精品解析：湖南省株洲市荷塘区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题

2025年上学期七年级下册数学素养检测 时量：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号． 2．答题时，切记答案要填在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师． 一、选择题（本大题共10小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题3分，共30分） 1. 下列四个实数，其中为无理数的是（　　） A. 2 B. 3.14 C. D. 2. 下列调查中，不适合采用抽样调查的是（　　） A. 了解一批灯泡的使用寿命 B. 调查株洲市中学生的睡眠时间 C. 了解某班学生的数学成绩 D. 调查某批次汽车的续航能力 3. 下列图案中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列说法中，正确的是（　　） A. 相等的角是对顶角 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 内错角相等，两直线平行 D. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 已知为整数，且，则的大小关系不可能是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，延长交于点，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 已知，若不论为何值，的值始终是一个确定的值，则这个确定的值是（　　） A. 4 B. 2 C. -4 D. -2 10. 如图，在中，，的面积为24，为边上的动点，连接，以为边向左侧作正方形，则正方形面积的最小值为（　　） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 16的平方根是______． 12. 某卫星绕地球飞行的速度是米/秒，该卫星飞行秒所行的路程是________米．（结果用科学记数法表示） 13. 某地区孕育了丰富的药用植物．该地区药材站把当地药市交易的400种药用植物按“草本、藤本、灌木、乔木”分为四类，绘制成如图所示的统计图，则灌木类药用植物有________种． 14. 如图，，若，则的度数为_______°． 15. 已知，则________． 16. 在同一平面内，已知直线，若直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为，则直线与直线之间的距离为_______． 17. 某校组织开展国家安全知识竞赛活动，共25道题，选对一题得4分，不选或选错扣2分，如果得分不低于60分即可获奖，那么要获奖至少应选对多少道题？设要获奖应选对道题，根据题意，可列不等式为_________． 18. 运用几何变换探索图形之间的关系是解决几何问题的一种常用方法．如图，是长方形的对角线，四边形是正方形，且位于长方形内，连接，将沿折叠得到，将沿折叠得到，点恰好落在上，若，则长方形的面积为_________． 三、解答题（本大题8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 解不等式组，在如图所示的数轴上表示该不等式组的解集，并写出该不等式组所有整数解的和． 解：解不等式①，得 ； 解不等式②，得 ； 把不等式①②的解集在数轴上表示出来，如下图所示． 所以这个不等式组的解集是 ，该不等式组所有整数解的和是 ． 22. 古人云：一屋不扫，何以扫天下．为了解七年级学生参加各项家务劳动的情况，某校对七年级部分学生进行了随机问卷调查，其中一个问题是“你每周在家参加家务劳动的时间是多少？”，共有如下四个选项：A．2小时以下；B．2~3小时（含2小时）；C．3~4小时（含3小时）；D．4小时以上（含4小时），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题： （1）本次共调查七年级学生 人，请将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中， ；“选项C”对应扇形的圆心角为 ； （3）你每周在家参加家务劳动的时间是多少？你还能从图中得到哪些信息？ 23. 请根据第（1）问的推理过程，在括号内填写适当的理由，并完成第（2）问的解答过程． 如图，直线，被直线所截，交点分别为，，平分交于点，且． （1）试说明：； 解平分（已知）， （ ）． （已知）， （ ）． （ ）． （2）过点作交于点，若，求的度数． 24. 【回顾旧知】学习实数时，我们通过剪拼两个边长为1的小正方形纸片，可以得到一个边长为的大正方形，如图1所示． 【类比迁移】（1）如图，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图2），可以把它剪拼成一个大正方形（图3）．图3中拼成的大正方形的面积是 ，边长是 ． 【猜想验证】（2）猜想：大小不同的两个正方形，也可以剪拼成一个大正方形．已知如图4放置的两个正方形，其边长分别为，请你设计一种剪拼的方法验证上述猜想．在图4中需要裁剪的边上标出裁剪点的位置以及线段长度（用表示），画出裁剪线，标出各裁剪后的图形序号（类似图2），在图5中的方框画出拼接后的大正方形的示意图（类似图3）． 25. 书籍是人类进步的阶梯（高尔基语）．某校七年级为校园读书节活动订购了10本《骆驼祥子》和12本《钢铁是怎样炼成的》，总费用420元．已知订购10本《骆驼祥子》与订购9本《钢铁是怎样炼成的》的费用相同． （1）求《骆驼祥子》和《钢铁是怎样炼成的》每本分别是多少元？ （2）该学校准备再订购《骆驼祥子》和《钢铁是怎样炼成的》共36本，订购的总费用不超过688元，订购《钢铁是怎样炼成的》的数量不低于《骆驼祥子》订购的数量，请你设计最省钱的订购方案，并求出该方案所需的费用是多少元？ 26. 如图1，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿的方向平移得到线段，点是线段上一个动点（不与两点重合），连接． （1）试说明； （2）如图2，连接，过点作直线． ①当时，在直线上取点，使得，画出图形，并求出与之间的数量关系； ②如图3，直线上有一点，满足，则在点运动的过程中，请直接写出面积的最大值以及此时的度数（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期七年级下册数学素养检测 时量：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号． 2．答题时，切记答案要填在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师． 一、选择题（本大题共10小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题3分，共30分） 1. 下列四个实数，其中为无理数的是（　　） A. 2 B. 3.14 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】解：2，3.14，都是有理数， 是无理数， 故选：D． 2. 下列调查中，不适合采用抽样调查的是（　　） A. 了解一批灯泡的使用寿命 B. 调查株洲市中学生的睡眠时间 C. 了解某班学生的数学成绩 D. 调查某批次汽车的续航能力 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：A、了解一批灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意； B、调查株洲市中学生的睡眠时间，所费人力、物力和时间较多，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意； C、了解某班学生的数学成绩，易于调查，适宜采用全面调查，故本选项符合题意； D、调查某批次汽车的续航能力，调查具有破坏性，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意； 故选：C． 3. 下列图案中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，解答本题的关键是找出对称轴从而判断是否是轴对称图形． 根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，对各选项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，本选项符合题意； B、不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，本选项不符合题意． 故选：A． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是幂的运算性质和完全平方公式．根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、完全平方公式逐一判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 5. 下列说法中，正确的是（　　） A. 相等的角是对顶角 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 内错角相等，两直线平行 D. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，对顶角的定义、平行线的性质、点到直线的距离的定义；根据以上定义及性质逐项判断即可得解． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故本选项不符合题意； B、平面内过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项不符合题意； C、内错角相等，两直线平行，故本选项符合题意； D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故本选项不符合题意； 故选：C． 6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右，在表示解集时要用实心圆点表示；要用空心圆点表示”是解答此题的关键． 先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 在数轴上表示为： 故选：C． 7. 已知为整数，且，则的大小关系不可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，正确变形、熟练掌握同底数幂的乘法的逆运算法则是解题关键． 根据同底数幂的乘法的逆运算，则把x、y、z进行变形，然后比较即可． 【详解】解：∵， ∴，无法确定z与y的关系； ∴的大小关系不可能是， 故选：B． 8. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，延长交于点，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 设交于点H，根据旋转的性质，可得，，再利用全等三角形的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点H， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴，，，故B选项错误，不符合题意； ∴， ∴，即，故D选项正确，符合题意； ∵， 而题中未给出的度数， ∴无法得到与的大小关系， ∴无法判定是否平行于，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴， 而题中未给出的大小， ∴无法判断与的大小关系，故C选项错误，不符合题意； 故选：D 9. 已知，若不论为何值，的值始终是一个确定的值，则这个确定的值是（　　） A. 4 B. 2 C. -4 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题．根据多项式乘以多项式的计算法则得到，则，进而可得，再根据是定值，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵无不论为何值，的值始终是一个确定的值， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，在中，，的面积为24，为边上的动点，连接，以为边向左侧作正方形，则正方形面积的最小值为（　　） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，理解垂线段最短是解题的关键，根据面积公式求得的长，利用垂线段最短得最小值为的长，从而即可得解． 【详解】解：过点C作于点， ∵，， ∴，即， ∴， ∵D为边上一动点，， ∴的最小值为的长4， ∴正方形的面积的最小值为 故选：． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 16的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义，若一个数满足，则称为的平方根，据此找出平方等于的数即可． 【详解】解：， 的平方根是． 12. 某卫星绕地球飞行的速度是米/秒，该卫星飞行秒所行的路程是________米．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，此题根据路程速度时间列出算式，计算即可解答． 【详解】解：（米）， 故答案为：． 13. 某地区孕育了丰富的药用植物．该地区药材站把当地药市交易的400种药用植物按“草本、藤本、灌木、乔木”分为四类，绘制成如图所示的统计图，则灌木类药用植物有________种． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，用乘以灌木类的百分比即可求解，看懂统计图是解题的关键． 【详解】解：由扇形统计图可得，灌木类有种， 故答案为：． 14. 如图，，若，则的度数为_______°． 【答案】56 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题关键是熟记两直线平行同位角相等；先求出的同位角的度数，再求的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：56． 15. 已知，则________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查的是求代数式的值，将原式变形，然后整体代入计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：25． 16. 在同一平面内，已知直线，若直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为，则直线与直线之间的距离为_______． 【答案】7或3 【解析】 【分析】本题考查了平行线间的距离，分两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【详解】解：如图，直线在直线与直线外时， 直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为， 直线与直线之间的距离为， 如图，直线在直线与直线之间时， 直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为， 直线与直线之间的距离为， 综上所述，与之间的距离为或， 故答案为：7或3． 17. 某校组织开展国家安全知识竞赛活动，共25道题，选对一题得4分，不选或选错扣2分，如果得分不低于60分即可获奖，那么要获奖至少应选对多少道题？设要获奖应选对道题，根据题意，可列不等式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等量关系．设要获奖应选对道题，则不选或错选的有道，根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：设要获奖应选对道题，则不选或错选的有道， 根据题意得，， 故答案为：． 18. 运用几何变换探索图形之间的关系是解决几何问题的一种常用方法．如图，是长方形的对角线，四边形是正方形，且位于长方形内，连接，将沿折叠得到，将沿折叠得到，点恰好落在上，若，则长方形的面积为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，根据折叠的性质可知，设正方形的边长，则，在中，根据勾股定理，可求出x的值，进而即可求出长方形的面积． 【详解】解：将沿折叠得到，将沿折叠得到， ， 点恰好落在上， ． 设正方形的边长，则． 在中，， ， 整理得． ， 长方形的面积为． 故答案为：4． 三、解答题（本大题8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握平方根，立方根的概念正确化简计算是解题关键． 先分别化简算术平方根，立方根，乘方，绝对值，然后计算乘法，最后进行有理数的加减混合运算． 【详解】解： 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握完全平方公式，与平方差公式是解题的关键． 先计算乘法，再合并同类项，然后把代入，即可求解． 【详解】解： ； 当时， 原式． 21. 解不等式组，在如图所示的数轴上表示该不等式组的解集，并写出该不等式组所有整数解的和． 解：解不等式①，得 ； 解不等式②，得 ； 把不等式①②的解集在数轴上表示出来，如下图所示． 所以这个不等式组的解集是 ，该不等式组所有整数解的和是 ． 【答案】；； 解集在数轴上表示出来，如下图所示： ；5． 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的基本性质、在数轴上表示不等式解集的方法以及求不等式组解集和整数解的方法．先求得各个不等式的解集，再将两个不等式的解集准确表示在数轴上，确定两个不等式解集的公共部分，即为不等式组的解集，然后求得整数解的和即可． 【详解】 解：解不等式①，得； 解不等式②，得； 所以这个不等式组的解集是， 该不等式组所有整数解的和是． 22. 古人云：一屋不扫，何以扫天下．为了解七年级学生参加各项家务劳动的情况，某校对七年级部分学生进行了随机问卷调查，其中一个问题是“你每周在家参加家务劳动的时间是多少？”，共有如下四个选项：A．2小时以下；B．2~3小时（含2小时）；C．3~4小时（含3小时）；D．4小时以上（含4小时），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题： （1）本次共调查七年级学生 人，请将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中， ；“选项C”对应扇形的圆心角为 ； （3）你每周在家参加家务劳动的时间是多少？你还能从图中得到哪些信息？ 【答案】（1）50，补全的条形统计图如图所示： （2）40， （3）每周在家参加家务劳动的时间是C．3~4小时（含3小时）；每周在家参加家务劳动的时间4小时以上（含4小时）的人数最少，家务劳动的时间2~3小时（含2小时）的人数最多 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据选择A的人数和所占的百分比，可以计算出本次共调查七年级学生多少名，补全条形统计图需要计算出选择C的人数，即总人数减去选择A、选择B、选择D的人数； （2）利用选择B的人数除以本次调查的总人数，即可求出m的值，然后利用乘以C部分的占比，即可求出“选项C”对应扇形的圆心角； （3）答案不唯一，结合自己情况回答即可． 【小问1详解】 解：本次共调查七年级学生人数是：（人）， 故答案为：50； 选择C的有：（人）， 【小问2详解】 ， 故， “选项C”对应扇形的圆心角为， 故答案为：40，； 【小问3详解】 每周在家参加家务劳动的时间是C．3~4小时（含3小时）； 每周在家参加家务劳动的时间4小时以上（含4小时）的人数最少，家务劳动的时间2~3小时（含2小时）的人数最多． 23. 请根据第（1）问的推理过程，在括号内填写适当的理由，并完成第（2）问的解答过程． 如图，直线，被直线所截，交点分别为，，平分交于点，且． （1）试说明：； 解平分（已知）， （ ）． （已知）， （ ）． （ ）． （2）过点作交于点，若，求的度数． 【答案】（1）角平分线的定义；等量代换；内错角相等，两直线平行 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义得，再根据等量代换得到，由平行线的判定定理即可证得答案； （2）由，得，进而可求出，再根据角平分线的定义，最后利用平行线的性质即可求出答案． 【小问1详解】 解：平分（已知）， （角平分线的定义）． （已知）， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）， 故答案为：角平分线的定义；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【小问2详解】 ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 24. 【回顾旧知】学习实数时，我们通过剪拼两个边长为1的小正方形纸片，可以得到一个边长为的大正方形，如图1所示． 【类比迁移】（1）如图，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图2），可以把它剪拼成一个大正方形（图3）．图3中拼成的大正方形的面积是 ，边长是 ． 【猜想验证】（2）猜想：大小不同的两个正方形，也可以剪拼成一个大正方形．已知如图4放置的两个正方形，其边长分别为，请你设计一种剪拼的方法验证上述猜想．在图4中需要裁剪的边上标出裁剪点的位置以及线段长度（用表示），画出裁剪线，标出各裁剪后的图形序号（类似图2），在图5中的方框画出拼接后的大正方形的示意图（类似图3）． 【答案】（1）5，； （2）如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据图2和图3面积相等可得出图3拼成的大正方形的面积，再根据勾股定理即可求出边长； （2）根据题意画出裁剪线，然后拼接即可． 【详解】解：（1）图2可以把它剪拼成一个大正方形（图3）， 图3中拼成的大正方形的面积等于图2的面积， 图3中拼成的大正方形的面积为； 边长为， 故答案为：5，； （2）略 25. 书籍是人类进步的阶梯（高尔基语）．某校七年级为校园读书节活动订购了10本《骆驼祥子》和12本《钢铁是怎样炼成的》，总费用420元．已知订购10本《骆驼祥子》与订购9本《钢铁是怎样炼成的》的费用相同． （1）求《骆驼祥子》和《钢铁是怎样炼成的》每本分别是多少元？ （2）该学校准备再订购《骆驼祥子》和《钢铁是怎样炼成的》共36本，订购的总费用不超过688元，订购《钢铁是怎样炼成的》的数量不低于《骆驼祥子》订购的数量，请你设计最省钱的订购方案，并求出该方案所需的费用是多少元？ 【答案】（1）《骆驼祥子》每本18元，《钢铁是怎样炼成的》每本20元 （2）订购《骆驼祥子》18本，则订购《钢铁是怎样炼成的》18本，所需的费用最小是684元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组和一次函数的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键． （1）设《骆驼祥子》每本x元，《钢铁是怎样炼成的》每本y元，根据费用=单价数量列出二元一次方程组求解； （2）设订购《骆驼祥子》m本，则订购《钢铁是怎样炼成的》本，由题意列出一元一次不等式组，解出未知数范围，设所需费用为W元，则，根据一次函数性质求出结果即可． 【小问1详解】 解：设《骆驼祥子》每本x元，《钢铁是怎样炼成的》每本y元， 根据题意得， ， 解得， 答：《骆驼祥子》每本18元，《钢铁是怎样炼成的》每本20元； 【小问2详解】 设订购《骆驼祥子》m本，则订购《钢铁是怎样炼成的》本， 根据题意得， 解得， 设所需费用为W元，则， ， W随m的增大而减小， 当时，W有最小值，（元）， 此时，（本）， 答：订购《骆驼祥子》18本，则订购《钢铁是怎样炼成的》18本，所需的费用最小是684元． 26. 如图1，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿的方向平移得到线段，点是线段上一个动点（不与两点重合），连接． （1）试说明； （2）如图2，连接，过点作直线． ①当时，在直线上取点，使得，画出图形，并求出与之间的数量关系； ②如图3，直线上有一点，满足，则在点运动的过程中，请直接写出面积的最大值以及此时的度数（用含的式子表示）． 【答案】（1） 解：过点P作， 将线段沿的方向平移得到线段， ， ， ， ， ； （2）①或； ②面积的最大值为6；的度数为 【解析】 【分析】（1）过点P作，根据平移的性质和平行线的性质即可证明结论； （2）①分两种情况讨论，画出图形，利用平行线的性质求解即可； ②先确定点P到直线l的最大距离就是线段的长，再画出图形，利用平行线的性质和垂线的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①当在外部时，如图所示， ， ， 由平移的性质得，， ， ， ， ， ； 当在内部时，如图所示， ， ， ， ， ， ， 综上，与之间的数量关系为或； ②过点D作，如图所示， ， 点P到直线l的距离就是线段的长， ， 点P到直线l的最大距离就是线段的长，此时，作于点G，如图所示， 由平移的性质得：，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行线间的距离，点到直线的距离，角的和差，恰当分类并画出图形是解题的关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $