精品解析：云南省大理白族自治州漾濞彝族自治县第一中学2025-2026学年高二上学期开学数学试题

高二年级上学期见面考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则，求得复数的代数形式，再利用虚部的定义可以求解. 【详解】因为， 所以， 所以复数的虚部为, 故选：C. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分母不为零和偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可. 【详解】由题可得，解得且，所以函数的定义域为； 故选：B 3. 若向量，，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算即可结合充分不必要条件的定义求解. 【详解】若，则，即. 若，则，解得. 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：C 4. 已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，判断选项. 【详解】，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线， 对于，若，，则由线面垂直的性质得，故A错误； 对于B，若，，则与相交、平行或异面，故B错误； 对于C，若，，，则由线面平行的性质得，故C正确； 简单证明：如图，，过的一个平面与交于，则同理，，则， ，则，，，则，所以. 对于D，若，，，则与相交，故D错误． 故选：C． 5. 新华中学高三年级有学生1100人，高二年级有学生900人，高一年级有学生1000人，现以年级为标准，用分层抽样的方法从这三个年级中抽取一个容量为150的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取的学生人数为（ ） A. 45 B. 50 C. 55 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知先求出抽样比为，然后即可得出答案. 【详解】由已知可得，全校共有学生3000人，抽样比为， 所以，高三年级应该抽取：人． 故选：C． 6. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，则塔高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在直角中，利用正切函数的定义，求得的长，即可求解． 【详解】在中，， 所以 所以， 由正弦定理， 可得， 在直角中，因为 所以， 即塔高为． 故选：C． 7. 某次投篮比赛中，甲、乙两校都派出了10名运动员参加比赛，甲校运动员的得分分别为8，6，7，7，8，10，9，8，7，8，这些成绩可用下图中的（1）所示，乙校运动员的得分可用下图中的（2）所示. 则以下结论中，正确的是（ ） A. 甲校运动员得分的中位数为7.5 B. 乙校运动员得分的75%分位数为10 C. 甲校运动员得分的平均数大于8 D. 甲校运动员得分的标准差大于乙校运动员得分的标准差 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出甲校派出的10名运动员参赛成绩的中位数，平均数和标准差；再计算出乙校派出的10名运动员参赛成绩的75%分位数，平均数和标准差即可. 【详解】甲校派出的10名运动员参赛成绩从小到大为：6，7，7，7，8，8，8，8，9，10， 其中位数为：，平均数为：，故选项A、C错误； 其标准差为：； 乙校派出的10名运动员参赛成绩分别为：6，7，8，9，9，9，9，10，10，10， 则其平均数为：，75%分位数为：， 标准差为：. 所以甲校运动员得分的标准差小于乙校运动员得分的标准差，故选项B正确，D错误. 故选：B 8. 如图，圆锥的底面直径和高均是4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过圆锥的底面半径和高，可求出圆柱的高和底面半径，再结合圆锥的表面积与圆柱的侧面积可求得剩下几何体的表面积. 【详解】设圆柱的高为，底面半径为，可知， 则圆锥的母线长为， 所以剩下几何体的表面积为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）. A. B. C. 向量的夹角为 D. 在方向上的投影向量是 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据向量的加法和数量积的坐标表示，可得答案； 对于B，根据向量的数乘以及加法坐标公式，结合模长的坐标公式，可得答案； 对于C，根据向量夹角公式，可得答案； 对于D，根据投影的定义，结合向量数乘的几何意义，可得答案. 【详解】对于A，，由，则，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，，，则，即向量的夹角为，故C正确； 对于D，在方向上的投影向量是，故D错误. 故选：AC. 10. 下列各结论中正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. 函数的最小值为2 C. 命题“，”的否定是“，” D. 若函数有负值，则实数a的取值范围是或 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据不等式的性质，基本不等式是成立条件，含有一个量词的命题的否定，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A：因为，可得同号，且，所以，故A正确； 对于B：由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立，无解，故B错误； 对于C：命题“，”的否定是“，”，故C错误； 对于D：为开口向上的抛物线，有负值说明判别式，所以，解得或，故D正确. 故选：AD 11. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，结合圆柱、圆锥和球的表面积和体积公式，逐项判定，即可求解 . 【详解】对于A中，圆柱的侧面积为，所以A错误； 对于B中，圆锥的母线为，圆锥的侧面积为，所以B错误； 对于C中，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，C正确； 对于D中，圆柱的体积，圆锥的体积， 球的体积，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，故D正确. 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则___________． 【答案】0.6## 【解析】 【分析】由，可得的概率，然后用和事件的概率公式计算即可. 【详解】由，可得，所以， 所以. 故答案为：0.6 13. 如图，是水平放置的的直观图，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则得到直角三角形的直角边长，用勾股定理求出斜边长可得结果. 【详解】根据斜二测画法的规则可知，，，， 所以， 所以的周长为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：掌握斜二测画法的规则是解题关键. 14. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用，结合已知条件可把求出，由平面向量基本定理把、用已知向量、表示，再利用数量积的运算法则可求数量积． 【详解】，， ，存在实数，使得，即， 又，则， ，，， 则 ， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； （2）求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对2个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； （2）根据题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对0个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； 【小问1详解】 设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立事件的性质，可得 ，，，， 设“两轮活动星对猜对3个成语”，则， 所以， ， 因此“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为. 【小问2详解】 设表示乙两轮都没猜对的事件，， 设事件“两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语”则 ， . 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求角； （2）若外接圆的半径为，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先根据展开，结合正弦和差化积公式进行化简，可得出，进而得出角的值. （2）根据题意和正弦定理可得出边长a的值，再由第一问和余弦定理得出b和c的关系，结合基本不等式即可求出面积的最大值. 【小问1详解】 由得，， 所以，又，所以， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 由外接圆的半径为，则得， 由余弦定理得，，即， 所以，解得. 所以，故面积的最大值为. 17. 某校对120名考生的数学竞赛成绩进行统计，分成五组，得到如图所示频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计该校学生数学竞赛成绩的平均数； （3）估计该校学生数学竞赛成绩的第80百分位数落在哪一组． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用各组频率和为1，列方程可求出的值； （2）由频率分布直方图计算平均数的公式直接计算平均数即可； （3）由于频率为，的频率，从而估计即可 【详解】（1）由， 从而． （2）平均数分． （3）因为的频率为， 的频率为， 所以估计该校学生数学竞赛成绩的第80百分位数落在内 18. 如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上． （1）求证：平面平面； （2）当，且为的中点时，求与平面所成的角的大小． 【答案】（1）证明如下： 设，连接，如图： 四边形是正方形， ∴. ∵底面，底面， ∴. ∵，，平面， ∴平面. ∵平面， ∴平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证平面，再根据线面垂直证明面面垂直；（2）先构造出直线与平面所成的角，再根据三角形的边角关系求角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由1知平面于， 为与平面所的角， ，分别为、的中点， ，， 又底面， 底面，底面，， 在中，， ，即与平面所成的角的大小为． 19. 如图，设是平面内相交成的两条射线，分别与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中 ①若，求； ②若，且与的夹角为，求； （2）如上图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，分别为中点，求的最大值. 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）①由题意，，将其两边平方后利用向量数量积的运算律计算即得； ②利用（1）得到的模长公式，求得和，再计算，再将条件代入公式，列出方程，即可求出的值. （2）设出点用表示出，利用正弦定理，经过三角恒等变换，化简成正弦型函数，求得其最大值. 【小问1详解】 ① 由可得，，则， 即； ②依题意，将代入（1）得到的模长公式即得，，， ， 因与的夹角为，则由可得，，解得，. 【小问2详解】 依题意，设， 因是的中点，则， 是的中点，则， 故 因，， 则， 在中，由余弦定理，，即，代入上式可得， ， 由正弦定理，，设，则， 于是 ，其中， 则. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查新定义的仿射坐标系中的向量的运算，属于难题. 解决第（2）题的关键在于，设出的坐标，，求得的表达式，运用正弦定理，三角恒等变换化成正弦型函数是解决该题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级上学期见面考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 若向量，，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 新华中学高三年级有学生1100人，高二年级有学生900人，高一年级有学生1000人，现以年级为标准，用分层抽样的方法从这三个年级中抽取一个容量为150的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取的学生人数为（ ） A. 45 B. 50 C. 55 D. 60 6. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，则塔高为（ ） A. B. C. D. 7. 某次投篮比赛中，甲、乙两校都派出了10名运动员参加比赛，甲校运动员的得分分别为8，6，7，7，8，10，9，8，7，8，这些成绩可用下图中的（1）所示，乙校运动员的得分可用下图中的（2）所示. 则以下结论中，正确的是（ ） A. 甲校运动员得分的中位数为7.5 B. 乙校运动员得分的75%分位数为10 C. 甲校运动员得分的平均数大于8 D. 甲校运动员得分的标准差大于乙校运动员得分的标准差 8. 如图，圆锥的底面直径和高均是4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）. A. B. C. 向量的夹角为 D. 在方向上的投影向量是 10. 下列各结论中正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. 函数的最小值为2 C. 命题“，”的否定是“，” D. 若函数有负值，则实数a的取值范围是或 11. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则___________． 13. 如图，是水平放置的的直观图，则的周长为________． 14. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； （2）求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求角； （2）若外接圆的半径为，求面积的最大值. 17. 某校对120名考生的数学竞赛成绩进行统计，分成五组，得到如图所示频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计该校学生数学竞赛成绩的平均数； （3）估计该校学生数学竞赛成绩的第80百分位数落在哪一组． 18. 如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上． （1）求证：平面平面； （2）当，且为的中点时，求与平面所成的角的大小． 19. 如图，设是平面内相交成的两条射线，分别与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中 ①若，求； ②若，且与的夹角为，求； （2）如上图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，分别为中点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $