第二十一章 一元二次方程 单元 检测试题 2025--2026学年人教版九年级数学上册

第二十一章《一元二次方程》单元检测题 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x+2y＝1 B．ax2+bx+c＝0 C．3x+＝4 D．x2﹣2＝0 2．用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（　　） A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝57 5．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．±4 D．2 4．已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣m的值等于（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．2 5．已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A．m≠1 B．且m≠1 C．m≤5且m≠1 D．m为任意实数 6．已知是一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A． B．2023 C．2022 D．2024 7．若方程是关于的一元二次方程，则的范围是（    ） A． B． C． D．且 8．用直接开平方法解方程(x－3)2=8得方程的根为 （ ） A． B． C．， D．， 9．秋冬季节为流感得高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（　　） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 10．如图，某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB＝x米，则可列方程（　　） A．x（81﹣4x）＝440 B．x（78﹣2x）＝440 C．x（81﹣2x）＝440 D．x（84﹣4x）＝440 二、填空题(每题3分，共24分) 11．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 12．已知关于x的一元二次方程有一个实数根为，则方程另一根为 ． 13．已知xy≠0，且3x2﹣2xy﹣8y2＝0，则＝ ． 14．已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0两根分别为m，n，则+值为 　． 15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值　 　． 16．如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝　 　． 17．据某市交通部门统计，该市2013年底全市汽车拥有量为150万辆，而截止到2015年底，全市的汽车拥有量已达216万辆．设这两年中全市汽车拥有量平均每年增长的百分率为x，则可列方程为 ． 18．某工厂废气年排放量为450万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减少到288万立方米．如果每期治理中废气减少的百分率相同，设每期减少的百分率为，则可列方程为 ． 18．某校“研学”活动小组在一次综合实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 ． 三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分) 19．用适当的方法解方程： （1） （2） 20． 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根是正数，求的取值范围． 21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣2）x+k2＝0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程的两实数根x1，x2满足|x1+x2|＝x1x2﹣22，求k的值． 22．已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，求m的值． 23．如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b） 米的长方形草坪上修建一横两竖，宽度均为b米的通道． （1）通道的面积共有多少平方米？ （2）若 a＝2b，剩余草坪的面积是 216 平方米，求出通道的宽度． 24．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件． （1）若每件售价为45元，求日销量是多少件？ （2）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （3）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（2）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A A C B B C A D 二．填空题（共8小题） 11． 12． 13．或2 14．解：∵一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n， ∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2021， ∴+＝＝＝， 故答案为：． 15．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根， ∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0， 解得k≤， 由根与系数的关系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k， ∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16． ∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16， 即﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16， ∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16， 整理得k2﹣2k﹣15＝0， 解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3． ∴k＝﹣3， 故答案为﹣3． 16．解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3， 所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根， 则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3， 又n2＝n+3， 则2n2﹣mn+2m+2021 ＝2（n+3）﹣mn+2m+2021 ＝2n+6﹣mn+2m+2021 ＝2（m+n）﹣mn+2027 ＝2×1﹣（﹣3）+2027 ＝2+3+2027 ＝2032． 故答案为：2032． 17．150（1+x）2=216． 18． 三．解答题（共7小题） 19．（1）， （2）， 20．（1）证明：由题意得：， 方程总有两个实数根； （2）解：， ， 解得或， 该方程有一个根是正数， ， ． 21．解：（1）∵方程有两个实数根x1，x2， ∴△＝（2k﹣2）2﹣4k2≥0， 解得k≤； （2）由根与系数关系知：x1+x2＝2k﹣2，x1x2＝k2， ∵k≤， ∴2k﹣2＜0， 又|x1+x2|＝x1x2﹣1，代入得，|2k﹣2|＝k2﹣22，可化简为：k2+2k﹣24＝0． 解得k＝4（不合题意，舍去）或k＝﹣6， ∴k＝﹣6． 22．解：当a＝4时， ∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根， ∴4+b＝12， ∴b＝8， 而4+4≠0，不符合题意； 当b＝4时， ∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根， ∴4+a＝12， 而4+4＝8，不符合题意； 当a＝b时， ∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根， ∴12＝a+b，解得a＝b＝6， ∴m+2＝36， ∴m＝34． 23．如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b） 米的长方形草坪上修建一横两竖，宽度均为b米的通道． （1）通道的面积共有多少平方米？ （2）若 a＝2b，剩余草坪的面积是 216 平方米，求出通道的宽度． 【解答】解：（1）根据题意得：通道的面积＝（4a+3b）b+2（2a+3b）b﹣2b2 ＝4ab+3b2+4ab+6b2﹣2b2 ＝8ab+7b2（平方米）． ∴通道的面积共有（8ab+7b2）平方米； （2）根据题意得：（4a+3b）（2a+3b）﹣（8ab+7b2）＝216， 整理得：54b2＝216， 解得：b1＝2，b2＝﹣2（不符合题意，舍去）． 答：通道的宽度为2米． 24．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件． （1）若每件售价为45元，求日销量是多少件？ （2）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （3）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（2）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 【解答】解：（1）20+2×（60﹣45） ＝20+2×15＝20+30＝50（件）． 答：当每件售价为45元时，日销量是50件． （2）设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）元，日销售量为20+2（60﹣x）＝（140﹣2x）件， 依题意得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20， 整理得：x2﹣110x+3000＝0， 解得：x1＝50，x2＝60， 又∵商家想尽快销售完该款商品， ∴x＝50． 答：每件售价应定为50元． （3）设该商品需打y折销售， 依题意得：62.5×≤50， 解得：y≤8． 答：该商品至少需打8折销售． 学科网（北京）股份有限公司 $$