2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 教材习题解答-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 【教材课后习题P98】 1．判断直线与圆的位置关系．如果有公共点，求出公共点的坐标． 2．求下列条件确定的圆的方程，并画出它们的图形： （1）圆心为，且与直线相切； （2）圆心在直线上，半径为2，且与直线相切； （3）半径为，且与直线相切于点． 3．求直线被圆截得的弦的长． 4．求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程． 5．求与圆关于直线对称的圆的方程． 6．正方形ABCD的边长为a，在边BC上取线段，在边DC的延长线上取．试证明：直线AE与BF的交点M位于正方形ABCD的外接圆上． 7．求经过点以及圆与圆交点的圆的方程． 8．求圆心在直线上，并且经过圆与圆的交点的圆的方程． 9．求圆与圆的公共弦的长． 10．求经过点M（3，﹣1）且与圆C：x2+y2+2x﹣6y+5=0相切于点N（1，2）的圆的方程． 11．如图，某台机器的三个齿轮，A与B啮合，C与B也啮合．若A轮的直径为200 cm，B轮的直径为120 cm，C轮的直径为250 cm，且．试建立适当的坐标系，用坐标法求出A，C两齿轮的中心距离（精确到1 cm）． 12．已知，，三点，点P在圆上运动，求的最大值和最小值． 13．已知圆，直线，b为何值时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1？ 14．如图，圆内有一点，AB为过点且倾斜角为的弦． （1）当时，求AB的长． （2）是否存在弦AB被点平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由． 15．已知点和以点Q为圆心的圆． （1）画出以为直径，点为圆心的圆，再求出圆的方程； （2）设圆Q与圆相交于A，B两点，直线PA，PB是圆Q的切线吗？为什么？ （3）求直线AB的方程． 【教材习题答案】 1．答案：直线与圆相切； 解析：圆心坐标为 ，则圆心到到直线的距离为 所以直线与圆相切， 联解得所以公共点坐标为 2．答案：（1）；（2） 或；（3） 或 . 解析：（1）因为圆与直线相切， 所以点到直线的距离即为圆的半径， 所以， 所以圆的方程为：， 图像如图： （2）因为圆心在直线上，半径为2， 所以设圆心坐标为， 又因为所求圆与直线相切， 所以，解得或， 所以所求圆的方程为 或， 图像如图： （3）半径为，且与直线 相切于点， 所以设圆心坐标为，则，解得或， 所以所求圆的方程为： 或 ， 图像如下： 3．答案： 解析：将圆的方程化为标准式，可得， 所以圆心坐标为，半径为， 所以利用点到直线的距离可以求得弦心距为， 所以根据几何法得弦长为． 所以弦的长为 4．答案：或 解析：设所求的圆的方程是，则圆心为，半径为. 令，得， 由圆与轴相切，得，即① 又圆心到直线的距离为. 由已知，得， 即② 又圆心在直线上，则③ 联立①②③，解得或 故所求圆的方程是或. 5．答案： 解析：圆可化为：， 所以其圆心，半径. 设对称的圆的圆心，则有：，解得：， 所以对称的圆的方程为：. 6．答案：证明见解析 解析：如图建立平面直角坐标系，则，，，，，，所以，则直线方程为，直线的方程为 则解得，即，所以，即，所以点在圆上； 7．答案： 解析：联立与，解得：或，即两圆交点坐标为与，设圆的方程为：，将点坐标代入得：，解得：，所以此圆的方程为：. 8．答案： 解析：设经过两圆交点的圆的方程为，即，圆心坐标为 ，将其代入直线解得 ．所以圆的方程为． 故所求圆方程为： 9．答案： 解析：圆与圆，两式相减得，即公共弦方程为，圆的圆心坐标为，半径，圆心到公共弦的距离，故公共弦 10．答案：（x﹣）2+（y﹣）2=． 解析：设所求圆方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2 已知圆的圆心：（﹣1，3），半径=， 由题意可得：（3﹣a）2+（﹣1﹣b）2=r2，（1﹣a）2+（2﹣b）2=r2，（a+1）2+（b﹣3）2=， 解得a=，b=，r2= ∴所求圆：（x﹣）2+（y﹣）2= 11．答案： 解析：根据题意，以点为坐标原点，所在直线为建立平面直角坐标系，如图，    则，，， 由于，所以直线的方程为， 故设，则， 由于圆与圆相外切，故，解方程得 所以cm. 故A，C两齿轮的中心距离约为. 12．答案：最大值为88，最小值为72 解析：设， 因为，，三点， 所以 ， ， 因为点P在圆上运动， 则，解得， 所以， 当时，取的最大值88， 当时，取的最小值72. 13．答案： 解析：因为圆的方程为，所以圆心为，半径为 因为圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1， 所以只需要圆心到直线的距离为即可满足条件， 直线的一般式方程为：， 所以圆心到直线的距离为：，解得， 故当时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1. 14．答案：（1）;（2）. 解析：（1）依题意，直线AB的斜率为，又直线AB过点， 所以直线AB的方程为：， 圆心到直线AB的距离为，则， 所以； （2）当弦被点平分时，AB与垂直， 因为，所以， 直线AB的点斜式方程为 即. 15．答案：(1)作图见解析，； (2)证明见解析；(3) . 解析：(1)易知，所以PQ的中点， 又因为 ，圆的半径为， 所以圆的方程为.作图如下： (2)因为PQ为直径，在圆Q上，所以， 所以直线PA，PB是圆Q的切线. (3) 圆的方程可化为， 圆Q的方程可化为， 两圆方程相减，得， 所以直线AB的方程为. 【定点变式训练】 1.已知圆，圆，则圆，的位置关系为( ) A.内含 B.外切 C.相交 D.外离 2.圆与圆的公切线条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 4.与圆的公切线的方程可能为( ) A. B. C. D. 5.圆的方程为，圆的圆心为点. （1）若圆与圆外切，求圆的方程； （2）若圆与圆交于A，B两点，且，求圆的方程. 【变式训练答案】 1.答案：C 解析：圆，化为，圆心为，半径为；圆，化为，圆心为，半径为.两圆心距离为，因为，所以圆与圆相交.故选C. 2.答案：B 解析：两圆的圆心分别为，，半径分别为，，圆心距， 所以，所以两圆相交，有2条公切线.故选B. 3.答案：A 解析：已知直线，变形整理得， 由得即直线l恒过定点，代入圆C的方程的左端有，即点在圆内，所以直线l与圆C相交.故选A. 4.答案：CD 解析：圆O的圆心为，半径为，圆M的圆心为，半径， 由题意得，圆O与圆M的半径之和为，半径之差为0，因为，所以圆O与圆M相交. 由题意得，因为圆O与圆M的半径相等，所以公切线的斜率为2. 设公切线的方程为，即，由，得， 所以公切线的方程为或.故选CD. 5.答案：（1） （2）或 解析：（1）因为圆的方程为， 所以圆的圆心坐标为，半径为2. 又因为圆的圆心为点，所以圆心距为. 又圆与圆外切，所以所求圆的半径为， 所以圆的方程为. （2）设圆的方程为. 因为圆的方程为， 所以两圆的方程相减得两圆公共弦AB所在直线的方程，为. 圆心到直线AB的距离为，解得或. 故圆的方程为或. 学科网（北京）股份有限公司 $$