圆与方程练习题-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆与方程练习题 一、选择题 1．若直线与圆的两个交点关于直线对称，则k，b的直线分别为( ) A.， B.， C.， D.， 2．若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径r的取值范围是( ) A. B. C. D. 3．圆与圆的位置关系是( ) A.相交 B.外切 C.内切 D.相离 4．在同一平面直角坐标系中，直线和圆的位置关系不可能是( ) A.①③ B.①④ C.②④ D.②③ 5．圆和圆的公共弦的长度为( ) A. B. C. D. 6．若圆的圆心到直线的距离为，则实数a的值为( ) A.1或3 B.-3或1 C.-1或3 D.-3或-1 二、多项选择题 7．已知直线（a，b不同时为0），圆，则( ) A.当时，直线l与圆C不可能有交点 B.当时，直线l与圆C相切 C.当，时，直线l与坐标轴相交于A，B两点，则圆C上存在点M，使得的面积为 D.当，时，与圆C外切且与直线l相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线 8．已知直线l：与圆C：相交于E，F两点，则( ) A.圆心C的坐标为 B.圆C的半径为 C.圆心C到直线l的距离为2 D. 9．已知圆，圆交于不同的，两点，下列结论正确的有( ) A. B. C. D. 三、填空题 10．圆和圆的公切线的条数为___________. 11．在中，，，，则点B的轨迹方程为________. 12．已知圆与圆有3条公切线，则a的值为_______. 四、解答题 13．如图,圆与圆的半径都是2,,过动点P分别作圆与圆的切线PM,PN,M,N分别为切点,使得. (1)试建立适当坐标系,求动点P的轨迹方程； (2)若圆与圆的一条公切线l与坐标轴平行,判断直线l与曲线P的位置关系？若相交,求出弦长,若不相交,说明理由. 14．已知圆C过点,,. (1)求圆C的标准方程； (2)若过点C且与x轴平行的直线与圆C交于点M,N,点P为直线上的动点,直线PM,PN与圆C的另一个交点分别为E,F（EF与MN不重合）,证明：直线EF过定点. 15．已知圆分别与x、y轴正半轴交于A、B两点，P为圆C上的动点. (1)若线段上有一点Q，满足，求点Q的轨迹方程； (2)过点的直线m截圆C所得弦长为，求直线的方程； (3)若P为圆C上异于A，B的动点，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N，求证：为定值. 参考答案 1．答案：A 解析：因为直线与圆的 两个交点关于直线对称， 故直线与直线垂直， 且直线过圆心， 所以，， 所以，. 故选：A 2．答案：B 解析：由已知条件得的圆心坐标为， 圆心到直线 为， ∵圆上至少有三个点到直线的距离为1， ∴圆的半径的取值范围是， 即，即半径r的取值范围是. 故选：B. 3．答案：C 解析：由与圆， 可得圆心，，半径， 则， 且， 所以，所以两圆相内切． 故选：C． 4．答案：D 解析：由题意得直线过定点，圆的标准方程为，所以圆心为，半径. 将代入圆的方程，可知点在圆上，所以直线与圆至少有1个交点，所以题图③不符合； 对于题图②，直线与圆相切，则切点为，但圆心为，圆心的横坐标大于切点的横坐标，所以题图②不符合.故选D. 5．答案：B 解析：由两圆的方程得，两圆的公共弦所在的直线方程为.将化为，则圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离，所以公共弦的长度为.故选B. 6．答案：C 解析：圆的圆心为， 由题意可得， 即，解得或3. 故选：C. 7．答案：BCD 解析：对于A中，圆C的标准方程为， 则圆心为，半径， 当时，圆心C到直线l的距离， 当，时，， 所以直线l与圆C可能相交，所以A错误； 对于B中，当时，可得， 圆心C到直线l的距离， 所以直线l与圆C相切，所以B正确； 对于C中，当，时，直线l的方程为， 可得直线l与坐标轴相交于两点， 如图所示，直线的方程为，与直线l垂直， 又因为，，可得， 因为，可得，满足题意， 所以圆C上存在点M，使得的面积为，所以C正确； 对于D中，当，时，直线l的方程为， 圆心C到直线的距离， 此时直线l与圆C相离， 由抛物线的定义，可得与圆C外切且 与直线l相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线，所以D正确． 故选：BCD. 8．答案：ACD 解析：对于AB，圆的圆心，半径，A正确，B错误； 对于C，点到直线的距离，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 9．答案：ABC 解析：圆的方程可化为.两圆的方程相减可得直线AB的方程为，即，分别把，代入可得，，两式相减可得，即，所以选项A，B正确.由圆的性质可得，线段AB与线段互相平分，所以，，所以选项C正确，选项D错误. 10．答案：3 解析：因为两个圆： 和：， 即，， 所以圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以两圆圆心距为， 因为，所以两圆外切，有3条公切线， 故答案为：3 11．答案： 解析：设点， 则，， 则， 化简可得， 故答案为：. 12．答案： 解析：由题可得，圆， 圆心为，半径为2； 圆，圆心为，半径为1． 因为两圆有3条公切线，所以两圆外切， 故圆心距，解得． 故答案为： 13．答案：(1) (2)相交,8 解析：(1)取中点为坐标系原点O,建立平面直角坐标系, 则,, 设,因为,可得, 所以,可得, 整理得,即轨迹方程为. (2)由圆,可得,可得圆心,半径, 因为圆与圆的一条公切线l与坐标轴平行,可得l得方程为或, 则圆心到直线l的距离为,所以直线l与圆相交, 又由圆的弦长公式,可得. 14．答案：(1) (2)证明见解析 解析：(1)设圆C的方程为, 则,解得, 所以圆C的方程为, 故圆C的标准方程为； (2),所以直线,点,, 设点,,, 所以,,所以, 又,,所以 又E,F在圆C上,所以,, 消去,可得①, 当EF斜率存在时设直线EF的方程为, 联立, 消元y可得, 则,, 可代入①,得, 解得或, 当时,直线恒过, 当,直线恒过,此时EF与MN重合,舍去, 直线斜率不存在时,,即,解得或（舍去）, 综上：直线EF过点成立. 15．答案：(1) (2)或. (3)证明见解析 解析：(1)根据题意，，. 设，， 则，， 由于，所以， 得 将其代入，得， 故点Q的轨迹方程为. (2)根据垂径定理可得. ①当斜率不存在时，直线m的方程为：， 直线m截点Q轨迹所得弦长为，符合题意； ②当斜率存在时，设直线， 圆心到直线m的距离为，解得. 直线的方程为或. (3)设，则， 直线方程是，令，得， 直线方程是，令得， 所以 . 即为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $