专题12 相似三角形的基本模型-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(人教版)

第27章　相 似 专题12　相似三角形的基本模型 1 模型1 目 录 模型2 模型3 模型4 模型5 模型1　“A”型及其变形（公共顶点） 1. 如图，在△ABC中，DE⫽BC，∠ADE=∠EFC，AD∶BD=5∶3，CF=6，则DE的长为（ 　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 C 【解析】∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B. ∵∠ADE=∠EFC， ∴∠B=∠EFC，∴BD∥EF，∴∠A=∠FEC，∴△ADE∽△EFC，∴=. ∵DE∥BC，BD∥EF，∴四边形BDEF是平行四边形，∴EF=DB，∴==， ∴=，解得DE=10. 故选C. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 目 录 导 航 3 2.（陕西西安校级阶段练习）如图，在△ABC中，点D，E分别在边 AB，AC上，在下列五个条件中：①∠AED=∠B；②DE∥BC； ③=；④=；⑤∠ADE=∠C. 能使得以A，D，E为顶点的 三角形与△ACB相似的条件有 （　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 C 【解析】①∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故①符合题意； ②∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故②符合题意；③∵=，∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB，故③符合题意；④不能判定△ADE与△ACB相似； ⑤∵∠ADE=∠C，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故⑤符合题意. 故选C. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 目 录 导 航 4 3. 如图，等边三角形ABC中，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF， BE相交于点P，∠BPF=60°. 求证：△APE∽△BAE. 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAE=60°， ∵∠APE=∠BPF=60°， ∴∠BAE=∠APE， 又∵∠AEP=∠BEA， ∴△APE∽△BAE. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 目 录 导 航 5 4. 如图，⊙O中，弦AB，CD相交于P点，连接AC，BD，则下列结论一定正确的是 （ ） A. ∠A=∠B　　B. ∠C=∠D　　C. = 　　D. = D 模型2　“X”型及其变形（对顶角相等） 【解析】在⊙O中，∵∠A=∠D，∠C=∠B， ∴△APC∽△DPB，∴=， ∴选项 A，B，C错误，D正确. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 目 录 导 航 6 5. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC=（ ） A. 1∶4 B. 1∶3 C. 2∶3 D. 1∶2 D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，OD=OB=DB，DC=AB，∴△DFE∽△BAE， ∴=.∵E为OD的中点，∴DE=DB，=，∴=，∴=，∴=， 故选D. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 目 录 导 航 7 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，若AD=9 cm，BD=4 cm，则CD=________. 模型3　双垂直型 【解析】∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°，∴∠A+∠ACD=90°. ∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ACD=∠B， ∴△ADC∽△CDB，∴=， ∴CD2=AD·BD=9×4=36，∴CD=6 cm. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 目 录 导 航 8 证明：（1）∵BF⊥AE，CG∥AE，∴CG⊥BF，∴∠CGB=∠BHA=90°. ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠ABH+∠CBG=∠ABH+∠BAH=90°，∴∠BAH=∠CBG. ∴△ABH≌△BCG，∴CG=BH. （2）∵∠BFC=∠CFG，∠BCF=∠CGF=90°， ∴△CFG∽△BFC，∴=，即FC2=BF·GF. 7. 如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G. 求证： （1）CG=BH； （2）FC2=BF·GF. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 目 录 导 航 9 8.（河北唐山滦州期末）如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是 （　　） A. ∠C=∠E B. ∠B=∠ADE　 C. =　 D. = D 模型4　“手拉手”型（旋转型） 【解析】∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE，添加∠C=∠E或∠B=∠ADE，可用两角相等判定△ABC∽△ADE，故A，B选项不合题意；添加=，可用两边成比例且夹角相等判定△ABC∽△ADE，故C选项不合题意；添加=，不能判定△ABC∽△ADE，故D选项符合题意. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 目 录 导 航 10 9.（山东威海期中）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，连接BD，CE. （1）求证：△ABC∽△ADE； （2）若AC∶BC=3∶4，求BD∶CE为多少. 解：（1）证明：∵∠ACB=∠AED，∠ABC=∠ADE，∴△ABC∽△ADE. （2）解：∵AC∶BC=3∶4，∴设AC=3x，则BC=4x.∵∠ACB=90°， ∴AB==5x.∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，=， ∴∠EAC=∠DAB，=，∴△AEC∽△ADB，∴==，即BD∶CE=5∶3. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 目 录 导 航 11 10. （陕西模拟）如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（　　） A. 6对 B. 5对 C. 4对 D. 3对 A 模型5　一线三等角型（K型） 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠D=∠DCB=90°，∴∠PCF=90°. ∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，∴∠ABE+∠AEB=∠AEB+∠DEP=90°，∴∠ABE=∠DEP.∵AD∥BC，∴∠DEP=∠F，∴∠ABE=∠DEP=∠F， ∴△ABE∽△DEP∽△EFB∽△CFP，∴图中共有6对相似三角形，故选A. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 目 录 导 航 12 11.（陕西西安校级阶段练习）如图，在等边三角形ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=3. （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）求△ABC的边长. 解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°. ∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD. ∵∠B=∠ADE=60°，∴∠BAD=∠EDC.∴△ABD∽△DCE. （2）解由（1）得△ABD∽△DCE，∴=，即=， 解得AB=16.∴△ABC的边长为16. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 目 录 导 航 13 绿卡图书—走向成功的通行证 14 $$