专题11 二次函数与几何图形存在性问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(华东师大版)

2 第26章　二次函数 专题11　二次函数与几何图形存在性问题 3 目 录 类型1 特殊三角形的存在性 类型2 特殊四边形的存在性 4 典例1 （河南平顶山模拟改编）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0， -3）三点，直线l是抛物线的对称轴. （1）抛物线的函数表达式为________________； （2）点M是直线l上的一个动点，是否存在△MAC是等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 类型1 特殊三角形的存在性 【规范解答】（1）y=x2-2x-3 （2）存在△MAC是等腰三角形， 点M的坐标是（1，-1）或（1，）或（1，-）或（1，0）. 提示：由（1）得抛物线的对称轴是直线x=1.设M（1，m）. y=x2-2x-3 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 5 ∵A（-1，0）、C（0，-3）， ∴MA2=m2+22=m2+4，MC2=（3+m）2+12=m2+6m+10，AC2=32+12=10. ①若MA=MC，则MA2=MC2，所以m2+4=m2+6m+10，解得m=-1. ②若MA=AC，则MA2=AC2，所以m2+4=10，解得m=±. ③若MC=AC，则MC2=AC2，所以m2+6m+10=10. 解得m=0或m=-6. 当m=-6时，M、A、C三点在一条直线上，不构成三角形，不符合题意. 综上所述，符合条件的点M的坐标是（1，-1）或（1，）或（1，-）或（1，0）. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 ⋮⋮ 变式训练 1. （山东聊城莘县期末）如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（-1，0），与y轴交于点C. （1）求抛物线的表达式； （2）抛物线上是否存在点P，使△ACP为直角三角形？若存在，写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由. 解：（1）∵A（6，0），B（-1，0）在抛物线上， ∴解得 ∴抛物线的表达式为y=-x2+5x+6. （2）设点P坐标为（x，-x2+5x+6），则PC2=x2+（-x2+5x）2， 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 7 PA2=（x-6）2+（-x2+5x+6）2，AC2=62+62=72. ①当∠PAC=90°，∵PA2+AC2=PC2， ∴（x-6）2+（-x2+5x+6）2+72=x2+（-x2+5x）2, 整理得x2-4x-12=0，解得x1=6（舍去），x2=-2，此时P（-2，-8）. ②当∠PCA=90°，∵PC2+AC2=PA2， ∴x2+（-x2+5x）2+72=（x-6）2+（-x2+5x+6）2, 整理得x2-4x=0，解得x1=0（舍去），x2=4，此时P（4，10）. ③当∠APC=90°，∵PA2+PC2=AC2， ∴（x-6）2+（-x2+5x+6）2+x2+（-x2+5x）2=72, 整理得x（x3-10x2+20x+24）=0, 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 ∵x≠0，∴x3-10x2+20x+24=0， 变形得x（x2-10x+24）-4（x-6）=0，整理得（x-6）（x2-4x-4）=0， 而x-6≠0，∴x2-4x-4=0，解得x1=2+2，x2=2-2， 此时P（2+2，4+2）或（2-2，4-2）. 综上所述，符合条件的点P的坐标为（-2，-8）或（4，10）或（2+2，4+2）或（2-2，4-2）. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 类型2 特殊四边形的存在性 典例2 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点 C（0，-3），一次函数y=-x-1的图象经过点B、A，且点A的纵坐标是-3. （1）抛物线的表达式为______________________； （2）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由. y=x2-2x-3 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 10 【规范解答】（1）y=x2-2x-3 （2）存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标是（4，5）或（-2，11）或（0，-3）. 提示：设点M（m，m2-2m-3），点N（1，n），由题意易得A（2，-3）， B（-1，0）. ①当AB与MN是对角线时，AB与MN互相平分， ∴（2-1）=（m+1），解得m=0，∴M（0，-3）； ②当AB为边，AN与BM是对角线时，AN与BM互相平分， ∴（2+1）=（-1+m），解得m=4，∴M（4，5）； 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 ③当AB为边，AM与BN是对角线时，AM与BN互相平分， ∴（2+m）=（-1+1），解得m=-2，∴M（-2，5）. 综上所述，存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标是（0，-3）或（4，5）或（-2，5）. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 ⋮⋮ 变式训练 2.（江苏南京校级阶段练习）如图，一次函数y=-x+3的图象与x轴和y轴分别交于点B和点C，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过B、C两点，并与x轴交于点A. 点M（m，0）是线段OB上一个动点（不与点O、B重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线BC相交于点D和点E，连结CD． （1）求这个二次函数的表达式； （2）点F是平面内一点，是否存在以C、D、E、F为顶点的 四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在， 请说明理由． 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 13 解：（1）将x=0 代入一次函数y=-x+3，得y=3， ∴点C的坐标为（0，3）. 将y=0代入一次函数y=-x+3，得x=3， ∴点B的坐标为（3，0）. 将点B、C的坐标代入二次函数y=-x2+bx+c，得 解得∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+3． （2）存在以C、D、E、F为顶点的四边形为菱形，点M的坐标 为（1，0）或（2，0）或（3-，0）. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 提示：由（1）可得，C（0，3），D（m，-m2+2m+3），E（m，-m+3）， ∴CD2=m2+（-m2+2m+3-3）2=m2+（-m2+2m）2，CE2=2m2，DE2=（-m2+3m）2， ①当CD=CE时，m2+（-m2+2m）2=2m2，解得m1=1，m2=3（舍去），m3=0（舍去），∴点M的坐标为（1，0）； ②当CD=DE时，m2+（-m2+2m）2=（-m2+3m）2，解得m1=2， m2=0（舍去），∴点M的坐标为（2，0）； ③当CE=DE时，2m2=（-m2+3m）2，解得m1=3+（舍去）， m2=3-，m3=0（舍去），∴点M的坐标为（3-，0）. 综上所述，存在以C、D、E、F为顶点的四边形为菱形，点M 的坐标为（1，0）或（2，0）或（3- ，0）． 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 绿卡图书—走向成功的通行证 16 $