精品解析：福建省厦门市思明区2023-2024学年八年级下学期期末数学模拟试题

福建省厦门市思明区2023-2024学年八年级下学期数学期末模拟试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段不能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. D. ，， 3. 如图，是的中线，E，F分别是的中点，，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 5. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数分 方差 要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 已知一次函数，则下列说法正确的是（　　） A. y随x的增大而增大 B. 图象经过第一、二、四象限 C. 该函数图象一定过点， D. 当时， 7. 如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，，则的长是（　　） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 8. 已知：直线与轴交于点，若是不等式的一个解，则的取值范围是　　 A B. C. D. 9. 如图，在中，是的平分线，交于点M，且，的周长是26，则等于（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 若有意义，则实数x的范围是_____________． 12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B=25°，D是AB的中点，则∠ADC＝____． 13. 一个样本为1，3，2，2，a，b，c，已知这个样本众数为3，平均数为2，则这组数据的中位数为______． 14. 如图，点是以为圆心，为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点表示的实数是__________． 15. 数学课上，王同学通过下面一系列的计算，估算得到保留一位小数的有理数： 因为， 所以，即的整数部分是1； 因为，， 所以；即的第一位小数数字为4； 所以（保留一位小数）． 请你根据的估算方法，估算≈___________（保留一位小数）． 16. 如图，已知正方形，边长为4，点M是正方形对角线上一点，连接，过点A作，垂足为H，连接．在M点从C到A的运动过程中，的最小值为___________． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在四边形中，，求的度数． 19. 如图，在□ABCD中，E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，连结BE、DF．求证：BE=DF． 20. 在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： （1）此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ； （2）观察图象，当时，y取值范围是 ； （3）将直线沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式． 21. 求证：菱形的对角线互相垂直平分． （1）如图所示，等边△ABC，求作一点D，连接AD、CD，使得四边形ABCD为菱形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在现有的图形上，连接BD交AC于点O，并据此写出已知，求证和证明过程． 22. 为响应“带动三亿人参与冰雪运动”的号召，某校七、八年级举行了“冰雪运动知识竞赛”．为了解学生对冰雪运动知识的掌握情况，学校从两个年级分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．七年级20名学生的测试成绩为： 7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6． b．八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示： c．七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如下表所示： 年纪 平均数 众数 中位数 七年级 7.5 n 7 八年级 m 8 p 请你根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）上表中m＝______，n＝______，p＝______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对冰雪运动知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级共400名学生参加了此次测试活动，估计八年级参加此次测试活动成绩合格的学生人数． 23. A城有某种农机30台，B城有该农机50台，现将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司，已知C乡需要农机36台，D乡需要农机44台，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为220元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为180元/台和240元/台． （1）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （2）现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元（）作为优惠，其它费用不变，如何调运，才能使总费用最少？ 24. 如图，正方形中，，在边的右侧作等腰三角形，使得，连接，作，过点D作，垂足为G，垂线与的一边交于点F，连接． （1）求证：为等腰直角三角形； （2）求证：E、F、C三点共线； （3）当时，求的面积． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，点C在y轴正半轴，点D在x轴正半轴，且，． （1）求出直线的解析式； （2）点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E坐标； （3）如图2，点M为线段中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点，若以O，M，N，P为顶点且为边的四边形为矩形，请求出点N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福建省厦门市思明区2023-2024学年八年级下学期数学期末模拟试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念依次对各选项判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、是最简二次根式，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．理解和掌握最简二次根式的概念是解题的关键． 2. 下列长度的三条线段不能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定即可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可． 【详解】解：、， 此三角形是直角三角形，不符合题意； 、， 此三角形是直角三角形，不符合题意； 、， 此三角形不是直角三角形，符合题意； 、， 此三角形是直角三角形，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 3. 如图，是的中线，E，F分别是的中点，，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中线定义，中位线定理．根据题意利用中位线即可得到，再利用中线定义即可得到本题答案． 【详解】解：∵E，F分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：A． 4. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质，熟练掌握矩形和平行四边形的性质是解题的关键．由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵矩形的对边平行且相等，对角线互相平分且相等，对角相等；平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等． ∴矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线相等． 故选：D． 5. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数分 方差 要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，选出方差最小，而且平均数较大的同学参加数学比赛． 详解】解：∵， ∴甲和乙的最近几次数学考试成绩的方差最小，发挥稳定， ∵， ∴乙同学最近几次数学考试成绩的平均数高， ∴要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择乙． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了方差的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 6. 已知一次函数，则下列说法正确的是（　　） A. y随x的增大而增大 B. 图象经过第一、二、四象限 C. 该函数图象一定过点， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、∵，∴y随x的增大而减小，故此选项错误，不符合题意； B、一次函数的图象经过第二、三、四象限，故此选项错误，不符合题意； C、当时，，当时，，即该函数图象不过点，，故此选项错误，不符合题意； D、当时，，又y随x的增大而减小， ∴当时，，故此选项正确，符合题意， 故选：D． 7. 如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，，则的长是（　　） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理，由平行四边形的性质得出，由，根据勾股定理求出，即可得出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ， ∵， ， ， 故选：C． 8. 已知：直线与轴交于点，若是不等式的一个解，则的取值范围是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出图象，根据图象求解． 【详解】解：由题意得：直线过，呈下降趋势， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 9. 如图，在中，是的平分线，交于点M，且，的周长是26，则等于（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定；由平行四边形的性质得，则有；再由角平分线知，由此即可得，由平行四边形的周长即可求解；关键是由平行四边形的性质及角平分线的定义得到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵的周长是26， ∴， 即， ∴， ∴； 故选：C． 10. 如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长，则可得出答案． 【详解】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H， ∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点， ∴DC＝AD＝2， 由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'， ∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M， ∴AD＝AC′＝DC'＝2， ∴△ADC'为等边三角形， ∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°， ∵DC＝DC'， ∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°， 在Rt△C'DM中， ∠DC'C＝30°，DC'＝2， ∴DM＝1，C'M＝DM＝， ∴BM＝BD−DM＝3−1＝2， 在Rt△BMC'中， BC'＝， ∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM， ∴DH＝3×， ∴DH＝， ∵∠DCB＝∠DBC'， ∴点D到BC的距离为． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 若有意义，则实数x的范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：由题意可知： ∴x． 故答案为：x． 12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B=25°，D是AB的中点，则∠ADC＝____． 【答案】50°##50度 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线求出CD＝BD，根据等腰三角形的性质求出∠DCB＝∠B，再根据三角形的外角性质求出答案即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CD＝BD， ∴∠DCB＝∠B， ∵∠B＝25°， ∴∠DCB＝25°， ∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝50°， 故答案为：50°． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 13. 一个样本为1，3，2，2，a，b，c，已知这个样本的众数为3，平均数为2，则这组数据的中位数为______． 【答案】2. 【解析】 【详解】解：因为众数为3，可设a=3，b=3，c未知，平均数=（1+3+2+2+3+3+c）÷7=2，解得c=0，将这组数据按从小到大的顺序排列：0、1、2、2、3、3、3，位于最中间的一个数是2，所以中位数是2，故答案为2． 点睛：本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 14. 如图，点是以为圆心，为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点表示的实数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】在AOB中，利用勾股定理求出AB长，即可确定出AP的长，得到P表示的实数． 【详解】解：如图，在Rt△AOB中，OA=1，OB=3， 根据勾股定理得：AB==， ∴AP=AB=， ∴OP=AP-OA=-1， 则P表示的实数为1-． 故答案为：1-． 【点睛】此题考查了勾股定理，以及实数与数轴，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 15. 数学课上，王同学通过下面一系列的计算，估算得到保留一位小数的有理数： 因为， 所以，即的整数部分是1； 因为，， 所以；即的第一位小数数字为4； 所以（保留一位小数）． 请你根据的估算方法，估算≈___________（保留一位小数）． 【答案】 【解析】 【分析】根据夹逼法可得答案． 【详解】解：因为， 所以，即的整数部分是5； 因为，，， 所以；即的第一位小数数字为5； 所以（保留一位小数）． 故答案为：5.5 【点睛】本题考查估算无理数的大小，熟知估算无理数的大小要用逼近法是解题的关键． 16. 如图，已知正方形，边长为4，点M是正方形对角线上一点，连接，过点A作，垂足为H，连接．在M点从C到A的运动过程中，的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】取中点O，连接，，由知当C、H、O三点共线时，取最小值，根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线性质求出，即可解答． 【详解】解：取中点O，连接，， ， 则， 当C、H、O三点共线时，取最小值，最小值， ∵正方形，边长为4， ∴，，， ∴， ∵，O中点， ∴， ∴最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，根据题意，取中点O， 判断出当C、H、O三点共线时，取最小值，是解题的关键． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式性质化简，利用完全平方公式运算，化简绝对值等知识，熟练掌握相关运算方法是解题关键． （1）先利用二次根式的乘法运算，再利用二次根式性质化简，化简绝对值，最后合并同类项即可； （2）利用完全平方公式运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：． 18. 如图，在四边形中，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用勾股定理相关知识成为解题的关键． 先根据等腰三角形的性质及已知条件可得，再根据勾股定理可得，然后根据勾股定理逆定理可知，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴,， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 19. 如图，在□ABCD中，E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，连结BE、DF．求证：BE=DF． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，求出DE=BF，DE∥BF，得出四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵AE=CF， ∴DE=BF，DE∥BF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴BE=DF． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形DEBF是平行四边形是解决问题的关键． 20. 在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： （1）此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ； （2）观察图象，当时，y的取值范围是 ； （3）将直线沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式． 【答案】（1）4 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）分别求出直线与x轴、y轴的交点，画出函数图象，进而解答即可； （2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论； （3）根据平移的规律求得即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象如图：  令，解得，令，则， ∴直线与x轴交点坐标，与y轴交点坐标为， ∴函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是， 故答案为：4； 【小问2详解】 解：由图可知，当时，y的取值范围为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：将直线沿y轴平移3个单位长度得，即或． 21. 求证：菱形的对角线互相垂直平分． （1）如图所示，等边△ABC，求作一点D，连接AD、CD，使得四边形ABCD为菱形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在现有的图形上，连接BD交AC于点O，并据此写出已知，求证和证明过程． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质作AC的垂直平分线交于点D连接AD、CD，使得四边形ABCD为菱形即可； （2）在现有的图形上，连接BD交AC于点O，即可写出已知，求证和证明过程． 【详解】解：如图， （1）四边形ABCD即为所求作的菱形； （2）已知：四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O． 求证：AC⊥BD，且AO＝CO，BO＝DO． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，并四边形ABCD是平行四边形 ∴AD//CB， ∴∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO， ∴△ADO≌△CBO（ASA） ∴AO＝CO ， DO＝BO ∴O点是AC的中点， ∴BO是△ABC的中线 又∵AB＝BC ∴△ABC是等腰三角形， ∴BO⊥AC，即BD⊥AC． 【点睛】本题考查了作图和菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质． 22. 为响应“带动三亿人参与冰雪运动”的号召，某校七、八年级举行了“冰雪运动知识竞赛”．为了解学生对冰雪运动知识的掌握情况，学校从两个年级分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．七年级20名学生的测试成绩为： 7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6． b．八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示： c．七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如下表所示： 年纪 平均数 众数 中位数 七年级 7.5 n 7 八年级 m 8 p 请你根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）上表中m＝______，n＝______，p＝______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对冰雪运动知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级共400名学生参加了此次测试活动，估计八年级参加此次测试活动成绩合格的学生人数． 【答案】（1）7.5，7，7.5 （2）八年级，理由见解析 （3）360人 【解析】 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的计算方法求解即可得出m、n、p的值； （2）从中位数、众数的角度回答即可； （3）求出七、八年级的总体合格率，利用总体乘以合格率计算即可即可． 【小问1详解】 解：由条形图得：（分）， 七年级20名学生的测试成绩排序为： 5、5、6、6、6、7、7、7、7、7、7、8、8、8、9、9、9、9、10、10， 七年级学生成绩出现次数最多的是7分，共出现6次，因此七年级学生成绩的众数为7分，即n=7； 八年级学生成绩是20名学生测试成绩中位数位于，11两个位置数据的平均数， 从小到大排列后处在中间位置的两个数的测试成绩为7分，8分 平均数为（分）， 因此八年级学生成绩的中位数是7.5分，即p=7.5； 故答案为：7.5，7，7.5； 【小问2详解】 解：根据表格七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如表所示： 年级 平均数 众数 中位数 七年级 7.5 7 7 八年级 7.5 8 7.5 ∵七年八年学生测试成绩平均数相同，八年级学生测试成绩中位数与众数都比七年级学生测试成绩高 ∴八年级学生掌握垃圾分类知识较好； 【小问3详解】 解：∵6分及6分以上为合格 七年级与八年级学生测试成绩合格人数分别为：18人, 占七八年各随机抽取20名学生的测试成绩的百分比为： 该校七、八年级共400名学生参加此次测试活动成绩合格的学生有（人）， 答：我校七、八年级400名学生中测试成绩合格的大约有360人． 【点睛】本题考查了条形统计图、统计表，中位数、众数、平均数的意义，用样本的百分比含量估计总体中的数量，掌握中位数、平均数、众数、样本的百分比含量的计算方法是正确解答的前提． 23. A城有某种农机30台，B城有该农机50台，现将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司，已知C乡需要农机36台，D乡需要农机44台，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为220元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为180元/台和240元/台． （1）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机总费用为W元，求W关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （2）现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元（）作为优惠，其它费用不变，如何调运，才能使总费用最少？ 【答案】（1） （2）①当时，此时，从A城调往C城台，调往D城台，从B城调往C城台，调往D城台；②当时，此时各种方案费用一样多，③当时，此时从A城调往C城台，调往D城0台，从B城调往C城6台，调往D城台． 【解析】 【分析】（1）根据题意得，进行计算即可得； （2）根据题意计算得，分情况讨论：①当时，，当时，W最小；②当时，元，各种方案费用一样多，③当时，，当时，W最小． 【小问1详解】 解：由题意得 ； 【小问2详解】 解： ， ①当时，， 当时，最小， 此时，从A城调往C城台，调往D城台，从B城调往C城台，调往D城台； ②当时，元， ∴此时各种方案费用一样多， ③当时，， ∴ 当时，最小， 此时从A城调往C城台，调往D城0台，从B城调往C城6台，调往D城台． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握一次函数的性质． 24. 如图，正方形中，，在边的右侧作等腰三角形，使得，连接，作，过点D作，垂足为G，垂线与的一边交于点F，连接． （1）求证：为等腰直角三角形； （2）求证：E、F、C三点共线； （3）当时，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一性质可证明是的垂直平分线，然后利用线段垂直平分线的性质可证明，再利用等边对等角和三角形的内角和定理可得出，即可得证； （2）连接，，设与相交于点O，设，利用等边对等角和三角形内角和定理可求，，进而求出，利用等角的余角相等可得，然后求出，即可得证； （3）连接，过D作于点H，利用勾股定理求出，，进而求出，利用等腰三角形三线合一的性质、勾股定理可求，最后利用三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 证明∶∵，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； 【小问2详解】 证明：连接，，设与相交于点O， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴ 设，则 ∵，， ∴，， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴E、F、C三点共线； 【小问3详解】 解：连接，过D作于点H， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，连接，在中求出是解第（3）的关键． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，点C在y轴正半轴，点D在x轴正半轴，且，． （1）求出直线的解析式； （2）点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标； （3）如图2，点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点，若以O，M，N，P为顶点且为边的四边形为矩形，请求出点N的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，得出和的长度，可得出点C和点D的坐标，最后用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）设，则可将点F和点G的坐标表示出来，进而得出的表达式，最后根据列出方程求出a的值，即可进行解答； （3）分①；②讨论即可． 【小问1详解】 解：把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴， ∴， ∵，． ∴， ∴， 设直线的函数解析式为， 把代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵点E在线段上， ∴设， ∵轴，轴， ∴点F的横坐标为a，点G的纵坐标为， 把代入得：； 把代入得：，解得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）． ∴． 【小问3详解】 过点M作，交直线于点N， 过点N作，过点M作，相交于点P， 根据作图可得：四边形， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点M为线段的中点，， ∴，，即点N为中点， ∵， ∴， ②过点M作，交直线于点N， 过点N作，过点O作，两线相交于P，交于Q， 根据作图可得：四边形， 由①知 设直线的解析式为， 把点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线和直线的解析式为： ，解得：， ∴， 综上，N的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合运用，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，中点坐标公式，旋转的性质，矩形的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$