1.1 棱形的性质与判定 课后巩固卷 2025--2026学年北师大版数学九年级上册

第一章 特殊的平行四边形 1.棱形的性质与判定 课后巩固卷 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列性质中菱形一定具有的是（　　） A．对角线相等 B．有一个角是直角 C．对角线互相垂直 D．四个角相等 2．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 3．菱形ABCD中，若对角线AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的周长是（　　） A．25 B．20 C．15 D．10 4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若OA＝4，S菱形ABCD＝16，则菱形边AB的长为（　　） A． B．5 C． D． 5．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，连接EF，若EF＝4，则AB的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 6．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴的正半轴上，已知B（﹣2，0），C（3，0），则点A的坐标是（　　） A．（﹣5，4） B．（﹣4，3） C．（﹣4，5） D．（﹣5，3） 7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，菱形ABCD的面积为16，则OH的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B均在x轴上，点D在y轴上，已知直线BD的函数解析式为y＝﹣2x+3，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 9．如图，四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，点E，F在BD上，已知∠BAD＝120°，∠EAF＝30°，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在菱形ABCD中，∠C＝120°，点P从点B出发，沿折线B﹣C﹣D方向移动，移动到点D停止，连结AP，DP．在△DAP形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是（　　） A．①③②③ B．③②①③ C．①③②① D．③②③① 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．如果菱形的两条对角线的长分别为a和b，且a，b满足，那么菱形的面积等于　 　 ． 12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，图形中不再添加辅助线和字母，再添加一个条件　 　 ，使平行四边形ABCD是菱形．（写出一个即可） 13．两张宽度均为9cm的纸条如图所示交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分四边形ABCD的周长为　 　 cm． 14．如图，在菱形ABCD中，∠DCB＝40°，点E为AC上一点，F为AD上一点，连接EF，EB，ED，若DE＝DF，∠BEC＝50°，则∠AEF的度数为　 　 ． 15．如图，菱形ABCD的对角线长分别为3和8，P是对角线AC上的任一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，且BA＝BE，试求∠AED的度数． 17．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点E．求证：∠E＝∠ABP． 18．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点M、N分别是边BC、CD上的两个动点，∠MAN＝60°，连接MN．猜想△AMN的形状是 　 　 三角形，并证明． 19．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，BE＝DF，连接EA、FA． 求证：EA＝FA． 20．如图，将两块完全相同的含有30°角的直角三角尺ABC、DEF在同一平面内按如图方式摆放，其中点A、E、B、D在同一直线上，连接AF、CD． （1）求证：四边形AFDC是平行四边形； （2）若四边形ACDF是菱形，求∠BCD的度数． 21．如图，在▱ABCD中，FA⊥AB，交CD于点E，交BC的延长线于点F，且CF＝BC，连接AC，DF． （1）求证：四边形ACFD是菱形． （2）若AB＝5，BF＝13，求菱形ACFD的面积． 22．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，EF垂直平分BC，垂足为D，交AB于点F，CE∥AB，连接BE、CF． （1）求证：四边形CFBE是菱形． （2）若AB＝10，BC＝8，求DF的长． 23．如图，点E，F分别在平行四边形ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连接DE，DF．请从以下三个选项中： ①∠1＝∠2 ②∠3＝∠4 ③DE＝DF 选择一个合适的选项作为已知条件，使平行四边形ABCD为菱形． （1）你添加的条件是 　 　 （填序号）； （2）添加条件后，请证明平行四边形ABCD为菱形． 24．小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形ABCD是一个菱形外框架，对角线AC，BD相交于点O，四边形AECF是其内部框架，且点E、F在BD上，BE＝DF． （1）求证：四边形内部框架AECF为菱形． （2）若AE⊥AD，F为DE的中点，，求四边形AECF的周长． 25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是对角线BD的中点，连接AE并延长，交BC于点F，且AF⊥BD，连接DF． （1）求证：四边形ABFD是菱形； （2）若∠C＝30°，DF＝FC＝2，求四边形ABFD的面积． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A D A A A D A 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．． 12．AD＝AB（答案不唯一）． 13．24． 14．55°． 15．6． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝80°， ∴， 又∵BA＝BE， ∴， ∴∠AED＝180°﹣∠AEB＝110°． 17．解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC， 在△ABP和△ADP中， ， ∴△ABP≌△ADP（SAS）， ∴∠ADP＝∠ABP． ∵AD∥BC， ∴∠ADP＝∠E， ∴∠E＝∠ABP． 18．解：△AMN的形状是等边三角形； 证明：连接AC． ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝AD， ∴△ABC，△ACD都是等边三角形， ∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝∠ACD＝∠MAN＝60°， ∴∠BAM＝∠CAN， ∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴AM＝AN， ∵∠MAN＝60°， ∴△AMN是等边三角形． 19．证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴EA＝FA． 20．（1）证明：将两块完全相同的含有30°角的直角三角尺ABC、DEF在同一平面内按如图方式摆放， △ABC≌△DEF， ∴AC＝DF，∠CAB＝∠FDE， ∴AC∥DF， ∴四边形AFDC是平行四边形； （2）解：若四边形ACDF是菱形，则CA＝CD， ∴∠CDA＝∠CAD＝30°， ∴∠ACD＝180°﹣∠CDA﹣∠CAD＝120°， ∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝30°． 21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵点F在BC的延长线上，且CF＝BC， ∴AD∥CF，AD＝CF， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∵CD∥AB，FA⊥AB交CD于点E， ∴∠CEF＝∠BAF＝90°， ∴FA⊥CD， ∴四边形ACFD是菱形． （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝5， ∵FA⊥AB， ∴∠BAF＝90°， ∴AF12， ∴S四边形ACFDFA•CD12×5＝30， ∴四边形ACFD的面积为30． 22．（1）证明：∵CE∥AB， ∴∠DCE＝∠DBF， ∵EF垂直平分BC， ∴CD＝BD， 在△CDE和△BDF中， ， ∴△CDE≌△BDF（ASA）， ∴DE＝DF， ∴四边形CFBE是平行四边形， 又∵EF⊥BC， ∴平行四边形CFBE是菱形． （2）解：∵∠ACB＝90°， ∴AC6，AC⊥BC， ∵EF⊥BC， ∴AC∥EF， 又∵CE∥AB， ∴四边形ACEF是平行四边形， ∴EF＝AC＝6， 由（1）可知，DF＝DE， ∴DFEF＝3． 23．（1）解：添加的条件是∠1＝∠2或∠3＝∠4， 故答案为：①或③； （2）证明：添加①，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（AAS）， ∴AD＝CD， ∴▱ABCD为菱形； 添加③，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（ASA）， ∴AD＝CD， ∴▱ABCD为菱形． 24．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OA＝OC． ∵BE＝DF， ∴OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴平行四边形AECF是菱形； （2）解：∵AE⊥AD， ∴△ADE是直角三角形， ∵F为DE的中点， ∴AF＝EF＝DF． ∵四边形AECF是菱形， ∴AE＝AF， ∴AE＝EF＝AF， ∴△AEF是等边三角形， ∴∠AEF＝∠AFE＝60°， 又∵AE⊥AD． ∴∠EAD＝90°． ∴∠ADE＝30°， ∴DE＝2AE． ∵四边形ABCD为菱形． ∴． 在Rt△ADE中，AE2+AD2＝DE2， ∴ ∴AE＝6（负值舍去）． ∵四边形AECF为菱形， ∴菱形AECF的周长为4×6＝24． 25．（1）证明：∵E是BD的中点， ∴BE＝DE． ∵AD∥BC， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， 在△AED与△FEB中， ， ∴△AED≌△FEB（AAS）， ∴AD＝BF． ∵AD∥BF， ∴四边形ABFD是平行四边形． ∵AF⊥BD， ∴四边形ABFD是菱形． （2）解：∵DF＝FC，∠C＝30°， ∴∠CDF＝∠C＝30°， ∴∠BFD＝∠CDF+∠C＝60°． ∵四边形ABFD是菱形， ∴， ∴△BDF是等边三角形， ∴． ∵AF⊥BD， ∴Rt△DEF中，由勾股定理，得， ∴， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$