专题11 反比例函数的综合应用-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(人教版)

第26章　反比例函数 专题11　反比例函数的综合应用 1 类型1 目 录 类型2 类型3 类型4 类型1　与一次函数的图象共存问题 典例1　（贵州毕节威宁期末）在同一直角坐标系中，函数y=kx-k与y=（k≠0）的图象大致是 （　　） 【解析】当k>0时，一次函数y=kx-k的图象经过第一、第三、第四象限，反比例函数y=的图象位于第一、第三象限，没有选项符合；当k<0时，一次函数y=kx-k的图象经过第一、第二、第四象限，反比例函数y=的图象位于第二、第四象限，D项符合，故选D. D 目 录 导 航 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 变式5 3 1.（黑龙江绥化中考）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分函数图象如图所示，则一次函数y=ax+b2-4ac与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是 （　　） 　 A B C D 【解析】∵二次函数y=ax2+bx+c的函数图象开口向上，与x轴有两个交点，∴a>0， b2-4ac>0，∴一次函数y=ax+b2-4ac的图象经过第一、第二、第三象限. 由二次函数y=ax2+bx+c的图象可知，点（2，4a+2b+c）在x轴上方，∴4a+2b+c>0，∴y=的图象位于第一、第三象限.∴符合题意的是选项B. B 变式训练 目 录 导 航 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 变式5 4 典例2　（湖北荆州中考）已知：如图，直线y1=kx+1与双曲线y2= 在第一象限交于点P（1，t），与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列结论错误的是 （　 ） 　A. t=2 B. △AOB是等腰直角三角形 　C. k=1 D. 当x>1时，y2>y1 【解析】∵点P（1，t）在双曲线y2=上，∴t==2，选项A正确；∵P（1，2）在直线y1=kx+1上，代入可得k=1，选项C正确；∴y1=x+1，把x=0代入可得B（0，1），把y=0代入可得A（-1，0），∴OB=OA=1，∴△AOB为等腰直角三角形，选项B正确；由图象可知，当x>1时，y1>y2，∴选项D不正确. 故选D. 类型2　与一次函数的交点问题 D 目 录 导 航 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 变式5 5 2. （四川泸州中考）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（6，n）两点. （1）求一次函数的解析式； 解：将A（2，3）代入y=，得m=6，∴y= . 将B（6，n）代入y= ，得n=1，∴B（6，1）. 将A（2，3），B（6，1）代入y=kx+b（k≠0）， 得解得 ∴一次函数的解析式为y=−x+4. 变式训练 目 录 导 航 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 变式5 6 （2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位长度后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于 M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求的值. 解：由题意得直线l的解析式为y=−x+4-8=−x-4. 当x=0时，y=-4，当y=0时，x=-8. ∴OM=8，ON=4，∴MN===4. 解方程组得 ∴P（-6，-1），Q（-2，-3）. 如图，过点P作x轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，两条平行线交于点C， 则∠C=90°，C（-2，-1），∴PC=-2-（-6）=4，CQ=-1-（-3）=2，∴PQ===2. ∴. 目 录 导 航 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 变式5 典例3 　如图，已知一次函数y=kx+b与反比例函数y= 的图象交于 A（-3，2），B（1，n）两点. 则△OAB的面积为________. 【解析】将点A（-3，2）代入y=，得m=-6，∴y=−. 令x=1，得y=-6，∴B（1，-6）. 将A（-3，2），B（1，-6）代入y=kx+b，得解得 ∴一次函数解析式为y=−2x−4. 设一次函数图象与y轴交于点C，则C（0，-4）. ∴S△OAB=S△OAC+S△OBC=×4×3+×4×1=8. 类型3　与一次函数相交的面积问题 8 目 录 导 航 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 变式5 8 3.（山东淄博中考）如图，直线y=kx+b与双曲线y= 相交于A（1，2），B两点， 与x轴相交于点C（4，0）. （1）分别求直线AC和双曲线对应的函数解析式； 解：将A（1，2），C（4，0）代入y=kx+b，得 解得∴直线AC对应的函数解析式为y=−x+. 将A（1，2）代入y=，得m=2， ∴双曲线对应的函数解析式为y=. 变式训练 目 录 导 航 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 变式5 （2）连接OA，OB，求△AOB的面积； （3）直接写出当x>0时，关于x的不等式kx+b>的解集. 解：（2）把x=0代入y=− x+，解得y=，∴点D的坐标为. 解方程组得∴点B的坐标为， ∴S△AOB=S△DOC-S△BOC-S△DOA=×4×−×4×−××1=. （3）观察图象，当x>0时，关于x的不等式kx+b> 的解集是1<x<3. 目 录 导 航 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 变式5 典例4　（江苏苏州校级一模）如图，点A的坐标是（-2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A'BC'. 若反比例 函数y= 的图象恰好经过A'B的中点D，则k的值是 （　　） 　A. 9　　 B. 12　　 C. 15　 　D. 18 【解析】如图，作A′H⊥y轴，垂足为H. ∵∠AOB=∠A′HB=∠ABA′=90°，∴∠ABO+∠A′BH=90°，∠ABO+∠BAO=90°， ∴∠BAO=∠A′BH. ∵BA=BA′，∴△AOB≌△BHA′（AAS），∴OA=BH，OB=A′H. ∵点A的坐标是（-2，0），点B的坐标是（0，6），∴OA=2，OB=6，∴BH=OA=2，A′H=OB=6，∴OH=4，∴A′（6，4）.∵D是A′B的中点，∴D（3，5）. ∵反比例函数y=的图象经过点D，∴k=15. 故选C. 类型4　反比例函数与几何图形的综合应用 C H 目 录 导 航 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 变式5 11 4.（新趋势　多模块综合）如图，点A（a，1），B（-1，b）都在 双曲线y=-（x<0）上，点P，Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形 PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是 （　　） y=x　 　B. y=x+1　 　C. y=x+2　 　D. y=x+3 【解析】由题意可知a=-3，b=3，则点A（-3，1），B（-1，3）.如图，作点A关于x轴的对称点C，点B关于y轴的对称点D，连接CD分别交x轴、y轴于点P，Q，此时四边形 PABQ的周长最小. 易知C（-3，-1），D（1，3），设直线PQ的解析式为y=kx+b， 代入点C，D，得 解得所以直线PQ的解析式为y=x+2. C 变式训练 目 录 导 航 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 变式5 12 5.　如图，⊙O的圆心为原点，半径为2，反比例函数y=（k≠0）的图象与⊙O有 两个交点，则k的取值是________． 【解析】由题意可知，反比例函数y=（k≠0）图象上距O点最近的点在 ⊙O上，∴反比例函数y=（k≠0）图象与直线y=x或直线y=-x的交点到O的距离为2. 当k>0时，如图，直线y=x与y=交于A，B两点，A，B在⊙O上. 易得A（， ），B（- ，- ），∴点A，B到原点的距离为，∴ =2，∴k=2. 当k<0时，同理可得k=-2. 综上，k的取值是2或-2. 2或-2 目 录 导 航 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 变式5 绿卡图书—走向成功的通行证 14 $$