因式是 ； (2)利用分母有理化化简：． 【答案】(1)； (2) 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的步骤和方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）利用分母有理化进行化简即可求得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是， ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：；； （2）解： ． 【变式16-1】像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：① ．② ． (2)计算 (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】(1)①，② (2) (3) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）①根据，再计算求解即可；②根据，再计算求解即可； （2）先将括号中的每一项分母有理化，进一步计算求解即可； （3）由题意得，同理：，，则，进而可得． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②解：， 故答案为：； （2）解： ． （3）解：；理由如下； ∵， ∴， 同理：，， ∴， ∴． 【变式16-2】观察下列式式子的化简过程： ①； ②； ③；… (1)请直接写出第四个等式，并猜想第n个等式； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式的应用，正确得出是解题的关键． （1）仿照解题过程的典例所揭示的规律，将分母有理化； （2）仿照解题过程的典例所揭示的规律，将分母有理化； （3））由将原式化简，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：第四个等式为， ； （2）∵ ∴ ． 【变式16-3】阅读下列分母有理化的过程： （Ⅰ）； （Ⅱ）； 请完成下列问题： (1)仿照上述解题过程计算：=__________；=__________；（注意结果化简） (2)观察上面解题过程，请直接写出的结果为_________； (3)通过完成问题（1）（2），你得到的结论是： ； (4)试利用上面所提供的思路，解方程：． 【答案】(1)， (2) (3)可以利用平方差公式进行分母有理化（答案不唯一） (4) 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化是解题关键． （1）根据平方差公式，进行分母有理化即可； （2）根据平方差公式，进行分母有理化即可； （3）根据分母有理化的方法即可求解； （4）根据平方差公式，分母有理化，根据实数的运算化简方程，解方程可得答案． 【详解】（1）解：； 故答案为：， ． （2） （3）①可以利用平方差公式进行分母有理化； ②相邻两个自然数的算术平方根的和（或差）等于这两个自然数的算术平方根的差（或和）的倒数； ③，等等.（结论合理、正确就行） 故答案为：可以利用平方差公式进行分母有理化（答案不唯一）． （4）解： 题型十七 二次根式中的规律探究问题 【例17】观察下列各式及其验证过程： ．验证：． ．验证： (1)按照上述规律，直接写出的结果是___________ (2)针对上述各式反映的规律，写出用为自然数，且表示的等式，并给出证明． 【答案】(1) (2)（n为自然数，且），证明见解析 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查算术平方根、规律型问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． （1）根据规律，可得到答案． （2）根据观察等式，可发现规律，根据规律，可得到答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：（n为自然数，且）， 证明： 【变式17-1】； ； ； (1)写出_________； (2)猜想：_________； (3)由以上规律，计算的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简 【分析】（）观察已知等式找到规律，即可求解； （）根据规律直接得出结果即可； （）利用（）中结论及有理数的混合运算进行计算即可； 本题考查了二次根式及数字规律，根据题意找出相应规律是解题的关键． 【详解】（1）∵； ； ； ； ； （2）； ； ； ； ； （3）由（）可得， ． 【变式17-2】观察下列等式： ①， ②， ③， … 解答下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个等式：_______； (2)用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【知识点】数字类规律探索、异分母分式加减法、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关知识． （1）根据，，，得出第⑤个等式中分母应为，根据规律得到答案； （2）根据，，，，得出规律，从而得到答案． 【详解】（1）解：由第①个等式，得 由第②个等式，得 由第③个等式，得 ∴第⑤个等式应为：，得． （2）解：第1个等式中分母为， 第2个等式中分母为， 第3个等式中分母为， 第4个等式中分母为， 得第个等式中分母为应为： ∴第个等式为：， ∵左边， 右边， ∴左边右边． 【变式17-3】观察下列各式 ①；②；③…… 请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题： (1)_________； (2)根据你的观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________； (3)用上述规律计算：． 【答案】(1)或或 (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的运算，理解题意，找到题干中所给式子的规律是解题的关键． （1）根据所给算式的规律可直接得出答案； （2）根据所给算式得出一般性规律即可； （3）将被开方数变形，然后利用（2）中规律进行计算． 【详解】（1）解：根据题干所给算式的规律，可得 （或或） （2）解：根据题干所给算式的规律，可得 （3）解： 基础巩固通关测 一、单选题 1．有下列各数：、、、、、、、（相邻两个3之间0的个数逐次增加1），其中无理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个          D．6个 【答案】A 【分析】本题考查无理数． 根据无理数的定义，找出所有的无理数即可． 【详解】解：无理数有：、、， ∴无理数有个， 故选：． 2．下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故此选项运算错误； B、，故此选项运算正确； C、，故此选项运算错误； D、，故此选项运算错误； 故选：B． 3．如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连结，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数和数轴，勾股定理，正确记忆勾股定理的公式解题关键． 先根据题意确定，再根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】解：由题意可知， 根据勾股定理，得， ， 因为点在x轴负半轴， 所以点对应的实数为． 故选：C． 4．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键．根据已知判断每一步输出结果即可得到答案． 【详解】解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，取3的算术平方根，是无理数，则输出， ∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是． 故选：A． 二、填空题 5．若式子有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数的非负性得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 6．的值是 ；8的立方根是 ． 【答案】 4 2 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，根据算术平方根、立方根的定义求解即可，掌握算术平方根、立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：的值是，8的立方根是， 故答案为：． 7．若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式的定义得出，即可求出m的值，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：4． 8．观察下列等式，并解答下列问题． 等式1：，等式2：，等式3：… 请写出等式6： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给等式得出第n个等式可表示为为正整数是解题的关键．根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为，…， 所以第n个等式可表示为：为正整数 当时， 等式6为：， 故答案为：． 三、解答题 9．（1）计算：； （2）求下列各式中x的值： ①； ②； 【答案】（1）0；（2）①或；② 【分析】此题考查了平方根和立方根知识的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识，并进行正确地计算． （1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减； （2）①直接开平方即可； ②先移项，然后开立方即可． 【详解】解：（1） ； （2）①， 开平方，得：， 解得或； ②， 移项，得：， 开立方，得：， 解得：． 10．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）先根据二次根式的除法法则运算，然后化简各二次根式后合并同类二次根式； （2）根据完全平方公式和二次根式的乘法法则运算，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解决本题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题； （2）根据平方根的定义解决此题． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4 ∴，． ∴，； （2）解：由（1）得，，， ∴ ， ∴的平方根为：． 12．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式化简时，形如、这样的式子可以进一步化简： ；； 以上化简过程称为分母有理化，其中与，与互为有理化因式． (1)的有理化因式是 ；的有理化因式是 ； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，分母有理化以及二次根式的混合运算； （1）根据题意求得和的有理化因式，即可求解； （2）分子分母都乘以即可； （3）分子分母都乘以即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴的有理化因式是；的有理化因式是， 故答案为：；． （2）解：； （3）解： 13．观察下列各式： ；；；； (1)根据上述式子的规律填空：______；______； (2)计算：； (3)请用含自然数的代数式把上述规律表示出来． 【答案】(1)；； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，数字规律，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意进行计算即可； （）结合题意和（）的结论，以此类推计算即可； （）结合（）和（）的结论，归纳规律表示代数式即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； ∴；； 故答案为：；； （2）解：∵； ； ； ； ∴； （3）解：∵； ； ； ； ∴． 14．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：； （3）已知，，为的三边长．化简：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，三角形三边的关键： （1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先根据数轴得到，据此化简二次根式和绝对值即可； （3）根据三角形三边的关系得到，据此化简二次根式即可． 【详解】解：（1）∵有意义， ∴，即， ∴ ； （2）由题意得，，， ∴， ∴ ； （3）∵，，为的三边长， ∴， ∴ ． 能力提升进阶练 一、单选题 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义对各选项分析判断，即可求解． 【详解】解：A中，，含能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式，故不符合题意； B中，，含能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式，故不符合题意； C中，，被开方数含分母，故不是最简二次根式，故不符合题意； D中，，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数，故是最简二次根式，故符合题意， 故选：D． 2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查同类二次根式，解题的关键是根据把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式进行解答． 【详解】解：A、与是同类二次根式，故符合题意； B、与不是同类二次根式，故不符合题意； C、2与不是同类二次根式，故不符合题意； D、与不是同类二次根式，故不符合题意； 故选：A． 3．下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，运算错误； B．，运算正确； C．，运算正确； D．，运算正确； 故选：A． 4．如图是一个程序框图，若输入，则输出y的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据程序写出代数式，再代入计算解答即可． 【详解】解：根据题意可知， ． 故选：B． 5．对于任意两个实数a，b，定义两种新运算：，，并且定义新运算的运算顺序仍然是先算括号内的，例如：，，，那么等于（    ） A．2 B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了新定义实数的运算，无理数估算，求立方根，先估算出的范围，再结合新定义运算规则进行计算即可得解，熟练掌握实数的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．比较大小： （填“>”，“<”或者“=”）． 【答案】< 【分析】本题考查了实数的大小比较．估算的取值范围，然后比较与1的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：＜． 7．若与互为相反数，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了相反数的定义，算术平方根的非负数，立方根，根据几个非负数的和等于 0 ，则每一个算式都等于 0 列式是解题的关键． 根据相反数的定义列式，然后根据非负数的性质列式求出、的值，再代入进行计算即可得解． 【详解】解：∵与互为相反数， ， ， 解得， ， 故答案为：1． 8．已知，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握被开方数的非负性是解题的关键． 利用被开方数的非负性可求出x的值，进而求出y的值，即可求出答案; 【详解】解：由题意得，，解集为： ∴ ∴ 故答案为：3. 9．如图，为原点，，，以点圆心，为半径画弧，交数轴的负半轴于点，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系，利用数形结合的思想解答，根据圆的性质即可得，进而求出的值． 【详解】解：∵以点为圆心，为半径画弧， ∴， ∵，， ∴， ∵交数轴负半轴于点， ∴点表示的数是， 故答案为：． 10．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查的是实数与数轴，二次根式的性质与化简，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 根据题意判断出，及b的符号，再把原式进行化简，合并同类项即可． 【详解】解：结合数轴，得，， ，， 故答案为： 三、解答题 11．解下列方程． (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解答本题的关键． （1）利用平方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】考查了二次根式的混合运算．在二次根式的混合运算中，结合题目特点，灵活运用二次根式的性质是解题的关键，混淆完全平方公式及平方差公式是解题的易错点． （1）先计算二次根式的除法和化简二次根式，再计算加、减； （2）利用完全平方公式和平方差公式去括号，再相加、减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦， 1.020 220 222 0…（每两个0之间依次多1个2）． 整数：{            }； 负分数：{           }； 无理数：{           }． 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数的分类、求算术平方根、绝对值，先根据算术平方根、绝对值进行计算，再根据实数的分类求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， 故整数：{ ①④⑥}； 负分数：{ ②⑤}； 无理数：{}． 14．（1）已知的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． （2）已知的平方根是，的平方根是，求的平方根 【答案】（1）1 （2） 【分析】本题考查与无理数整数和小数部分有关的计算，平方根的定义，解一元一次方程，代数式求值．熟知相关知识是解题的关键． （1）先求出，，从而得出，，进而代入求值即可； （2）根据平方根的定义可得出，解得；再得，即可求出，再代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴的小数部分，的小数部分， ∴； （2）∵的平方根是， ∴， ∴． ∵的平方根是， ∴，即， ∴， ∴， ∴的平方根为． 15．对于实数a，b定义一种新运算“○”，规定， 如． (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 【答案】(1)，4 (2) 【分析】本题以新定义运算为载体，主要考查了实数的运算和二次根式的运算，弄清新定义运算的法则是解题的关键； （1）根据新定义运算法则计算即可； （2）根据可得：，再解方程即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：，4； （2）解：由可得：， 解得：． 16．观察下列各式及验证过程： ①    ；验证①； ②；   ②； ③；   ③； (1)按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想的变形结果，并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出（为大于等于2的自然数）表示的等式． 【答案】(1)，验证见解析 (2)且，验证见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的性质．此题是一个找规律的题目，观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式． （1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质，把根号内的移到根号外； （2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，观察根号外的和根号内的分子、分母之间的关系可得：． 【详解】（1）解： 验证： ； （2）解：． 验证： ． 17．【类比思想】解决问题：已知，求的值．小明是这样分析与解答的： 因为， 所以， 所以，即， 所以， 所以． 请根据小明的分析过程，解答以下问题： (1)计算：； (2)计算： (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，掌握分母有理化和整体代入思想是解题的关键； （1）利用分母有理化，平方差公式计算即可； （2）利用分母有理化，平方差公式计算即可； （3）利用分母有理化求，整体代入计算即可 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式． （3）因为， 所以，所以， 即，所以， 所以． 18．先阅读，再解答：由可以看出，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，那么我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如： ． 请完成下列问题： (1)的有理化因式是______； (2)化去式子分母中的根号：______；（直接写结果） (3)利用你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)2024 【分析】本题考查了二次根式的运算、分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可解答； （2）利用有理化因式，化去分母中的根号即可； （3）利用的规律化简式子，再利用平方差公式即可计算． 【详解】（1）解：， 所以的有理化因式是． 故答案为：； （2）解：． 故答案为：； （3）解：， 原式 ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$