专题10 二次函数的最值问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(华东师大版)

2 第26章　二次函数 专题10　二次函数的最值问题 3 目 录 类型1 线段最值问题 类型2 面积最值问题 4 类型1 线段最值问题 典例1　【新趋势 动点探究题】 如图，抛物线y=x2-x-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C. 过点A的直线与抛物线在第一象限交于点D（5，3）. （1）直接写出直线AD的函数表达式； （2）点P是线段AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线AD于点F. 是否存在一点P，使线段EF最大. 若存在，请求出EF的最大值；若不存在，请说明理由. 【规范解答】（1）直线AD的函数表达式为y=x+. （2）存在一点P，使线段EF最大. 设点P（a，0），则点E，点F. ∵点P是线段AB上的一个动点，点E在x轴的下方， ∴EF=a+-=-a2+2a+=-（a-2）2+. ∵-<0，-1<a<4，∴当a=2时，EF有最大值，最大值为. 目录 2 3 4 1 典例1 典例2 5 1. （河北秦皇岛校级期末）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为M（2，0），与y轴交于点B（0，2），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，D是线段AB上的一个动点，过点D作x轴的垂线交二次函数的图象于点E，则线段DE的最大值为　　　　. 【解析】∵二次函数图象的顶点坐标为M（2，0），与y轴交于点B（0，2）， ∴设二次函数的表达式为y=a（x-2）2，将点B（0，2）代入，得4a=2，解得a=， ∴二次函数的表达式为y=（x-2）2=x2-2x+2. 将点B（0，2）代入y=x+m，得m=2， ∴直线的函数表达式为y=x+2. ∵D是线段AB上的一个动点，∴设D（n，n+2）. ∵DE⊥x轴，∴E . ∴DE=n+2-=- n2+3n=-（n-3）2+. ∵-<0，∴当n=3时，线段DE有最大值，最大值为. 目录 2 3 4 1 典例1 典例2 6 2. 【新趋势 动点探究题】如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y=x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上. （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1<m<3时，求PM+PN的最大值. 解：∵（1）∵抛物线的顶点为D（1，4），a=-1，∴抛物线的表达式为y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3. （2）如图，延长MP交直线l于点G，设直线l交y轴于点E，交x轴于点F.将D（1，4）代入y= x+t，得4=+t，解得t=.∴直线l的表达式为y=x+，∴E，F（-2，0），∴EF==. ∵点P（m，n）在抛物线y=-x2+2x+3上， ∴P（m，-m2+2m+3），G，M（m，0）， ∴PG=m+-（-m2+2m+3）=m2-m-，PM=-m2+2m+3. 又∵PM⊥x轴，∴GM⫽y轴，∴∠PGN=∠OEF. ∴sin∠PGN=sin∠OEF= ==.在Rt△PGN中，PN=PG·sin∠PGN=PG， ∴PM+PN=PM+PG=-m2+2m+3+=-m2+m+=-（m-2）2+. ∵1<m<3，∴当m=2时，PM+PN有最大值. E F G 目录 2 3 4 1 典例1 典例2 7 类型2 面积最值问题 典例2　【新趋势 动点探究题】 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C. 直线y=x-2经过B、C两点，点P是抛物线上一动点. （1）求抛物线的表达式； （2）当点P在BC下方运动时，求△BCP面积的最大值. 【规范解答】（1）对于直线y=x-2，令x=0，则y=-2，∴C（0， -2）. 令y=0，则0=x-2，∴x=4，∴B（4，0）. 将点B、C的坐标分别代入y=x2+bx+c中，得解得 ∴抛物线的表达式为y=x2-x-2. （2）如图，过点P作PG⫽y轴交BC于点G. 设P ，则G.∴PG=t-2- t2+t+2=-t2+2t， ∴S△BCP=PG·OB=×4=-（t-2）2+4. ∵0<t<4，∴当t=2时，S△BCP的值最大，最大值为4. G 目录 2 3 4 1 典例1 典例2 3. 【新趋势 动点探究题】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4 cm，BC=3 cm.如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为每秒1 cm.连结PQ，设运动时间为t秒（0<t<4），△APQ的面积为S cm2. 当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？ 解：如图，过点P作PH⊥AC于点H. ∵∠C=90°，∴AC⊥BC. ∴PH⫽BC，∴△APH∽△ABC， ∴=.∵AC=4 cm，BC=3 cm， ∴AB==5 （cm）， ∴=，∴PH= cm. ∴S=×AQ×PH=t=- +. ∴当t为时，S取得最大值，S的最大值是. H 目录 2 3 4 1 典例1 典例2 9 4. 【新定义 新概念问题】如图，四边形ABCD中，AD=CD，AB=BC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”. （1）求证：AC⊥BD； （2）如果筝形的两条对角线长分别为6 cm、8 cm，则筝形的面积=　　　　cm2； （3）已知筝形ABCD的对角线AC、BD的长度为整数值，且满足AC+BD=6.试求当 AC、BD的长度为多少时，筝形ABCD的面积有最大值，最大值是多少. 解：（1）证明：∵AD=CD，∴点D在AC的垂直平分线上. 同理点B在AC的垂直平分线上，∴BD垂直平分AC，∴AC⊥BD. （2）提示：由（1）知，AC⊥BD，∴S△ADC=AC·DO，S△ABC=AC·BO，则 S筝形=S△ADC+S△ABC=AC·DO+AC·BO=AC·（DO+BO）=AC·BD=×6×8=24（cm2）. （3）设AC=x cm，则BD=（6-x）cm， 由（2）知，S筝形ABCD=x·（6-x）=-x2+3x=-（x-3）2+， 又∵AC、BD的长度为整数值，则当AC=3 cm时，S筝形ABCD有最大值，最大值为 cm2，此时BD=6-3=3（cm）. 24 目录 2 3 4 1 典例1 典例2 10 绿卡图书—走向成功的通行证 11 $