第21章 一元二次方程 章末复习 达标训练-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(人教版)

第21章　一元二次方程 章末复习 达标训练 1 一、选择题 二、填空题 目 录 三、解答题 2 1.（北京东城期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A. x+2y=1 B. x=2x3-3 C. x2-2=0 D. 3x+=1 【解析】A是二元一次方程，B是一元三次方程，D是分式方程，只有C是一元二次方程. C 一、选择题 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 18 目 录 导 航 2.（山东日照岚山期末）若关于x的一元二次方程（k-2）x2+x+k2-4=0有一个根是0，则k的值是（　　） A. -2 B. 2 C. 0 D. -2或2 【解析】把x=0代入（k-2）x2+x+k2-4=0，得k2-4=0，解得k1=2，k2=-2， 而k-2≠0，所以k=-2. A 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 18 目 录 导 航 3.（山东青岛莱西期中）用配方法解方程x2-6x-2=0的过程中，应将此方程化为（　　） A. （x-3）2=11 B. （x-3）2=7 C. （x-6）2=38 D. （x-6）2=34 【解析】原方程移项，得x2-6x=2. 配方，得x2-6x+9=2+9，即（x-3）2=11. A 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 18 目 录 导 航 4. 一元二次方程（x-1）x=x的解是 （　　） A. 1或-1 B. 2 C. 0或2 D. 0 【解析】∵（x-1）x=x，∴（x-1）x-x=0，∴x（x-2）=0，则x=0或x-2=0， 解得x=0或x=2. C 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 18 目 录 导 航 6 5.（新情境 数学文化）用我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有方田一叚，圆田一叚，共积二百五十二步，只云方面圆径适等. 问方面圆径各若干.”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块，面积之和为252，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等. 问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少. 设正方形田的边长为x，则所列方程可以为（　　） A. x2+πx2=252 B. （2x）2+πx2=252 C. x2+2πx2=252 D. x2+π=252 D 【解析】根据正方形田和圆形田的面积之和为252可得方程x2+π=252. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 18 目 录 导 航 7 6.（新趋势 多模块综合）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程 x2-10x+k=0的两个根，则k的值为（　　） A. 21 B. 25 C. 21或25 D. 20或24 【解析】当3为腰长时，将x=3代入x2-10x+k=0，得32-10×3+k=0，解得k=21. 当k=21时，原方程为x2-10x+21=0，解得x1=7，x2=3，∵3+3<7，∴k=21不符合题意； 当3为底边长时，关于x的方程x2-10x+k=0有两个相等的实数根， ∴Δ=（-10）2-4×1×k=0，解得k=25.当k=25时，原方程为x2-10x+25=0， 解得x1=x2=5.∵5+3>5，∴k=25符合题意.∴k的值为25. 故选B. B 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 18 目 录 导 航 8 7.（新定义 新运算问题）定义运算：x※y=（x-y）（x-y+1）+1，如3※2= （3-2）×（3-2+1）+1=3，则方程x※2=0根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 【解析】根据题中的新定义，得（x-2）（x-2+1）+1=0，整理得x2-3x+3=0， ∵Δ=（-3）2-4×1×3=9-12=-3<0，∴方程无实数根. D 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 18 目 录 导 航 9 8. 已知α，β是方程x2-2x-2 019=0的两个不等实数根，则α2+2β的值为（　　） A. 1 010 B. 2 019 C. 2 022 D. 2 023` 【解析】∵α是方程x2-2x-2 019=0的实数根，∴α2-2α-2 019=0，∴α2=2α+2 019， ∴α2+2β=2α+2 019+2β=2（α+β）+2 019. ∵α，β是方程x2-2x-2 019=0的两个实数根，∴α+β=2，∴α2+2β=2×2+2 019=2 023. D 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 18 目 录 导 航 10 9.（山东烟台蓬莱期末）关于x的一元二次方程的两个根为-1和2，请写出这个一元二次方程_______________________________. （x+1）（x-2）=0（答案不唯一） 二、填空题 10.（湖南岳阳中考）已知关于x的一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根，则实数k的值为________. 【解析】根据题意，得Δ=62-4k=0，解得k=9. 9 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 18 目 录 导 航 11 11.（江苏连云港灌云期中）若实数a，b，c满足：++（c+6）2=0，则方程ax2+bx+c=0的解是____________. 【解析】由题意，知a2-2a+1=0，b+1=0，c+6=0. ∴a=1，b=-1，c=-6. ∴原方程化为x2-x-6=0，解得x1=-2，x2=3. x1=-2，x2=3 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 18 目 录 导 航 12 12.（原创题 整体思想） 已知实数a满足4a2++24a++28=0，则a+的值为_____. 【解析】∵将4a2+ +24a++28=0变形，整理得4+24+20=0， 即42+24+20=0.令x=a+，则原方程可化为4x2+24x+20=0， 解得x1=-1，x2=-5. 当a+=-1时，此方程无实数根， 因此a+的值为-5. -5 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 18 目 录 导 航 13 13.（河南安阳一模）为积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，某楼盘商品房成交价由今年1月份的每平方米10 000元下降到3月份的每平方米8 100元，若今年前四个月房价每月的下降率保持一致，则小康爸爸________在4月份用60万元在该楼盘买下一套80平方米的商品房.（填“能”或“不能”） 【解析】设每月的下降率为x，由题意得10 000（1-x）2=8 100，解得x1=0.1， x2=1.9（不符合题意，舍去）. 8 100×（1-0.1）×80=583 200（元）<60万元， ∴小康爸爸能在4月份用60万元在该楼盘买下一套80平方米的商品房. 能 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 18 目 录 导 航 14 14. 解下列方程： （1）3x2-6x-2=0； 解：移项，得3x2-6x=2. 系数化为1，得x2-2x=. 配方，得x2-2x+1=+1. 即（x-1）2=. 由此可得x-1=±. x1=，x2=. 三、解答题 （2）5x2-4x-4=0. 解：a=5，b=-4，c=-4， Δ=（-4）2-4×5×（-4）=96>0， x===， 所以x1=，x2=. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 18 目 录 导 航 15 15. 已知方程（a+2）+6ax+1=0是关于x的一元二次方程，求a的值. 解：∵方程（a+2）+6ax+1=0是关于x的一元二次方程， ∴-4=2且a+2≠0，解得a=2. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 18 目 录 导 航 16 16.（山东青岛莱西期中）已知关于x的一元二次方程x2-mx+m-5=0. （1）求证：无论m取何值，方程一定有两个不相等的实数根； （2）若方程有一根为2+，求m的值. 解：（1）证明：∵Δ=m2-4×1×（m-5）=m2-4m+20=（m-2）2+16>0， ∴无论m取何值，方程一定有两个不相等的实数根. （2）解：将x=2+代入方程，得4+4+5-（2+）m+m-5=0， 解得m=4. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 18 目 录 导 航 17 17. 2022年冬奥会在北京召开，某网络经销商销售以冬奥会为主题的文化衫， 平均每天可售出30件，每件盈利40元. 为了尽快减少库存、增加盈利，该经 销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平 均每天可多售出3件. （1）若降价x元，则每件衬衫的利润为_______元，平均每天销售数量 为________件；（用含x的代数式表示） 40-x 30+3x 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 18 目 录 导 航 18 （2）若该经销商每天获得利润1800元，则每件商品应降价多少元？ 解：设每件商品应降价x元，依题意得（40-x）（30+3x）=1800， 整理得x2-30x+200=0，解得x1=10，x2=20， 又∵要尽快减少库存，∴x=20. 即每件商品应降价20元. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 18 目 录 导 航 19 18.（新趋势 材料阅读题）【阅读材料】若x2+y2+8x-6y+25=0，求x，y的值. 解：（x2+8x+16）+（y2-6y+9）=0， （x+4）2+（y-3）2=0， ∴x+4=0，y-3=0， ∴x=-4，y=3. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 18 目 录 导 航 20 【解决问题】（1）已知m2+n2-12n+10m+61=0，求（m+n）2 023的值； 解：∵m2+n2-12n+10m+61=0，将61拆分为25和36，得 （m2+10m+25）+（n2-12n+36）=0， 根据完全平方公式，得（m+5）2+（n-6）2=0， ∴m+5=0，n-6=0， ∴m=-5，n=6， ∴（m+n）2 023=（-5+6）2 023=1． 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 18 目 录 导 航 21 【拓展应用】（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且b，c满足b2+c2=8b+4c-20， a是△ABC中最长的边，求a的取值范围. 解：∵b2+c2=8b+4c-20，移项，得b2+c2-8b-4c+20=0， 将20拆分为16和4，得（b2-8b+16）+（c2-4c+4）=0， 根据完全平方公式，得（b-4）2+（c-2）2=0， ∴b-4=0，c-2=0，∴b=4，c=2． ∵a是△ABC中最长的边，∴4≤a<2+4，即a的取值范围为4≤a<6． 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 18 目 录 导 航 22 绿卡图书—走向成功的通行证 23 $$