专题2 一元二次方程的根与系数的关系的应用-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(人教版)

第21章 一元二次方程 专题2　一元二次方程的根与系数的 关系的应用 类型1 类型3 目 录 类型2 类型4 2 类型1　已知两根和与积构造方程 1. 已知实数x1，x2满足x1+x2=3，x1x2=-4，则以x1，x2为根的一元二次方程 是 （　　） A. x2-3x-4=0 B. x2-3x+4=0 C. x2+3x-4=0 D. x2+3x+4=0 A 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 目 录 导 航 2.（新趋势 开放性问题）已知实数a，b是一个一元二次方程的两根，且a+b=-1， ab=-2，写出一个满足以上所有条件的一元二次方程______________________. x2+x-2=0（答案不唯一） 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 目 录 导 航 4 3. （四川巴中中考）关于x的方程2x2+mx-4=0的一根为x=1，则另一根为________. 【解析】设另一根是t，则根据根与系数的关系，得1×t=-2，所以t=-2. x=-2 类型2　已知方程一根求另一根或字母的值 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 目 录 导 航 5 4. 若关于x的一元二次方程2x2-10x+k=0的一个根x1=2，则方程的另一个根x2 为________，k的值为________. 【解析】根据根与系数的关系，可知2+x2=5，2x2= ，解得x2=3，k=12. 3 12 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 目 录 导 航 6 5. 若已知关于x的一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1=1，x2=n，则代数式（m+n）2 023的值为_________. 【解析】根据根与系数的关系，得1+n=-m，1×n=3，解得n=3，m=-4，所以（m+n）2 023=（-4+3） 2 023 =（-1） 2 023 =-1. -1 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 目 录 导 航 7 6. （贵州遵义汇川模拟）若方程x2-2x-4=0的两个实数根为x1，x2，则 （x1-1）（x2-1）的值为 （　　） A. -5 B. 3 C. 7 D. 9 【解析】由根与系数的关系，得x1+x2=2，x1x2=-4， 则（x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1=-4-2+1=-5. 类型3　求与两根之和、积相关的代数式的值 A 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 目 录 导 航 8 7. （安徽合肥期末）已知x1，x2是一元二次方程x2-6x+3=0的两个实数根， 则+的值为 （　　） A. 4 B. -4 C. D. 2 【解析】根据题意，得x1+x2=6，x1x2=3，则+ = = 4. A 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 目 录 导 航 9 8. （山东烟台招远期末）设a，b是方程x2+x-2 022=0的两个实数根，则a2+3a+2b的 值为 （　　） A. 2 020 B. 2 021 C. 2 022 D. 2 023 A 【解析】 ∵a是方程x2+x-2 022=0的实数根，∴a2+a-2 022=0，即a2+a=2 022. ∵a，b是方程x2+x-2 022=0的两个实数根，∴a+b=-1， ∴a2+3a+2b=a2+a+2a+2b=2 022+2×（-1）=2 020. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 目 录 导 航 10 9. （四川成都校级模拟）若x1，x2是关于x的一元二次方程x2-（k+1）x-2=0的两根，且x2+x1=4，则k=________. 类型4　与根的判别式结合求字母的值 -3 【解析】 ∵关于x的一元二次方程x2-（k+1）x-2=0的两根是x1和x2， ∴x1+x2=k+1，x1x2=-2， ∴x2+x1= x1x2 （x1+x2）=-2（k+1）=4，解得k=-3. 当k=-3时，方程为x2+2x-2=0，此时Δ>0，∴ k=-3. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 目 录 导 航 11 10. （易错题）若x1，x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根，且x1+x2=1-x1x2，则m的值为________. 1 反思：本题易错点是___________________________________________. 【解析】由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=2m，x1x2=m2-m-1. 因为x1+x2=1-x1x2，所以2m=1-（m2-m-1）.解得m1=1，m2=-2. 又因为Δ=（-2m）2-4（m2-m-1）≥0，解得m≥-1. 综上，m的值为1. 本题易因忽略根的判别式不小于0而导致多解 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 目 录 导 航 12 11.（新设问 新考法） 已知关于x的一元二次方程x2-4x-2m+5=0，如果该方程的两个不相等的实数根都是符号相同的整数，则整数m的值为________. 1 【解析】由题意，得Δ=（-4）2-4（-2m+5）>0， 解得m>. 设x1，x2是方程的两根，∴ x1 + x2 =4>0， x1x2 =-2m+5>0， 解得m<. ∴m的范围为<m<. ∵m为整数，∴m=1或m=2. 当m=1时，方程两根都是 整数；当m=2时，方程两根都不是整数. ∴整数m的值为1. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 目 录 导 航 13 12.（新趋势 多模块综合） 我已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0有两个实数根x1，x2，且这两根分别是四边形ABCD相邻两边AB，AD的长. （1）若四边形ABCD为菱形，求m的值； 解：若四边形ABCD为菱形，则AB=AD， ∴关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0有两个相等的实数根， ∴Δ=0，即（2m-1）2-4m2=0，解得m=. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 目 录 导 航 14 解：由题意可知AB，AD的长为方程x2+（2m-1）x+m2=0的两个实数根， ∴AB+AD=1-2m，AB·AD=m2， ∴AB2+AD2=（AB+AD）2-2AB·AD=（1-2m）2-2m2=2m2-4m+1， 当四边形ABCD为矩形时，则有AB2+AD2=BD2=（）2=7， ∴2m2-4m+1=7，整理可得m2-2m-3=0，解得m=3或m=-1， ∵Δ=（2m-1）2-4m2≥0，∴m≤，∴m=-1. （2）若四边形ABCD为矩形，且该矩形对角线BD的长为，求m的值. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 目 录 导 航 绿卡图书—走向成功的通行证 16 $$