第一章《特殊的平行四边形》 课后综合巩固卷 　2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第一章 特殊的平行四边形 课后综合巩固卷 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．数学课上，老师在投影屏上出示下面的抢答题，需要同学们回答横线上符号可以代表的内容． 如图，四边形ABCD是平行四边形， ①当※时，平行四边形ABCD是矩形． ②当时，平行四边形ABCD是矩形． ③当▲时，平行四边形ABCD是菱形． ④当时，平行四边形ABCD是正方形． 则回答不正确的是（　　） A．※可以代表∠ABC＝90° B．◎可以代表AC＝BD C．▲可以代表AB＝BC D．可以代表AC⊥BD 2．在正方形ABCD中，AB＝3，则正方形ABCD的周长为（　　） A．9 B．12 C． D．6 3．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知AB＝10，OE⊥BD，△DOE的面积为15，则DE的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若OA＝4，S菱形ABCD＝16，则菱形边AB的长为（　　） A． B．5 C． D． 5．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，BC＝DC，点O为对角线BD的中点，连接AO，CO．若，OC＝1，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，菱形ABCD的面积为16，则OH的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（　　） A．24 B．48 C．72 D．96 8．如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A′B′C′D′，则阴影部分的面积为（　　）cm2 A．6 B．9 C．18 D．24 9．2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极一艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，AB上的点，DE，CF相交于点M．N是DF的中点，若AF＝1，CE＝BF＝2，则MN的长为（　　） A． B． C．2 D． 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且BE＝DF，则DE+CF的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．如图，菱形花坛ABCD，沿着菱形的对角线修建两条小路AC和BD，若AC＝12米，BD＝20米，则菱形花坛ABCD的面积是　 　 平方米． 12．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E为边CB中点，若∠A＝52°，则∠EDB＝ 　 　 °． 13．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形．若点A的坐标是（3，4），则菱形的周长为 　 　 ． 14．油纸伞在我国已有一千多年的历史，是中国古代劳动人民智慧的结晶，图①是一把油纸伞展开后的剖面图，点E、F分别为伞骨AB、AC的中点，伞圈D为伞柄AP上可移动的点，四边形AEDF为菱形．当油纸伞打开到图①的程度时，∠BAC＝120°，当油纸伞缩拢到图②的程度时，∠BAC＝60°，若AE＝18cm，则伞圈D下滑的距离DD1的长度为　 　 cm． 15．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，F为CD延长线上一点，满足AE＝EF，AD平分∠FAE，则∠DFE的度数为　 　 度；若AB＝3，则DF的长为　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，求证：DE＝DF． 17．如图，AB＝AC，AE＝AF，且∠EAB＝∠FAC，EF＝BC，求证：四边形EBCF是矩形． 18．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，∠ABC的平分线BF交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF，求证：四边形ABEF是菱形． 19．如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN．求证：四边形EFMN是正方形． 20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的高，EF⊥AD，垂足为F，且AF＝DF． （1）求证：AE＝CD； （2）若AE＝5，CE＝6，求△ABC的面积． 21．如图，四边形ABCD是正方形，G为线段AD上一点，CE⊥BG于点E，DF⊥CE于点F． （1）求证：△CBE≌△DCF； （2）求证：DF＝BE+EF． 22．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且，连接CE． （1）求证：四边形OCED为矩形； （2）若DE＝4，AB＝5，求菱形ABCD的面积． 23．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点F是CD的中点，延长OF到点E，使EF＝OF，连接CE，DE． （1）求证：四边形DOCE是矩形； （2）若OE＝2，∠ABC＝120°，求菱形ABCD的面积． 24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AB＝13，AC＝10，求DF的长． 25．如图正方形ABCD对角线AC与BD相交于点O，E为BC上任意点（不与B，C重合），作OF⊥OE交CD于点F． （1）在图1中求证：BE＝CF． （2）如图2，当点P为线段OC上任意点时（P不与O，C重合），E，F为分别为边BC，CD上两点，且PE⊥PF．问：EC，CF，CP之间有何数量关系，并说明理由． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C A B A B C B D 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．120． 12．38． 13．20． 14．1818． 15．22.5；． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CB＝AD＝CD，∠A＝∠C， ∵E，F分别是边AB，BC的中点， ∴AE＝CF， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴DE＝DF． 17．解：∵AE＝AF，∠EAB＝∠FAC，AB＝AC， ∴△AEB≌△AFC， ∴EB＝FC，∠ABE＝∠ACF， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠EBC＝∠FCB， ∵EB＝FC，EF＝BC， ∴四边形EBCF是平行四边形， ∴EB∥FC， ∴∠EBC+∠FCB＝180°， ∴∠EBC＝∠FCB＝90°， ∴平行四边形EBCF是矩形． 18．证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BEA， ∵∠BAD的平分线交BC于点E， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE， 同理可得AB＝AF， ∴AF＝BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB＝AF． ∴四边形ABEF是菱形． 19．解：四边形EFMN是正方形． 证明：∵AE＝BF＝CM＝DN， ∴AN＝DM＝CF＝BE． ∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF． ∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN． ∴四边形EFMN是菱形． ∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°， ∴∠ENA+∠DNM＝90°． ∴∠ENM＝90°． ∴四边形EFMN是正方形． 20．（1）证明：如图，连接DE， ∵BE是AC边上的高， ∴BE⊥AC， 在△ABC中，AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∴DEBC＝CD， ∵EF⊥AD，AF＝DF， ∴EF垂直平分AD， ∴AE＝DE， ∴AE＝CD； （2）解：∵AE＝CD＝5，BC＝2CD， ∴BC＝10， ∵BE⊥AC，CE＝6， ∴BE8， ∵AC＝AE+CE＝5+6＝11， ∴△ABC的面积AC•BE11×8＝44． 21．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°， ∴∠B C E+∠D C F＝90°， ∵CE⊥BG，DF⊥CE， ∴∠BEC＝∠CFD＝90°， ∴∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠CBE＝∠DCF， 在△CBE和△DCF中， ， ∴△CBE≌△DCF（AAS）； （2）由（1）得△CBE≌△DCF， ∴BE＝CF，CE＝DF， ∴CE＝CF+EF＝BE+EF， ∴DF＝BE+EF． 22．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝OCAC， ∴∠DOC＝90°， ∵DE∥AC，DEAC， ∴DE＝OC，DE∥OC， ∴四边形OCED是平行四边形， 又∵∠DOC＝90°， ∴平行四边形OCED是矩形； （2）解：∵四边形OCED为矩形，DE＝4， ∴OC＝DE＝4，∠COD＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝4，CD＝AB＝5，OD＝OB， 在Rt△CDO中， OD3， ∴DB＝6，AC＝8， ∴菱形ABCD的面积AC•BD8×6＝24． 23．（1）证明：∵点F是CD的中点， ∴DF＝CF， ∵EF＝OF， ∴四边形DOCE是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，即∠DOC＝90°， ∴四边形DOCE是矩形； （2）解：∵四边形DOCE是矩形，OE＝2， ∴CD＝OE＝2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD＝2OB，AC＝2OC，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝2， ∴， ∴∠BCO＝90°﹣∠CBO＝30°， ∴，， ∴，BD＝2OB＝2， ∴四边形ABCD的面积为． 24．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，且AD＝BC， ∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， 即BC＝EF， ∴AD＝EF， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴四边形AEFD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝13，AC＝10， ∴AC⊥BD，，BC＝AB＝13， ∵AE⊥BC， ∴S四边形ABCD＝BC•AE， 在Rt△ABO中，由勾股定理可得：， ∴BD＝2BO＝2×12＝24， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形AEFD是矩形， ∴． 25．（1）证明：∵正方形ABCD， ∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCF＝45°， ∵OF⊥OE， ∴∠EOF＝90°＝∠BOC， ∴∠BOE＝∠COF， 在△BOE和△COF中， ， ∴△BOE≌△COF（ASA）， ∴BE＝CF； （2）解：CE+CFCP，理由如下： 如图2，过点P作PH⊥BC，PG⊥CD，则∠PHE＝∠PGF＝90°， ∵正方形ABCD， ∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD， ∴PH＝PG，四边形PHCG为正方形， ∴CP＝CH，∠HPG＝90°，CH＝CG， ∵PE⊥PF， ∴∠EPF＝∠HPG＝90°， ∴∠EPH＝∠GPF， 又PH＝PG，∠PHE＝∠PGF＝90°， ∴△PHE≌△PGF（AAS）， ∴HE＝FG， ∴CE+CF＝CH+HE+CG﹣FG＝2CH， ∴CE+CF＝2CPCP． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$