专题7 圆中辅助线的添加方法-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(人教版)

第24章 圆 专题7　圆中辅助线的添加方法 类型1 目 录 类型2 类型3 类型4 类型5 类型1　遇直径，造直角（或逆用） 典例1（辽宁鞍山中考）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若∠ABD=54°，则∠C的度数为 （　　） A. 34°　　　 　B. 36°　　　 　C. 46°　　　　 D. 54° B 【解析】如图，连接AD. ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，∴∠A=90°-∠ABD=90°-54°=36°， ∴∠C=∠A=36°. 变式2 变式3 变式4 变式5 变式1 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 目 录 导 航 1. 如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且∠CAB=90°，若AB=10，AC=8， 求⊙O的半径. 解：连接BC，如图所示. ∵∠CAB=90°，∴BC是⊙O的直径. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC===2，∴OB=， 即⊙O的半径为. 变式训练 变式2 变式3 变式4 变式5 变式1 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 目 录 导 航 4 典例2 如图，AB是半圆O的直径，E是半圆上一点，且OE⊥AB，点C为的中点， 则∠A=________°. 22.5 【解析】连接OC，如图. ∵OE⊥AB，∴∠EOB=90°， ∵点C为的中点，∴∠BOC=45°，∴∠A=∠BOC=×45°=22.5°. 类型2　连圆心，造半径 变式2 变式3 变式4 变式5 变式1 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 目 录 导 航 5 2.（山东临沂沂水二模）如图，AB是⊙O的弦，且AB=6，点C是中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC=30°，则⊙O的半径等于 （　　） A. 3　　　　 　B. 2　　　　　 C. 　　　　　D. 变式训练 B 【解析】如图，连接OA，OC，OC交AB于点E. ∵点C是中点，∴OC⊥AB，∴AE=BE=AB=3. ∵∠ADC=30°，∴∠AOC=2∠ADC=60°，∴∠OAE=30°， 设OA=r，则OE=，由勾股定理，得r2=32+2， 解得r=2（负值舍去），即⊙O的半径等于2. E 变式2 变式3 变式4 变式5 变式1 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 目 录 导 航 典例3 （广西柳州中考）往水平放置的半径为13 cm的圆柱形容器内 装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB=24 cm，则水的 最大深度为 （　　） A. 5 cm　　　　　B. 8 cm　　　　　C. 10 cm　　　　　D. 12 cm B 类型3　作垂直等，构造垂径定理模型 【解析】连接OB，过点O作OC⊥AB，垂足为点D，交⊙O于点C，如图所示， 易知OB=OC=13 cm.∵AB=24 cm，∴BD=AB=12 cm， 在Rt△OBD中，OD===5（cm）， ∴CD=OC-OD=13-5=8（cm），即水的最大深度为8 cm. D C 变式2 变式3 变式4 变式5 变式1 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 目 录 导 航 7 3.（新情境 数学文化）“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题. “今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何.”用现在的数学语言表达是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=1尺，则直径CD长为________寸. （1尺=10寸） 变式训练 26 【解析】连接OA，如图. ∵AB⊥CD，且AB=10寸，∴AE=BE=5寸， 设⊙O的半径OA的长为x寸，则OC=OD=x寸， ∵CE=1寸，∴OE=（x-1）寸.在Rt△AOE中，根据勾股定理，得x2-（x-1）2=52，解得x=13，∴2x=26，即CD长为26寸. 变式2 变式3 变式4 变式5 变式1 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 目 录 导 航 典例4 （江苏镇江中考）如图，∠BAC=36°，点O在边AB上， ⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F（AF>AE），连接 FD，则∠AFD等于 （　　） A. 27°　　　　　B. 29°　　　　　C. 35°　　　　　D. 37° A 类型4　遇切线，连半径得直角 【解析】连接OD，如图. ∵⊙O与边AC相切于点D，∴∠ADO=90°.∵∠BAC=36°，∴∠AOD=90°-36°=54°，∴∠AFD=∠AOD=27°. 变式2 变式3 变式4 变式5 变式1 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 目 录 导 航 9 4.（江苏泰州中考）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在上，且与点A，B不重合. 若∠P=26°，则∠C的度数为________°. 变式训练 32 【解析】如图，连接AO. ∵PA与⊙O相切于点A， ∴∠OAP=90°.∵∠P=26°，∴∠AOP=90°-∠P=90°-26°=64°. ∵点C在上，且与点A，B不重合， ∴∠C=∠AOP=×64°=32°. 变式2 变式3 变式4 变式5 变式1 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 目 录 导 航 典例5 （江苏淮安中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE. （1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； 解：直线DE与☉O相切. 理由如下：连接OD，如图. ∵AC为☉O的直径，∴∠ADC=∠BDC=90°. ∵E为BC的中点，∴DE=CE=BE，∴∠EDC=∠ECD.∵OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD.∵∠OCD+∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ODC+∠EDC=90°， 即∠EDO=90°，∴DE⊥OD，∴直线DE与☉O相切. 类型5　证切线，连半径或作垂直 变式2 变式3 变式4 变式5 变式1 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 目 录 导 航 解：由（1）得∠CDB=90°，DE=CE=BE=， ∴BC=5，∴BD===4. 在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2，即AC2=AD2+9. 在Rt△ABC中，AC2=AB2-BC2，即AC2=（AD+4）2-25. ∴AD2+9=（AD+4）2-25，解得AD=. ∴AC=，∴☉O直径的长为. （2）若CD=3，DE=，求⊙O的直径. 变式2 变式3 变式4 变式5 变式1 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 目 录 导 航 5.（湖北武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE=DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB=5，EB=3. （1）求证：AC是⊙D的切线； 证明：如图，过点D作DF⊥AC，垂足为F. ∵∠B=90°，∴AB⊥BC. ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC， ∴BD=DF，∴AC是☉D的切线. 变式训练 F 变式2 变式3 变式4 变式5 变式1 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 目 录 导 航 解：在Rt△BDE和Rt△DCF中， ∵BD=DF，DE=DC， ∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL）， ∴EB=FC=3. ∵∠B=90°，∴AB是☉D的切线， ∴AF=AB=5， ∴AC=AF+FC=5+3=8. （2）求线段AC的长. F 变式2 变式3 变式4 变式5 变式1 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 目 录 导 航 绿卡图书—走向成功的通行证 15 $$